Читатели советуют

48

Читатель советуют
Н. Х. Розов

В общирной редакционной почте «Кванта» много писем, в которых обсуждаются те или иные теоретические вопросы школьного курса математики и физики, предлагаются приемы решения некоторых типов задач, содержатся отдельные замечания и наблюдения методического характера. Хотя приводимые читателями сообщения и задачи не всегда новые и оригинальные, ряд затронутых в письмах вопросов, на наш взгляд, представляют интерес для поступающих.

Позому сегодня в «Практикуме абитриента» помещается необходимая статья: редакция публикует подборку материалов по математике, составленную по идеям и предложенным из письм читателей. Мы надеемся, что подобные подборки являются своевременной формы опытом и идеями.

На вступительных экзаменах часто предлагают задачи такого типа: выяснить (не пользоваться таблицами), что больше: $\log_a M$ или $\log_b N$, где $a, b, M, N$ — данные числа, причем, естественно, $a > 0, a \neq 1, b > 0, b \neq 1, M > 0, N > 0$. В «Практикуме абитриента» (см. «Квант», 1972, № 3) уже приводились примеры решения подобных задач. Читатель В. А. Грубиян (г. Березники Пермской области) обращает внимание на возможность использования для сравнения величины логарифмов двух чисел следующий примем.

Задача решения совем просто, если удается найти такое целое число $k$, что, скажем,

$$\log_a M < k, k < \log_b N.$$

Позому наиболее интересен случай, когда

$$k - 1 < \log_a M < k,$$
$$k - 1 < \log_b N < k.$$

В этом случае следует стремиться подобрать такое натуральное $n$, чтобы между $n$ и $n \log_b N$ оказалось некоморое целое число $p$. Подбор числа $n$ с указанным свойством осуществляется последовательными пробами.

Пример 1. Сравнить $\log_3 4$ и $\log_7 10$.

Легко проверить, что $1 < \log_3 4 < 2, 1 < \log_7 10 < 2$, но отсюда не видно, какой из предложенных логарифмов больше. Возьмем $n = 2$; получим $2 \log_3 4 = \log_3 16, 2 \log_7 10 = \log_7 100$. Так как $2 < \log_3 16 < 3$ и $2 < \log_7 100 < 3$ (убедитесь в этом!), то значение $n = 2$ требуем свойством не обладает. Аналогично проверяется, что и значение $n = 3$ нам не подходит.

Для $n = 4$ получаем:

$$4 \log_3 4 = \log_3 256, 4 \log_7 10 = \log_7 1000.$$

Поскольку $3^5 = 243, 3^6 = 729$ и $7^4 = 2401, 7^5 = 16807$, то $5 < 4 \log_3 4 < 6, 4 < 4 \log_7 10 < 5$, так что значение $n = 4$ требуем свойством обладает (роль $p$ играет число 5). Отсюда получаем, что

$$\log_3 4 > \log_7 10.$$

Пример 2. Какое из двух чисел больше: $\log_{\sqrt{2}} \frac{6}{11}$ или $\log_{2/5}$?

Непосредственно проверяется, что оба числа заключаены между —2 и —1. Взяв $n = 2$, получим

49

$$2 \log_2 \frac{6}{11} = -\log_2 \frac{11^4}{6^4},$$

откуда легко найти, что
$$-4 < 2 \log_2 \frac{6}{11} < -3.$$

С другой стороны,
$$2 \log_2 \pi = \log_2 \pi^2,$$
и несложный подсчет показывает, что
$$-3 < \log_2 \pi^2 < -2.$$

Таким образом, $\log_2 \frac{6}{11} < \log_2 \pi$.

Конечно, число проб, необходимых для подбора нужного $n$, в разных задачах различно (и может быть велико), но важно, что такое $n$ всегда найдется. Именно, докажем следующие утверждения, являющиеся теоретическим обоснованием использованного приема: если $\log_a M \neq \log_b N$, то существует такое натуральное $n$, что между $n \log_a M$ и $n \log_b N$ заключено некоторое целое число.

Пусть $\alpha = \log_a M$ и $\beta = \log_b N$, причем $\alpha \neq \beta$. Допустим, например, что $\alpha > \beta$ (случай $\alpha < \beta$ рассматривается аналогично). Тогда $\alpha - \beta$ положительное число, и потому найдется такое натуральное $n$, что дробь $1/n$ меньше этого положительного числа: $\frac{1}{n} < \alpha - \beta$ или $n\alpha - n\beta > 1$. Но последнее неравенство означает, что числа $n\alpha = n \log_a M$ и $n\beta = n \log_b N$ отличаются большие, чем на единицу, а значит, между этим числам должно находиться некоторое целое число.

Напомним в заключение один весь общий метод определения знака неравенства между числами (или выражениями) $\alpha$ и $\beta$: nbмаотся подобрать такое число (выражение) $\gamma$, для которого, например, $\alpha < \gamma$ и одновременно $\gamma < \beta$. Описанный выше примяяется по существу вариантом этого метода: роль $\gamma$ играет здесь число $p/n$.

Упражнения

1. (МГУ, ф-т психологии, 1969). Доказать, не пользоваться таблицами, что $\log_3 7 > \log_7 27$.

2. (МГУ, филфак, 1969). Доказать, не пользоваться таблицами, что $\log_5 14 > \log_7 18$.

3. (МГУ, экономич. ф-т, 1972). Не пользоваться таблицами, определять, что больше: $\log_4 60$ или $\log_3 30$.

При доказательстве иногда оказываются полезными алгебраические тожества и, в частности, тожества
$$a^n - b^n = (a - b) (a^{n-1} + a^{n-2} b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}),$$
где $n$ — натуральное число, а $a$ и $b$ — действительные числа. Ученик 10 класса Л. Давитидзе (село Шухеви Грузинской СССР) предложает читательм журнала использовать это тожество (доказав его) для решения следующего упражнения.

4. Доказать; что если $m$ — натуральное число и $c \ge 1$, то справедливо неравенство
   $$m^2 - c + 1 + m^2 - c - 1 < 2m^2 - c.$$
   Решение некоторых задач удается существенно упростить, если применить удачную тригонометрическую подстановку. Гибкость тригонометрических формул позволяет в ряде случаев облегчить выполнение преобразования, освобождение от радиkalов, получить более простые и обозримые выражения. Этому вопросу посвязывается письма наших читателей В. В. Пикан (Киев) и Д. П. Дорожина (г. Павловская слобода Московской области).

Суть тригонометрической подстановки состоит в том, что переменная $x$, входящая в фигурирующие в условиях задания выражения, рассматривается как значение некоторой тригонометрической функции вспомогательного переменного угла $φ$, причем эту функцию стараются подбрать так, чтобы предложенные выражения записывались более компактно.

Пример 3. Вычислить значение выражения
$$A = \left[ \frac{(x^2 + a^2)^{-1/4} + (x^2 - a^2)^{-1/4}}{(x^2 + a^2)^{-1/4} - (x^2 - a^2)^{-1/4}} \right]^{-3} \tag{1}$$

50

$$npu x = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} \right)^{1/2},$$
$$\varepsilon de a < 0, n > m > 0.$$

Так как интересующее нас значение $x$ отрицательно, то прежде всего упростим выражение (1), считая, что $x < a$. (Заметьте, что (1) имеет смысл лишь при $|x| > |a|$, и доказите, что указано в условияне значение $x$ этому неравенству удовлетворяет!). Наличие двучленов $x^2 \pm a^2$ наводит на мысль положить $x = a \mathrm{tg} \varphi$, что позволяет записать эти двучлены процеду:

$$x^2 + a^2 = \frac{a^2}{\cos^2 \varphi},$$
$$x^2 - a^2 = -\frac{a^2 \cos 2\varphi}{\cos^2 \varphi}.$$

Позному применим тригонометрическую подстановку:

$$x = a \mathrm{tg} \varphi, \frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{\pi}{2}.$$

Несложные преобразования показывают, что тогда

$$A = \left( \frac{\sqrt{4 - \cos 2\varphi} - 1}{\sqrt{4 - \cos 2\varphi} + 1} \right)^3, \frac{\pi}{4} < \varphi < \frac{\pi}{2}.$$

Далее, легко подсчитать, что если $x = a \mathrm{tg} \varphi = a \left( \frac{m^2 + n^2}{2mn} \right)^{1/2}$, то

$$\cos 2\varphi = \frac{1 - \mathrm{tg}^2 \varphi}{1 + \mathrm{tg}^2 \varphi} = -\frac{(n - m)^2}{(n + m)^2},$$

и потом при указаном значении $x$

$$A = \frac{(4n^2 - m^2) \sqrt{n^2 - m^2} - (4n^2 - 3m^2)n}{m^3}.$$

Пример 4. Решить уравнение

$$\sqrt{1 + \sqrt{1 - x^2}} \left[ \sqrt{(1 + x)^3} - \sqrt{(1 - x)^3} \right] = 2 + \sqrt{1 - x^2}.$$

Область допустимых значений для этого уравнения является множество $|x| \leq 1$. Если воспользоваться тригонометрической подстановкой $x = \cos \varphi, 0 \leq \varphi \leq \pi$, то, как легко проверить, от радикалов удается воспользоваться принципом вид

$$\left( \cos \frac{\varphi}{2} + \sin \frac{\varphi}{2} \right) \cdot 2\sqrt{2} \times \left( \cos^3 \frac{\varphi}{2} - \sin^3 \frac{\varphi}{2} \right) = 2 + \sin \varphi.$$

Отсюда в свою очередь получаем уравнение

$$\sqrt{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \sin \varphi \right) \cos \varphi = 1 + \frac{1}{2} \sin \varphi$$

или

$$\left( \sqrt{2} \cos \varphi - 1 \right) \left( 1 + \frac{1}{2} \sin \varphi \right) = 0,$$

которое уравлетряется лишь при $\cos \varphi = \sqrt{2}/2$. Следовательно, исходное уравнение имеет корень $x = \sqrt{2}/2$.

Пример 5. Найти наименьшее и наибольшее значения функции

$$y = \frac{1 + x^4}{(1 + x^2)^2}.$$

Аргумент этой функции пробегает все действительные числа, и потому мы можем рассматривать $x$ как значение тангенса вспомогательного переменного угла $\varphi$, изменяющегося на промежутке $-\pi/2 < \varphi < \pi/2$. Пригонометрическая подстановка $x = \mathrm{tg} \varphi, -\pi/2 < \varphi < \pi/2$ позволяет вместе функции (2) исследовать функцию

$$y = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\varphi$$

при $-\pi/2 < \varphi < \pi/2$. Поскольку $0 \leq \sin^2 2\varphi \leq 1$, то очевидно, что наименьшее значение функции (3) равно $\frac{1}{2}$ и достигается при $\varphi = -\pi/4$ и при $\varphi = \pi/4$, а наибольшее равно 1 и достигается при $\varphi = 0$. Отсюда заключаем, что наименьшее значение функции (2) равно $\frac{1}{2}$ и достигается при $x = -1$ и при $x = 1$, а наибольшее равно 1 и достигается при $x = 0$.

Отметим, что примеры использования тригонометрических подстановок для решения уравнения уже расс

51

сматривались в «Практикуме абитриента» (см. «Квант», 1971, № 1).

У пряженя
5. Упростить выражение
$$B = \frac{(m+x)^{3/2} - (m-x)^{3/2}}{(m+x)^{3/2} + (m-x)^{3/2}}, \quad m > 0.$$

6. Найти наиболее и наиболее значения функции
   $$y = \frac{(x+1)^2}{x^2+1}.$$

Ученик 9 класса В. Оласюк (г. Тулуп Иркутской области) предлагает читательям журнала решить следующие задачу.

7. На лице бумаги изображены оси координат и парабола, являющаяся графиком функции $y = x^2$. Оdnako единlua длины, используваяся при построении графика для измерения расстояний вдоль осей, не указана. Как восстановить эту единшую длины?

---

При решении уравнения удачная замена неизвестного часто позволяет вместо сложного исходного уравнения рассматривать более простое. Оdnako «увидеть» нужно замену не всегда легко, и здесь может помочь лишь настоящийость, приобретенный опыт и значение наиболее употребительных замен.

Наш читатель И. А. Гаврилов (г. Фрязино Московской области) в своем письме напоминал об одном типе замен для решения алгебраических уравнений. Эти замены с полным основанием можно назвать «симметризации».

Покажем, в чем состоит «симметризация» на примере двух уравнений четвертой степени.

Если уравнение
$$(x-a)^4 + (x-b)^4 = c$$
ввести вместо неизвестного $x$ новое неизвестное
$$y = x - \frac{a+b}{2},$$
мо получим биквадратное уравнение.

Ясно, что при любом $x$ число $x - \frac{a+b}{2}$ является серединой отрезка с концами в точках $x-a$ и $x-b$. Если в уравнения
$$(x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = p$$ (4)
разносится каких-либо пар чисел $a, b, c, d$ совпадают, например, $a-b = c-d$, то замена неизвестного
$$y = x - \frac{b+c}{2}$$
приводит к биквадратному уравнению (убедитесь в этом!). Отметим, что если $a-b = c-d$, то двучлен $x-a - \frac{b+c}{2}$ служит в некоторых «центромяжесте» сомножителей $x-a, x-b, x-c, x-d$, что наглядно видно из геометрической интерпретации этих уравнений точками числовой оси (см. рисунок).

Идея «симметризация» с успехом применяется при решении и ряда других алгебраических уравнений и систем уравнений.

У пряженя
8. Решить уравнение $x^2 + \frac{25x^2}{(x+5)^2} = 11$.
9. Решить уравнение
$$4\sqrt{x} + \sqrt{4-x^2} = 4+x.$$
10. Найти вещественные решения системы уравнений
$$\begin{align*} (x+y-2)^4 + (x+y)^4 &= 82, \\ x^2-y^2 &= 3. \end{align*}$$
11. (УДН, 1973). Решить уравнение
$$(x^2-4x)^2 + 2(x-2)^2 = 43.$$
12. (УДН, 1973). Решить уравнение
$$\frac{5}{x^2+3x} + \frac{6}{(x+1)(x+2)} = 1.$$