О законе сохранения энергии в механике

52

О законе сохранения энергии в механике можно получить, используя законы Ньютона и зная выражения для сил, зависимости от расстояний между телами или их частями (силы тяготения и силы упругости).

Основные понятия, которые при этом используются, это работа, кинемическая энергия, потенциальная энергия и полная энергия. Эти понятия, за исключением потенциальной энергии, не являются особенно сложными. Тем не менее наиболее количество ложных представлений возникает при изучении механики именно в связи с законом сохранения энергии. Причина, по-видимому, в том, что, с одной стороны, изучение механику не всегда видимыйся как следует в смысле основных понятий, а с другой стороны (и это главное), часто для облегчения понимания сути дела расматривается простые частиные случаи, но затем на их основе неprodуманно делаются более общие заклонения, которые оказываются иногда несостоятьными. Цель настоящего статьи — подробно остановиться на недоразумениях, связанных с понятием работы и энергии в механике.

Работа

Напомним определение работы. Работа силы при столмальном перемещении тела (материальный точки) Δs, что действующего на тело силу F можно считать постоянной по величины и направлению, равна (рис. 1)

$$A = |F| |\Delta s| \cos \alpha,$$

(1)

53

правна проекция сны на направление перемещения, умноженной на само перемещение.

Отсюда следует, что работа не совершается, когда точка приложения сны не перемещается относительно данной системы отчета. Так, при скольжении тела с tremием по некоторой поверхности (рис. 2) сила tremия $F_1$, приложенная к телу, совершает работу, а сила tremия $F_2$, приложенная к поверхности, никакой работы не совершает.

Величина совершенной работы, конечно, зависит от выбора системы отчета. Ведь тело, неподвижное в одной системе отчета, будет перемещаться в другой, движущейся относительно первой. Например, если человек стоит в позде и просто удерживает растную руку прижиму, то в системе отчета, связанной с поздом, рука человека не совершает никакой работы, так как свободный конец рукки не перемещается. Но с точки зрения наблюдаемого в системе отчета, связанной с землей, работа будет произведена. Еще пример. Obviously считается, что работа сны tremия скольжения всегда отрицательна. Но она может быть и положительная. Все дело в выборе системы отчета (см. раздел «Роль сил tremия»).

Кинетическая энергия

Наболее простым является понятие кинетической энергии. Используя определение работы и второй закон Ньютона, нетрудно показать, что во всех случаях работа любой сны $F$ равна изменению кинетической энергии тела $K = \frac{mv^2}{2}$:

$$A = (F \Delta s) = \Delta K.$$ (2)

Природа сны здесь совершено не важна. Это может быть сны тяготения, сны упругости или сила tremия.

Кинетическая энергия отдельного тела определяется его массой и скоростью и не зависит от того, взаимодействует это тело с другими телами или нет. Величина кинетической энергии генератора тела, как и работа сны, зависит от системы отчета.

Кинетическая энергия системы тела равна сумме кинетических энергий тела, входящих в эту систему.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тела

Не всегда подчеркивается, что потенциальная энергия в механике — это энергия взаимодействия по крайней мере двух тел. Понятие потенциальной энергии относится к системе тел, а не к одному телу. Если в системе имеет несколько тел, то полная потенциальная энергия системы равна сумме потенциальных энергий всех пар взаимодействующих тел (любое тело взаимодействует с каждым из остальных).

Obviously при вывода формулы, связывающей изменение потенциальной энергии с работой сил, одно из тел системы принимается за неподвижное. Так, когда рассматривается распределение груза на Землю под действием сны тяготения, то смешением Земли при этом можно претензить. Поэтому работа сил взаимодействия между Землей и грузом сводится к работе только одной силы, действующей на груз. Или другой пример. Сжатая или растянутаяружина, действующая на тело, обычно закреплена одним концом, и этот конец рукки не перемещается (фактически он скреплен с Земным шаром). Работу совершает при этом лишь сила упругости деформарованной рукки, приложенная к телу.

Из-за этого потенциальную энергию системы двух тел привikaют рассматривать как энергию одного тела. Это может привести к путанице.

В действительности справедливо во всех случаях следующего утверждения: изменение потенциальной энергии двух тел, взаимодействующих с силими, зависит только от расстояния между телами, равно работе этих сил, взятой со знаком минус:

54

Рис. 3. Изменение потенциальной энергии взаимодействия тел 1 и 2 определяется работой сил $F_{12}$ и $F_{21}$ на перемещениях $\Delta s_1$ и $\Delta s_2$.

$$A = (F_{12}\Delta s_1) + (F_{21}\Delta s_2) = -[\Pi(r_2) - \Pi(r_1)] = -\Delta \Pi,$$

где $F_{12}$ — сила, действующая на тело 1 со стороны тела 2, а $F_{21}$ — сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1 (рис. 3).

Силы взаимодействия между телами, которые зависят только от расстояния между телами, являются консервативными силами. Упомянутое утверждение есть следствие того, что работа консервативных сил определяется только наальными и конечными положениями тел и не зависит от форм их траектория.

Изменение потенциальной энергии легко вычисляется, если известна зависимость сил от расстояния между взаимодействиями телами.

Нулевой уровень потенциальной энергии

Согласно уравнению (3) работа сил взаимодействия определяет не саму потенциальную энергию, а ее изменение.

Для сил тяжести вблизи поверхности Земли

$$\Delta \Pi_T = mgh_2 - mgh_1,$$

где $h_1$ и $h_2$ — высоты тела над Землей в начальном и конечном состоянии.

Изменение потенциальной энергии деформационной пружины

$$\Delta \Pi_y = \frac{k(\Delta l)^2}{2} - \frac{k(\Delta l_1)^2}{2},$$

где $k$ — коэффициент упругости, а $\Delta l_1$ и $\Delta l_2$ — начальная и конечная деформация пружины.

Поскольку работа определяет изменение потенциальной энергии, а не саму энергию, молко изменение энергии в механике имеет физический смысл. Поэтому можно произвольно выбрать состояние системы, в котором ее потенциальная энергия считается равной нулю. Этому состояние соответствует нулевой уровень потенциальной энергии. Выбор нулевого уровня производится по-разному и дикутется исключительно собственными удобства, то есть простоты записи уравнения, выражающего закон сохранения энергии.

Obviously в качестве состояния с нулевой энергей выбирают такое состояние системы, при котором П-minimalна. Тогда потенциальная энергия положительная.

У пружины потенциальная энергия минимальная в отсутствие деформации а у камня — когда он лежит на поверхности Земли. Поэтому в первом случае (рис. 4)

$$\Pi_y = \frac{k(\Delta l)^2}{2},$$

а во втором случае (рис. 5)

$$\Pi_T = mgh.$$

Но к данным выражениям можно добавить любую постоянную величины $C$, и это ничего не изменит в результате применения закона сохранения энергии. Можно считать, что

$$\Pi_y = \frac{k(\Delta l)^2}{2} + C, \quad \Pi_T = mgh + C.$$

Если во втором случае положить $C = -mgh_0$, то это будет означает, что нулевой уровень энергии приятит на высоте $h_0$ над Землей.

Иnorда невозможно выбрать нулевой уровень Птак, чтобы минимальная энергия равна нулю. Так, например, потенциальная энергия тяготения двух материалов

55

Рис. 4. Зависимость потенциальной энергии пружины П от деформации Δl.

Рис. 5. Зависимость потенциальной энергии П взаимодействия камня с Земным шаром от высоты h камня над поверхностью Земли.

Рис. 6. Зависимость потенциальной энергии П взаимодействия двух точных масс от расстояния r между ними.

точек равна

$$\Pi = -\gamma \frac{m_1 m_2}{r} + C,$$

(9)

где $\gamma$ — гравиатционная постоянная *)
(см., например, статью Н. М. Сперанского «Потенциальная энергия тел в поле тяготения», «Квант», 1972, № 6).

При $r \rightarrow 0$ первое слагаемое стремится к $-\infty$. Поэтому минимальное значение энергии можно считать равным нулю лишь при $C = \infty$. Но пользоваться уравнениями, в которых входит бесконечная величины, размещается, нельзя. Поэтому здесь удобнее положить $C = 0$ и тем самым за нулевой уровень П принять потенциальную энергию в состоянии, когда тела бесконечно удалены друг от друга ($r = \infty$). Тогда нулевому уровню будет соответствовать не минимальная, а максимальная энергия. При любом конечном значении $r$ потенциальная энергия отрицательна (рис. 6).

Независимость потенциальной энергии от выбора системы отчета

Заметим еще раз, что понятие потенциальной энергии имеет смысл для таких систем, в которых силы взаимодействия консервативны, то есть зависят лишь от расстояний между

*) Точно такой же вид имеет потенциальная энергия взаимодействия двух точных электрическихарядов противоположного знака:

$$\Pi = -\frac{|q_1| |q_2|}{r} + C.$$

телами или их частями. Соответствие и П зависит от расстояний: от высоты камня над поверхностью Земли, от длины пружины, от расстояния между точными массами или зарядами. От координат тел потенциальная энергия непосредственно не зависит. (Лишь постольку, поскольку расстояния являются функциями координат, можно говорить о зависимости П от координат.) Отсюда следует один очень важный вывод, на котором часто не обращают внимание. Посольку расстояния во всех системах отчета, движущихся и неподвижных, один и те же, помещциальная энергия не зависит от выбора системы отчета.

Но как же это может быть? Ведь $\Delta \Pi = -A$, а работа зависит от движения системы отчета. Вот здесь-то и проявляется отсутствие двух тел, а ее изменение определяется работой сил, действующих на оба тела. При переходе от неподвижной системы к движущейся меняются обе работы, но их сумма остается неизменной. В самом деле, если в некоторой системе отчета за время $t$ совершается работа

$$A_1 = (F_{12} \Delta s_1) + (F_{21} \Delta s_2),$$

то в другой системе, движущейся относительно первой, работа равна

56

$$A_2 = \left( F_{12} \left( \Delta s_1 + \Delta s_0 \right) \right) + \left( F_{21} \left( \Delta s_2 + \Delta s_0 \right) \right),$$
где $\Delta s_0$ — переменные системы друг относительно друга за время $t$. Так как по третьему закону Ньютона $F_{12} = -F_{21}$, то $(F_{12} \Delta s_0) = -(F_{21} \Delta s_0)$. Следовательно, $A_1 = A_2$.

Закон сохранения энергии в замкнутой системе

В замкнутой системе, в которой действуют консерватные силы, работа этих сил $A = -\Delta \Pi$. С другой стороны, во всех случаях $A = \Delta K$. Это означает, что при совершении работы увеличение кинетической энергии сопровождается убILITY потенциальной и наоборот:

$$\Delta K = -\Delta \Pi.$$

Отсюда вытекает закон сохранения полной механической энергии для замкнутой системы тел:

$$E = K + \Pi = \text{const.} \quad (10)$$

Все это достаточно просто, и здесь неверные представления встречаются редко. Иначе обстоит дело в случае, если на системе действуют внешние силы.

Изменение энергии системы под действием внешних сил

Ниболье распространяется здесь два недоразумения.

Во-первых, не всегда отсутствиво понятно, что внешние силы неосредственно изменяют лишь кинетической энергии тел системы, но не потенциальную энергию взаимодействия этих тел. Изменение потенциальной энергии системы всегда определяется работой сил взаимодействия (внутренних сил). Конечно, внешние силы изменяют расположение тел системы (так как изменяется их кинетическая энергия), и за счет этого меняется работая внутренних сил, а значит, меняется потенциальная энергия системы. Но если бы в системе не действовали консервающие силы, то потенциальная энергия при этом не изменялась бы.

Действительно, пуст на систему, состоящую из камня и Земли, действует внешняя сила $F$. Этот сил может быть, например, натяжение вервки, приязанной к камню. Тогда, согласно второму закону Ньютона,

$$m a = F + mg. \quad (11)$$

Пусть за некоторый промежуток времени камень переместился вертикально вверх на $\Delta s$. Умножая уравнение (11) слава и справа на $\Delta s$, получим

$$m(a \Delta s) = (F \Delta s) + m(g \Delta s),$$
или

$$m(a \Delta s) - m(g \Delta s) = (F \Delta s). \quad (12)$$

Первое слагаемое слева есть изменение кинетической энергии. Действительно, в этом случае

$$m(a \Delta s) = ma \Delta s = ma \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a} = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \Delta K.$$

Второе слагаемое слева есть изменение потенциальной энергии $\Delta \Pi$. Заметьте, что изменение потенциальной энергии произойдет за счет работы сил взаимодействия Земли и камня. А права часть — это работа внешней силы, которое можно назвать внешней работой $A_{\text{внешш}}$. Поэтому равенство (12) можно записать так:

$$\Delta K + \Delta \Pi = A_{\text{внешш}}, \quad (13)$$

то есть изменение механической энергии системы равно работе внешней силы.

Другое заблудение более серьезно.

Работа силы, действующей на тело (выражение (1)), определяется силой и перемещением тела. Но расстояние между работой, согласно третьему закону Ньютона, действует на другое тело (или тела), и при этом тоже может совершаться работа. Однако вычислить эту последнюю ра-

57

Рис. 7. При padени камня на Землю сила тяготения, приложенная к Земному шару, не совершает работы.
Рис. 8. Работа сили $F_1$, приложенной к камню со стороны руки, в точности равна по величины и противоположна по знаку работе сили $F_2$, действующей на руку со стороны камня.

боту мы не можем, если не знаем перемещения других тел.

Тем не менее очень часто утверждается, что если внешние по отношению к расстатриваемой системе сили совершают работу $A_{\text{внеш}}$, то сили, приложенные со стороны системы к внешним телам, совершают такую же по внешние работу $A'$, имеющую противоположный знак:

$$A_{\text{внеш}} = -A'.$$ (14)

Но ведь так будет лишь в том случае, когда расстатривающая система и внешние тела совершают одинаковые перемещения. А это имеет место далеко не всегда. Сили по третьему закону Ньютона обязаться по величины и противоположны по направлению, но перемещения не обязаны быть равными.

В качестве примера расстатриим две простые системы: Земной шар и padающий на него камень *). Тогда сили тяготения и для Земли и для камня будет считаться внешними силими. Сили тягости, приложенная к камню, совершит работу $A_{\text{внеш}} = mgh$, а сили, приложенная к Землю

*) Мы имеем полное право любую группу тел или одно тело считать расстатриваемой системе. Это вопрос удобства.

ле, никакой работы не совершит, так как Земной шар не смешается (рис. 7): $A' = 0$.

Иное дело, если, например, камень поднимают рукой (рис. 8). Тогда работа внешней сили $F_1$, приложенной к камню, в точности равна по величины и противоположна по знаку работе сили $F_2$, приложенной к руке со стороны камня. Точно так же работа, которое совершает дивгатель, связанный ремонт передачей со станком, равна по величины и противоположна по знаку работе, совершаемой станком над дивгатель.

Выясним детальнее, с точки зрения закона сохранения энергии, условия, при которых выполняется равенство (14). Пусть имеется незамкнутая система I из двух тел. На них действуют внешние сили со стороны третього тела (системы II). Системы I и II в целом замкнуты (рис. 9).

Согласно второму закону Ньютона

$$m_1 a_1 = F_{12} + F_{13},$$
$$m_2 a_2 = F_{21} + F_{23},$$
$$m_3 a_3 = F_{31} + F_{32}.$$ (15)

Сили $F_{12}$ и $F_{21}$ являются внутренними для системы I, а сили $F_{13}$ и $F_{23}$ — внешними. Система II состоит из одного тела, и все действия на нее сили являются внешними.

Пусть за малое время первоое тело перемещилось на $\Delta s_1$, второе на $\Delta s_2$, а третье на $\Delta s_3$. Умножим уравнения (15) на $\Delta s_1$, $\Delta s_2$ и $\Delta s_3$ соответственно. Тогда, учитывая, что $m_i(a_i \Delta s_i) = \Delta K_i$, получим

$$\Delta K_1 = (F_{12} \Delta s_1) + (F_{13} \Delta s_1),$$
$$\Delta K_2 = (F_{21} \Delta s_2) + (F_{23} \Delta s_2),$$
$$\Delta K_3 = (F_{31} \Delta s_3) + (F_{32} \Delta s_3).$$ (16)

Рис. 9. Взаимодействие между системами I и II, изолированными от внешнего мира.

58

Складывая первые два уравнения системы (16) и учитьвая, что $(F_{12}\Delta s_1) + (F_{21}\Delta s_2)$ есть изменение энергии взаимодействия системы I, взятое со знаком минус, а $(F_{13}\Delta s_1) + (F_{23}\Delta s_2)$ есть работа внешних сил, получим

$$\Delta (K_1 + K_2) + \Delta I_1 = A_{\text{внешш}}.$$ (17)

Знакомый результат: изменение механической энергии системы равно работе внешних сил.

Согласно третьему уравнению системы (16)

$$\Delta K_3 = A'.$$ (18)

где $A'$ — работа сил системы I над системой II.

Сложив уравнения (17) и (18), будем иметь

$$\Delta (K_1 + K_2) + \Delta I_1 + \Delta K_3 = \Delta E_1 + \Delta E_{II} = A_{\text{внешш}} + A'.$$ (19)

Здесь $E_1 = K_1 + K_2 + \Pi_1$ — полная энергия первой системы, а $E_{II} = K_3$ — энергия второй системы. Отсюда видно, что

$$A_{\text{внешш}} = -A'.$$

если

$$\Delta E_1 = -\Delta E_{II},$$ (20)

то есть если убыль энергии первой системы равна увеличению энергии второй (или наоборот).

Потенциальная энергия взаимодействия системы с внешними телами

Условие равенства работы (равенство (14)) можно записать по-другому, если ввести понятие потенциальной энергии взаимодействия расматриваемых систем. Перепишем уравнение (19) в развернутом виде, подставив выражения для работы $A_{\text{внешш}}$ и $A'$:

$$\Delta E_1 + \Delta E_{II} = (F_{13}\Delta s_1) + (F_{23}\Delta s_2) + (F_{31}\Delta s_3) + (F_{32}\Delta s_3).$$ (21)

Пусть силы взаимодействия тел системы I с системой II являются консервативными. Тогда $(F_{13}\Delta s_1) + (F_{31}\Delta s_3) = -\Delta I_{13},$ а $(F_{23}\Delta s_2) + (F_{32}\Delta s_3) = -\Delta I_{23},$ где $I_{13}$ и $I_{23}$ — потенциальные энергии взаимодействия тел 1-3 и 2-3. Сумма

$$\Pi_{13} + \Pi_{23} = \Pi_{I-II}$$ (22)

представляет собой потенциальную энергию взаимодействия системы I — II. Ее можно назвать потенциальной энергией взаимодействия системы I с внешним телом 3.

Тепер равенство (22) запишем так:

$$\Delta E_1 + \Delta E_{II} = -\Delta I_{I-II}.$$ (23)

Значит, $\Delta E_1 = -\Delta E_{II}$ и, следовательно, $A_{\text{внешш}} = -A'$ в том случае, когда $\Delta I_{I-II} = 0$, то есть когда потенциальная энергия взаимодействия системы не меняется.

Когда двигательная энергия их взаимодействия (энергия растянутого приводного ремон) остается неизменной. При наличии же камня на Землю потенциальная энергия взаимодействия меняется. Поэтому в первом случае $A_{\text{внешш}} = -A'$, а во втором это равенство не выполняется.

Роль сил трения

Силами, зависящими от скорости, в механике являются силы трения. Как и все силы, силы трения изменяют кинетическое энергию системы. Причем, хотя силы трения могут совершать и положительные работы, суммарная работа сил трения внутренней системы всегда отрицательна, и они уменьшают кинетическое энергию системы. Понять, почему так происходит, можно на таком примере.

Найдем изменение кинетической энергии в системе, состоящей из теляжки массы $M$, движущейся без треня со скоростью $v_0$ по гладкой горизонтальной поверхности, и киппча массы $m$, положенного на теляжку в начальной момент времени (рис. 10). Пусть киппчисна скольчит по теляжеке и проходит относительно нее расстояние $l$. После этого киппчисна вместе с теляжкой. Козффициент треня между киппчом и теляжкой равен $k$.

За время $t$ тленежка прошедет относительно земли путь $s$, а скользя-

Рис. 10. Отрицательная работа на пути $s$ большие положительные работы на пути $s-l$.

59

ший по ней кирпич пройдет путь $s - l$. После этого они будут двигаться с одинаковой скоростью $v$.

Сила треня скольжения $F_1 = kmg$ совершит над кирпичом положительное работу, которая увеличит кинетическая энергия кирпича:

$$A_1 = kmg(s - l) = \Delta K_1 = \frac{mv^2}{2}.$$

Работа силы треня $F_2 = -kmg$, действующей на тележку, будет отрицательной, что вызовет уменьшение кинетической энергии тележки:

$$A_2 = -kmgs = \Delta K_2 = \frac{Mv^2}{2} - \frac{Mv_0^2}{2}.$$

Складывая почленно эти уравнения, получим, что

$$\frac{(M + m)v^2}{2} - \frac{Mv_0^2}{2} = -kmgl,$$

то есть убиль кинетической энергии системы равна работе силы треня на пути, равном относительной перемещению кирпича и тележки.

Итак, работа силы треня ведет к убили кинетической энергии системы. Но при этом под действием силы треня потенциальная энергия системы не увеличивается, как это происходит под действием консервативных сил. Это является следствием того, что силы треня зависит от расстояний между телами, а от их относительных скоростей. В результате работа этих сил зависит от формы траектории тела, а не только от его начального и конечного положения в пространстве. Сила треня, действующие внутри системы, изменяют кинетическую энергию системы так же, как и внешние силы. Поэтому при наличии сил треня в замкнутой системе ее механическая энергия убивает:

$$\Delta E = A_{\text{tp}} < 0.$$

В связи со сказанным может возникнуть такой вопрос. Известно, что сила треня может поднять кирпич на движущемся с постоянной скоростью транспорте. Не означает ли это, что работа этой силы увеличивает потенциальную энергию системы кирпич — Земля? Конечно, нет. В данном случае положительная работа силы треня равна отрицательной работе составляющей силы тяжестии вдоль наклонной плоскости. Из-за этого кинетическая энергия кирпича не меняется. Потенциальная же энергия кирпича растет, так как сила взаимодействия между Землей и кирпичом, то есть сила тяжестии, совершает при подъеме кирпича отрицательную работу.

У разженняя

1. Почему при абсолютоно упругом соударении шарика со стенкой импульс шарика меняется, а кинетическая энергия не меняется?

2. Закрытый пробкой сосуд, вес которого равен выталкивающей силы, поконтся на дне стакана с водой. Почти не совершая работы, его можно поднять к поверхности воды. Если теперь вынуть пробку, то сосуд наполнится водой и утомет. При этом он может совершить работу. Если же вынуть пробку, когда сосуд лежит на дне, то он также наполнится водой, но работы не совершит.

3. Кубик сослазывает без треня с наклонной плоскости высотой $h$. Согласно закону сохранения энергии его кинетическая энергия у основания плоскости равна $\frac{mv^2}{2} = mgh$. Расмотрим трень движение кубика с точки зрения инерциальной системы отчета, движущемся вдоль наклонной плоскости со скоростью $v = \sqrt{2gh}$. В этой системе отчета наальная скорость кубика равна $v = \sqrt{2gh}$, а конечная скорость равна нулю. Следовательно, наальная энергия $E_1 = \frac{mv^2}{2} + mgh = 2mgh$, а конечная $E_2 = 0$.

Куда же исчезла энергия?

4. Расматривая padение камня на Землю, мы говорим об изменении импульса Земли, о том, что оно равно изменению импульса камня, а изменение кинетической энергии Земли при этом не учитывается. Как это можно обьясить?