Задачи

72

Задания

1. На противоположных берегах реки напротив друг друга растут две палмы. Высота одной из них 10 метров, другой — 15 метров, расстояние между основаниями пальм равно 25 метра. На верхушке каждой палмы сидит птица. Внезапно себе птицы заметили рыбу, выплывую на поверхность реки между пальмами. Птицы бросились к рыбе и доступили ее одновременно.

На каком расстоянии от основания более высокой пальмы выплыла рыба?

2. На улице идет дождь. В каком случае ведро, стоящее в кузове грузовика, быстрое наполнится: когда грузовик стоит или когда он движется?

3. На лугу растет трава. Пустили на луг 9 коров, они опустили луг за 4 дня. Если бы на луг пустили 8 коров, то они съели бы всю траву за 6 дней.

Сколько коров могут кормиться на луг все время, пока растет трава?

4. На чашечных весах уравновешена свеча. Нарушится ли равновесие, когда свечу зажгут? Если narушится, то в какую сторону?

5. Для того чтобы определить неизвестное сопротивление, имея в своей распоряжении амperметр и волтметр, один раз собрали схему, показанную на рисунке 1, другой раз — на рисунке 2. Измерили напряжение и ток. В каком случае полученное значение сопротивления будет близке к истинному?

Художник Э. Назаров

73

Б. А. Кордемский

Топологические опыты
своими руками

Лист Мёбиуса и переплетение колес

Поверхность колца, надаваемого на палец, имеет две стороны (рис. 1).
Одной стороны колцо соприкается с пальцем, вторая сторона — наружная. У этих сторон две границы (два края), каждая имеет форму окружности. Если какая-нибудь букашка захочет переплетти с наружной стороны колца на внутреннюю, то она при этом непреемно должен пересечь ту или другую границу.

Легко приготовить простую модель поверхности совсем другого «фасона» — не двухсторонней, как поверхность колца, а односторонней поверхности (рис. 2). Первым описал такую поверхность Август Мёбиус (в 1863 году). Перекрутите на полоборота один конец прямогольной бумажной полоски и приклейте его к другому концу той же полоски. Получится модель поверхности, у которой нет двух сторон — «внутренне» и «внешней». Эту модель так и называют: «лист Мёбиуса».

Чтобы убедиться в том, что у поверхности листа Мёбиуса только одна сторона, возвращите цветной карандаш и начините последовательно закрашивать лист, не отрывая карандаша от его поверхности и не пересекая края листа. Вернутьись к тому месту, с которой начали, вы увидите, что окажется окрашенной вся поверхность листа, хотя его край вы и не пересекали ни разу.

Возьмите теперь несколько листов бумаги поплотней, kleй, ножниц и проделяйте несколько практических упражнений с листом Мёбиуса и другими моделими, изготовляемыми из прямогольных полосок бумаги.

О пыт 1. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно — два колечка, причем длина окружности каждаого будет такой же, как длина ок-

Рис. 1.
Рис. 2.

74

ружности первоначально взятого колечка. А если вы разрежете лист Мёбиуса вдоль его средней линии, то получится…
Проделяйте и посмотрите, что получится.

О пыт 2. Приготовьте второй лист Мёбиуса из достаточно широкой полоски и разрезайте его ножницами так, чтобы линяя разреза все время шла вдвое ближе к левому краю полоски, чем к правому (линия разреза сбойдет лист Мёбиуса дважды). Вот теперь образуется…

Тот же результат получится, если вовь взяты бумажную полоску; один конец перекрутить на полный оборот (на 360°), прикленть к другому концу и разрезать получившуюся модель по средней линии.

О пыт 3. Надрежьте концы бумажной полоски, как показано на рисунке 3. Склейте концы A и D. Пропустите конец B под A и прикленте его к E. Пропустите конец C между B и A, а конец F между D и E, после чего склейте концы C и F. Все склейания концов произвольите прямо, то есть без предварительного перекручивания.

a) Теперь каждой начатый разрезprodолжайте вдоль всей модели. Получится…

6. Если вы ошибете и конец C приклenten к концу F, не пропустив C между B и A, то после указаного разрезания получится…

О пыт 4 (предложен Э. Степоном в 1930 году). Еще раз приго—

товьте бумажную полоску с надрезами (рис. 3). Поверните конец E направо (верхим концом от себя) и склейте с концом C. Поверните конец F направо и приклenten к концу B. Пропустите конец A под B и склейте его с концом D без перекручивания. Теперьprodолжайте первый и второй разрезы вдоль всей модели — получится…

О пыт 5. Любопытно решение такой задачи: подготовить из бумажной полоски модель, из которого можно было бы получить переплетение (в частиности, обчичную цель) n колес при помощи лишь одного сквозного разрезания. (Авторы темы M. Brooke and J. Madachy.)

Секрет решения заключен в перварительном сгибании полоски по ее длине еще до разрезания и в способе склеивания надрезанных концов согнутой полоски.

Начните с полоски, перегнутой по длине один раз (рис. 4). Перекрутите ее на полный оборот (360°) и склейте концы, накладывая «domikom» один конец на другой. Теперь разрежьте двойной слой склеенной ленты по ее средней линии — получается три колца, сцепленные попарно.

О пыт 6. Согните бумажную полоску и сделайте надрезы, как показано на рисунке 5. Не перекручивая, склейте концы согнутой полоски, так, как показано на рисунке 6.prodолжайте разрез вдоль всей модели по двойному слюю.

75

Рис. 5.

a) Если сделано все точно, то получится…
б) Если вы допустите некоторое отклонение от инструкции, то могут получиться…
О пыт 7. Чтобы получить цель из колец с помощью всего лишь одного сквозного разреза, возьмите достаточно широкую полоску бумаги и согласите ее «гармошкой» (рис. 7). Надрежьте концы, как показано на рисунке, придайте согласно полоске форму колца и скленайте также концы: C и C, D и D, E и E — прямо, как они соединяются бы при смыкании концов полоски для образования простого колца; B и B — предварительно протащив один из этих концов под колцами CC и DD; A и A — предварительно протащив один из этих концов под колцами CC и EE.

a) Теперь продолжайте разрез вдоль модели по всем складкам — получится…
б) Если работа будет выполнена с некоторым отклонением от инструкции (по ошибке или преднамеренно), то все равно получится …
Ответы к предыдущим задачам и опытам приведены в конце журнала. К следующим шести опытам указаны не будет. Придется самостоятельно искать пути решения. Ставим такое условие: добиться результатов с помощью одного сквозного разреза модели, конструкированной из бумажной полоски, некоторым образом

Рис. 6. Рис. 7.

нутой, надрезанной и концы которой склеены.
О пыт 8. Изготовить цель в 4 колца.
О пыт 9. Изготовить две отдельные цепи в 2 и 3 колца каждой.
О пыт 10. Изготовить цель в 3 колца с четырьмя колцом, зацеппившимся за среднее колцо.
О пыт 11. Изготовить цель в 9 колцо.
О пыт 12. Изготовить три отдельных куска цепи по 3 колца в каждой куске (из одной бумажной полоски).
О пыт 13. Изготовить отдельный куск цепи в 4 колца и второй отдельный куск цепи в 5 колцо (из одной бумажной полоски).

76

К статье «Проектные шахматы»

1. 1. Фg4 — d1 — M₁! В распоряжении черных — ходы ладьей, слоном или конями. При ходе ладьи d6 или слона c4 на любое конечное поле доски их с матом берет белый ферзь с M₁. Если ладь d6 идет на поле Oy (через d8), то ее берет белая ладь с матом, а если слон c4 будет ферзя на M₁, то этого слона с матом берет белый слон h3. Наконец, на любой ход коня h7 следует 2. Кf6 мат, а на любой ход коня g6 — 2. Ke7 мат.
2. 1. Cd4 — h8 — M₁! (с угрозой 2. c3 — c4 мат) 1…Ch3 — f1 2. Kh4 — g2! (с угрозой 2. Kg2 : e3 мат) 2…Cf1 : g2 3. c3 — c4 мат: 1…Ch3 — M₂ 2. Kh4 — g2! Kg3 — f1 3. c3 — c4 мат!

К статье «Об одной интересной книге по математике»

1. Существуют две схемы.
2. Для одной схемы — изменить ориентацию лицевой матрицы. Для другой — разделить лицевую матрицу пополам горизонтальной осью, поменять местами половины, не изменяя ориентации.

К статье «Читатель советуют»

1. Убедиться, что требуемый свойством обладает значение n = 4, а роль p играет число 7.

2. Убедиться, что требуемый свойством обладает значение n = 2, а роль p играет число 3.

3. Показать, что log₄ 60 < 3 < log₃ 30.

4. Переписать предложенное неравенство в виде
   $$\frac{m \sqrt{c+1} - m \sqrt{c}}{m \sqrt{c} - m \sqrt{c-1}} < 1,$$
   для дальнейшего доказательства использовать равенства
   $$1 = \left( \frac{m \sqrt{c+1}}{m} \right)^m - \left( \frac{m \sqrt{c}}{m} \right)^m,$$
   $$1 = \left( \frac{m \sqrt{c}}{m} \right)^m - \left( \frac{m \sqrt{c-1}}{m} \right)^m$$
   и разложение их правых частей на множители (см. с. 49).

5. B =
   $$\frac{x}{m + \sqrt{m^2 - x^2}} \frac{2m + \sqrt{m^2 - x^2}}{2m - \sqrt{m^2 - x^2}}.$$
   Указано e. Применить подстановку x = m cos φ, 0 ≤ φ ≤ π.

6. Наибольшее значение равно 2 и достигается при x = 1, наименьшее значение равно 0 и достигается при x = -1.

7. Перегнуть лист бумаги так, чтобы положительное направление оси x совпало с положительным направлением оси y. Тогда линии сгиба будет биссертрикой y = x первого координатного угла, пересекающей с графиком y = x² в точке (1, 1). Перpendикуляр, опущенный из этой точки на ось, дает возможность установить единицу длины.

8. $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}, x_{3,4} = \frac{-11 \pm 3 \sqrt{11}}{2}$.
   Указано e. Переписать уравнение в виде
   $$\frac{1}{\left( \frac{1}{x} \right)^2} + \frac{1}{\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{5} \right)^2} = 11$$
   и использовать замену y = $\frac{1}{x} + \frac{1}{10}$.

9. $x_{1,2} = \left( 1 \pm 1 \sqrt{10-3} \right)^2$. Указано e. Положив $\sqrt{x} = z$, переписать уравнение в виде $z^4 + (z-2)^4 = 4$. Показать, что получающие действительные значения x являются корнями исходного уравнения.

10. $x_1 = 2, y_1 = 1; x_2 = -2, y_2 = 1$.

11. $x_1 = -1, x_2 = 5$. Указано e. Использовать замену y = x - 2.

12. $x_1 = -5, x_2 = 2, x_{3,4} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$. Указано e. Использовать замену y = x + $\frac{3}{2}$.

К статье «О законе сохранения энергии в механике»

1. В процессе соударения на шарик со стороны стены действует сила, направления все время в одну сторону. Поэтому импульс меняется:
   $\Delta (mv) = F\Delta t$.
   Перемещение шарика в процессе соударения сначала проискодит против силы F, а затем по направлению F. Поэтому работа A = -FΔs + FΔs = ΔK=0.
   Работа, а значит, и изменение кинетической энергии за время соударения равны нулю.
2. Давление воды у дна стекана больше, чем у поверхности. Поэтому кинетическая

77

Энергия воды, втекающей в сосуд, открытыый у дна, большше, чем кинетическая энергия воды, втекающей в сосуд у поверхности. В конце концов кинетическая энергия переходит в тепло. Следовательно, вода больше нагреется во втором слуае, чем в первом.

3. В движущейся системе отчета сила реакции плоскости не перпендикулярна скорости кубика. Она и совершает работу, уменшаюшую энергию кубика.

4. Изменение импульса тела равно имплусу приложенной к нему сили. Так как сили тяготения, действующие на камень и Землю, равны по величины и действуют одинаковое время, то равны и изменения имплусов этих тел.

Изменение кинетической энергии тела равно равоте сили, которая зависит от сили и от перемещения. Сили одинаковы, а перемещения камня и Земли, обратно пропорциональные их массам, различны. За время падания камня перемещение Земли будет столь малым, что им можно пребежать. Поэтому закон сохранения энергии можно записать в форме, не учитывающий изменение кинетической энергии Земли.

К статье «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова» Математика

Химический факультет

1. 18 коп.
2. $x \leq 0$, $1 \leq x < \log_3 5$. Указание. Ввести новое неизвестное $y = \log_2 (5 - 3^x)$.
3. $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{\pi}{6}$.
4. $V = 4(1 + \sqrt{10})^3$, $\alpha = \arccos (-1/10)$.
   Указание. Заметьте, что радиус первого шара равен трети высоты пирамиды.
5. Оба острых угла равны $45^\circ$.

Факультет биологии

1. 6 часов.
2. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $x_2 = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{n\pi}{2}$; $k$, $n$-целье числа.
3. $x = (-1)^k \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$; $k$-целье число.
4. 5/12.
5. $a \geq 2$. Указание. Найти все действительные значения $a$, при которых трехлен $y = z^2 - az - (a + 3)$ имеет хотя бы один неотрицательный корень.

Геологический факультет

1. $x = 1$, $y = (-1)^k \frac{\pi}{6} - 1 + k\pi$; $k$-целье число.

2. $x > -2$.

3. $9 + \sqrt{11} \kappa m/u$.

4. $1/2 < x < 2$, $x \neq 1$, $x \neq 3/2$.

5. $\sqrt{2} \text{ см}$.

Факультет почвоведения

1. 9 юношей и 6 девушек.

2. Второе выражение больше.

3. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + k\pi$, $x_2 = (-1)^n \times \arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{6}} \right) + \frac{\pi}{4} + n\pi$; $k$,
   $n$-целье числа.

5. $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Географический факультет

1. 14 м/ч и 18 м/ч.
2. Предложенное выражение равно 6.
3. $\sqrt{10}$.
4. $x = -2 + \sqrt{4 - 2\log_3 5}$.
5. $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$; $n$-целье число.

Физика

1. Обозначим точки, где находится первоначальное заряды $q_1$ и $q_2$, буквами $P$ и $Q$. Пусть расстояние между этими точками равно $L$. Удалим временно заряд $q_1$ в бесконечность. При этом, согласно определению потенциала, нужно совершить работу $A_1 = -q_1 (\varphi_0P + \varphi_2P)$, где $\varphi_0P = q_0/4\pi\epsilon_0 l_1$ и $\varphi_2P = q_2/4\pi\epsilon_0 L$ — потенциалы в точке $P$, создаваемые зарядами $q_0$ и $q_2$. Переместим теперь заряд $q_2$ в точку $P$. Для этого потребуется совершить работу $A_2 = q_2 (\varphi_0P - \varphi_0Q)$, где $\varphi_0Q = q_0/4\pi\epsilon_0 l_2$ — потенциал в точке $Q$, создаваемый зарядом $q_2$, находящимся в точке $P$. Полная работа, совершенная при перемещении зарядов $q_1$ и $q_2$, равна $A = A_1 + A_2 + A_3 = \frac{q_0 (q_2 - q_1) (l_2 - l_1)}{4\pi\epsilon_0 l_2 l_1} = 3 \cdot 10^{-4} \text{ дж}$.

2. Самолет спускается по прямой линии, составляющей с горизонтом угол $\alpha$, причем $\sin \alpha = \frac{h_1 - h_2}{l}$. На самом деле действуют:

сила тяжесте, направленная вертикально вниз и равная $mg$, подъемная сила, направленная первоначкульрно линни движения самолета, и сила $f$ сопротивления воздуха, направлена в сторону, противоположную движению.

78

Так как самолет движется равномерно, то векторная сумма сил равна нулю. Следовательно, равна нулю и сумма проекций всех сил на направление движения. Из последнего условия легко найти, что $f = mg \sin \alpha = mg \frac{h_1 - h_2}{l}$. Когда самолет поднимается (по условияю, вдоль линии, составляющей с горизонтом тот же угол $\alpha$), то, кроме перечисленных выше сил, на него действует еще сила тягги $F$, создаваемая motorом и направления в сторону движения. Сила сопротивления $f$ имеет ту же величины, так как скорость самолета не изменилась. Так же, как и при спуске, сумма проекций сил на направление движения равна нулю, причем проекция $mg \sin \alpha$ силы тягости и проекция $f$ силы сопротивления направлены против движения, а проекция $F$ силы тягги — в сторону движения.

Следовательно, $F = mg \sin \alpha + f = 2mg \frac{h_1 - h_2}{l}$.

Как известно, мощность $N = Fv$. Таким образом, при подъеме motor самолета развивает мощность

$$N = 2mgv \frac{h_1 - h_2}{l} = 200 \text{ ктм} \approx 272 \text{ л. c.}$$

3. Давление воды на масло, согласно закону Паскаля, $p = p_1 + p_0$, где $p_1 = \rho_0 g (h + H)$ – гидроостатическое давление стольа воды, $\rho_0 = 10^3 \text{ кц/м}^3$ – плотность воды, $g = 10 \text{ m/c}^2$ – ускорение свободного давления. С другой стороны, давление на воду со стороны масла также должно быть равно $p$, так как граница масла и воды неодвижна. Оно складывает из давления $p_2 = F/S$, которое оказывает на масло до соуса, и гидроостатического давления стольа масла $p_3 = \rho gh$. Таким образом, $p = p_1 + p_0 = p_2 + p_3$. Отсюда $F = S [p_0 + \rho_0 g (h + H) - \rho gh] \approx 1,22 \cdot 10^4 \text{ н}$.

4. Пусть $A$ — точка, а $B$ — ее изображение, когда линза $J$ находится в первоначальном положении (рис. 1). Рассмотрение $a$ от точки до линзы можно найти из формулы линзы $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -\frac{1}{f}$. Знаки «минус» в формуле строит потому, что изображение и фокус в случае рассеивающей линзы минимые.

Отсюда $a = \frac{fb}{f - b}$. Когда линза сдвинута и занимает положение $J'$, изображение находится на побочной оси линзы в плоскости, лежащей на том же расстоянии $b$ от линзы (точка $B'$). Искомое расстояние $l = BB'$. Из подобия треугольников $ABB'$ и $AOO'$, где $O$ и $O'$ — центры линзы в начальном и конечном положении, следует: $\frac{l}{L} = \frac{a - b}{a}$.

Рис. 1.

Отсюда, учитывая значение $a$, найдем $l = \frac{(a - b) \cdot L}{a} = \frac{Lb}{f} = 1,2 \text{ см}$.

К статье «Встречи с треем неизвестными»

1. a) 186 859 + 96 959 = 283 818; 385 869 + 95 969 = 481 838; 387 869 + 97 969 = 485 838;

6. 6923 + 6943 = 13 866; 6943 + 6923 = 13 866; 6523 + 6543 = 13 066; 6543 + 6523 = 13 066;
   b) БУЕР — это 1972, 5472 или 8632.

2. Будем производить следующий цикл действия:
   a) наливаем воду в 17-литровый бидон;
   b) наполняем из него 12-литровый; воду из 12-литрового выливаем в бочку;
   b) то, что осталось в 17-литровом, переливаем в 12-литровый (если он наполнится, то выливаем содержимое в бочку и снова переливаем остаток из 17-литрового в 12-литровый).
   ШестЬ раз наполнить большой сосуд, наберем в общей сложности 102 литра. Из малого бидона вода будет выпята 8 раз, всего 96 литров. Останетсяровно 6 литров.
3. 7980 : 95 = 84 или 7030 : 95 = 74.
4. Два шестуугольника могут разделить плоскость на 38 части (рис. 2), а два выпуклы — только на 14. Доказите, что число части, на которой делят плоскость два многоугольника, равно числу точек пересечения их сторона, увеличному на 2.

Рис. 2.

79

5. Последняя цифра произведения определения по последним цифрам множителей: 7, 7 × 7, 7 × 7 × 7, 7 × 7 × 7 × 7, 7 × 7 × 7 × 7, … Эти числа оканчиваются на 7, 9, 3, 1, 7, 9,… соответственно, последние цифры повторяются через три на четвертую. Ответ: 9.

6. Ноги естественно считать парамети. Переявляем красной ленточкой по одной паре ногу у каждой из «присуствующих». Тогда непереяванных ног останется 13 пар — по одной паре у каждой собаки, по две пары у каждой мухи. Понятно, что мух не больше шести. И если в комнате 1, 2, 3, 4, 5, 6 мух, то собак соответственно 11, 9, 7, 5, 3, 1. Первые три случая не подходят (люди-то есть!), остальные дают три решения — 1, 2, 3 человека соответственно.

7. Участки можно разить на пары не имеющих друг с другом общих сторон. Доказите, что произведение площадей участков каждой пары равны между собой. Ответ: площадь четверго участка может быть равна 4/3 2а, 3 2а, 12 2а (участок, входящий в пару с четвертым, имеет площадь 6 2а, 4 2а, 2 2а соответственно).

8. Ответ: в этом классе 12 скрипачей; плавают, но не разводят комяков 2 ученика; ребят, разводящих хомяков, но не плавающих и не играющих на скрипке, может быть 0, 1, 2, …, 22. Для нагладности полезно направить три пересекающих круга — один для скрипачей, второй — для пловцов, третьий — для разводящих хомяков. Тогда плавающие скрипачьи будут стоять в пересечении первого и второго округов, а 3 человека, занимающие все темы третьей деятельности — в пересечении всех трех кругов и т. д.

К статье «Топологические опыты своих руками»

(см. «Кваант» 1974, № 2, 3)

Задача 1. Наример, так, как на рисунке 3.

Задача 2. Одна из карта изображена на рисунке 4.

Задача 3. Наример, так, как на рисунке 5.

О пыт 1. … одно перекрутенное колюц.

О пыт 2. … 2 колюца, но они будут сцеплены.

О пыт 3. a) … переплетение трех колюц.

6. … цепь из трех колюц.

О пыт 4. … 2 сцепленных колюца: одно больше и одно маленькое.

О пыт 6. a) … цепь из 3 колюц.

6. … три разрозненных колюца.

О пыт 7. a) … цепь из 5 колюц.

6. … 5 колюц, частную переплетенных, частную сцепленных.

Рис. 3.

К статье «Игра в 15»

(см. «Кваант», 1974, № 2)

1. a) Проверяется индикцией по n.

6. Если меняются местами соседние числа, то утверждение очевидно: прибавляется или исчезает один бесплаток. Если между числами i и j, которые меняются местами, стоит s чисел:

… i, k₁, k₂, …, k₃, j, …, то транспозицию чисел i и j можно получить, последовательно выполнить 2s + 1 транспозицию соседних чисел.

b) Воспользовитесь следующим предложением, которое доказывает индикцией по n: все перестановки из n чисел можно вычисать в максимальной порядке, что каждая следующая будем получить из предыдущего одной страницы (причем нацинам можно с любой перестановкой), или заменьте, что четные и нечетные перестановки получаются друг из друга переменной мест perвых двух чисел перестановки.

2. Перестановок из n чисел в n раз больше, чем перестановок из (n − 1) числа.

3. Раскрасием корбобочку для игры в 15, как шахматную доску. При каждом перевжении шашки цвет свободной клетки меняется. На рисунках 1 и 2 в статье свободна одна и та же клетка. Значит, от одного из приведенных на них расположений к дру-

80

гому нельзя перейти, сделав нечетное число переdivisionный шашек.

4. См. решение задачи 1, 6).

5. При циклическом сдигре строки, не содержащей пустых клеток, четность перестановки, соответствующей расположению шашек, меняется.

6. a) Можно. Для доказательства каждой расположению шашек сопоставим перестановку из чисел 1, …, 16 по следующему правилау. Сначала выпишем номера шашек в 1-й строке, потом во 2-й, 3-й и 4-й (в каждой — следва направо). Проделаем над «нормальным» расположением следующие преобразования: свинем циклических 1-ю строку влево, потом 1-й столбец вверх, потом 1-ю строку вправо и, наконец, 1-й столбец вниз:

← 1 2 3 4 2 3 4 1 5 3 4 1 →
5 6 7 8 5 6 7 8 9 6 7 8
9 10 11 12 9 10 11 12 13 10 11 12
13 14 15 16 13 14 15 16 2 14 15 16

(a) (б) (в)

1 5 3 4 2 5 3 4
9 6 7 8 1 6 7 8
13 10 11 12 9 10 11 12
2 14 15 16 13 14 15 16

(g) (д)

Эту серию преобразования коротко обозначим так: (1←, 1↑, 1→, 1↓). Наши 4 преобразования перевели перестановку 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …, 16 в 2, 5, 3, 4, 1, 6, 7, …, 16: числа 1, 2, и 5 передвинулись циклические, остальные остались на месте. Применяя к расположению (д) аналогичные 4 преобразования (2→, 2↓, 2←, 2↑), получим расположение, характеризуемое перестановкой 2, 6, 3, 4, 5, 1, 7, …, 16. Серия (1←, 2↑, 1→, 2↓), примененная к получению расположению, приводит к перестановке 2, 3, 1, 4, 5, 6, 7, …, 16. В результате 12 преобразования числа 1, 2, 3 передвинулись по циклу. Тройки чисел (1, 2, 3) и (4, 3, 2) в «нормальном» расположении (а) равновравны. Поэтому легко подобрать 12 преобразования, которые передают расположение (а) в расположение,

К задачам «Квант» для младших школьников (см. «Квант», 1974, № 2)

1. 5 школьников; 1, 4, 5, 6, 9 коп.
2. Одинаково.
3. 684 259 × 2 = 1 368 518.
4. См. рис. 6.
6. Нет. Замененная лампока будет гореть слабее, так как ее сопротивление меньше, чем у остальных лампочек, а ток в цепи практических не изменится.

Рис. 6.

К «Чайнворду»
(см. «Квант», 1974, № 2, 4-ю с. обл.)

1. Понселе. 2. Евклид. 3. Дезарг. 4. Галуа. 5. Архимед. 6. Дюйм. 7. Монж. 8. Жиар. 9. Румб. 10. Бурбаки. 11. Интеграал. 12. Лудольф. 13. Фалес. 14. Софиzm. 15. Мерсенн. 16. Ниглистка. 17. Абак. 18. Каши. 19. Ибн-Сина. 20. Амбарцумян.

Чеховский полигraphический комбинат Соэзполигraphпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полигraphи и книжной торговли, г. Чехов Московской области

Руководщи не возврачаются