20 задач на пределы

27

20 задач на предельы

М.П. Гервер

Многие, вероятно, знают определение предела последовательности: «Чи сло а называется пределом последовательности $x_n$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдет такое $N$, что для всех $n > N...$. Но одно дело — помнить его, и совсем другое — уметь свободно с ним обращаться, доказывать теоремы, не путаясь со всеми «найдется», «для любого» и т.п. Это, пожалуй, самая крупная ступенька на пути к «высшей математике», которую с трудом предолевают не только школьники, но и студенты.

Если Вам удостраняется решить задачи, которые собранны в этой статье — или хотя бы разобраться в их решениях— то дальнейшее метематическое анализом Вам будет намного проще и интереснее.

1. Докажите, что при любом натуральном $n$
   a) $\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \dots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{n-1}{n+1}$;
   b) $\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2}$.

В дальнейшем буквой $n$ мы будем обозначать только натуральные числа.

2. а) Докажите, что найдет такое $n$, что $2^n > 10^{10}$.
   b) Докажите, что найдет такое $k$, что при любом $n > k$ справедливо $1 + a)^n \geq 1 + na$.
   b) Докажите, что найдет такое $k$, что при любом $n > k$ справедливо $10^n > n^{10}$.
   г) Пусть $|q| < 1$. Докажите, что найдет такое $k$, что при любом $n > k$ справедливо $|q|^n < 10^{-10}$.
   д) Существует ли такое положительное число, которое при любом $n$ меньше, чем $1/n$?

e) Пусть $|q| < 1$. Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ найдет такое $k$, что при любом $n > k$ справедливо $\left|q\right|^n < \varepsilon^*$.
ж) Можно ли найти такое $k$, чтобы при любом $n > k$ и при любом $\varepsilon > 0$ выполнялось наравенство $\left(\frac{1}{2}\right)^n < \varepsilon$?
Затем ие. Сравнивая 2е и 2ж, мы видим, что порядок слов — вещевая!
з) Положим $s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n}$. Докажите, что для любого $\varepsilon > 0$ найдет такое $k$, что для лю-

*) $\varepsilon$ — греческая буква, читается: «эписilon», употребляется обычно для обозначения маленьких положительных чисел. Точно смысл слова «маленькие числа» из имеются, — что значит «маленькое»: 0,01 или $10^{-10}$? Вот и говорят; «для любого $\varepsilon > 0$»—подаzymевая под этим объчно: «как бы мало ни было». 1Ло отношению к задаче сказано очень:center: положим $\varepsilon = 0,01$, тогда найдет такое $k$, что при любом $n > k$ будет $|q|^n < 0,01$; положим $\varepsilon = 10^{-10}$, тогда найдет другой $k$ (побольшие) такое, что при всяком $n$, большем, чем это новое $k$, будет $|q|^n < 10^{-10}$; вообще для любого $\varepsilon > 0$ (как бы мало оно ни было) можно подобрать такое $k$ (может быть, очень большое), что при всейком $n > k$ будет $|q|^n < \varepsilon$.

28

бого $n > k$
$$|s_n - 1| < \varepsilon.$$
Числовые последовательности. Напишем какое-нибудь число: $x_1$, потом другое: $x_2$, потом третье: $x_3$ и т. д.

Мы получим числовую последовательность
$$x_1, x_2, x_3, \dots, x_n, \dots$$
Номер рядаом с буквой $x$ указывает, на каком месте стоит число в последовательности: $x_1$ — на 1-м, $x_2$ — на 2-м, $\dots$, $x_n$ — на $n$-м, $\dots$.

Короче, она обозначается символом $\{x_n\}$. Разумеется, для обозначения последовательностей можно употреблять и другие буквы: $\{s_n\}, \{y_n\}, \{z_n\}$ и т. д.

Выпишем десяток последовательностей, используемых в следующих задачах:

(1) $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$

(2) $1, 0, \frac{1}{2}, 0, 0, \frac{1}{3}, 0, 0, 0, \frac{1}{4}, 0, 0, 0, 0, \dots$

(3) $\{s_n\}, s_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^n}$.

(4) $\{y_n\}, y_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \dots - \frac{(-1)^n}{2^n}$.

(5) $1, 1, 1, 1, \dots$.

(6) $1, -1, 1, -1, \dots$.

(7) $1, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{3}, 1, \frac{1}{4}, 1, \frac{1}{5}, \dots$.

(8) $1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, -\frac{1}{6}, \dots$.

(9) $\frac{1}{1}, \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{1}, \dots, \frac{1}{9}, \frac{1}{1}, \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, \frac{1}{11}, \frac{1}{2}, \dots, \frac{1}{99}, \frac{1}{2}, \frac{1}{100}, \frac{1}{3}, \dots$

(знаменатель дроби, стоящий на четном месте, равен числу знаков знаменателя предыдущего дроби).

(10) $\frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}, \frac{4}{3}, \frac{4}{5}, \frac{5}{4}, \dots$

Определение 1. Число $a$ называется пределом последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $k$, что для любого $n > k$
$$|a - x_n| < \varepsilon.$$
Тот факт, что число $a$ является пределом $\{x_n\}$, записью так:
$$\lim_{n \to \infty} x_n = a$$
(читается: «предел $x_n$ при $n$, стремящемся к бесконечности, равен $a$») или так:
$$x_n \rightarrow a \text{ при } n \rightarrow \infty$$
(читается: «$x_n$ стремится к $a$ при $n$, стремящемся к бесконечности»). Иnorда упоминание про $n$, стремящемся к бесконечности, опускают и пишут просто:
$$\lim x_n = a \text{ при } x_n \rightarrow a.$$
Последовательности, имеющие предел, называют сходящимся.

3. a) Сформируйте задачи 2е и 23, используя определение 1.

6. Докажите, что 0 есть предел последовательности (1), (2), (8) и (9).

b) Найдите предел последовательности (3), (4) и (10).

г) Докажите, что 1 не есть предел последовательности (1).

d) Имеют ли пределы последовательности (5), (6) и (7)?

e) Пусть $x_n - n$-член последовательности (9). Укажите такое $k$, чтобы при $n > k$ выполнялось нераевенство $x_n < \frac{1}{2}$.

ж) Могут ли два разных числа быть пределями одной и той же последовательности?

4. Пусть $\{x_n\}$ — произвольная последовательность. Выпишем какой-

30

О пределене 4. Говорят, что последовательность $\{x_n\}$ стремимся к бесконечности (это записьют так: $x_n \to \infty$ при $n \to \infty$), если для любого $C$ найдет такое $k$, что для любого $n > k$ $|x_n| > C$.

7. Какие из следующих последовательностей к бесконечности и какие являются неограниченными?

a) $x_n = n$, $6)$ $x_n = (-1)^n \cdot n$,
b) $x_n = n^{(-1)^n}$
g) $x_n = \begin{cases} n^2 \text{ при } n \text{ четном,} \\ \sqrt{n} \text{ при } n \text{ нечетном.} \end{cases}$

О пределене 5. Число $a$ называется предельной точкой последовательности $\{x_n\}$, если для любого $\varepsilon > 0$ и для любого $k$ найдется такое $n > k$, что $|a - x_n| < \varepsilon$.

8. Докажите a) что предел сходящейся последовательности является ее предельной точкой,

6. что если $x_n \to a$ и $b \neq a$, то $b$ не есть предельная точка $\{x_n\}$.
   b) что если $a$ — предельная точка $\{x_n\}$, то $\{x_n\}$ содержит подпоследовательность, сходящуюся к $a$.

9. Придумайте последовательность $\{x_n\}$, предельными точками которого являются:
   a) все натуральные числа (и только они),
   b) все числа $1/n$,
   b) все рациональные числа.

10. a) Придумайте последовательность, удовлетворяющую задаче 9a, в котором при этом нет целых чисел.

6. Пусть $\{x_n\}$ удовлетворяет задаче 96. Можно ли 0 не быть ее предельной точкой?
   b) Укажите все предельные точки последовательности, удовлетворяющей задаче 9b.

16 услови. «Апу» по-англійски значит «любоий», «Exist» — «существовать». Символы $\vee$ и $\exists$ — перевернуть 1-e буквы этих слов — ознакомют соответственно:
«для любого» и «найдется такое, … что».
Рассмотрим следующие 16 услови:

1. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
2. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
3. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
4. $\exists \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
5. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
6. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
7. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
8. $\exists \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
9. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
10. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
11. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
12. $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
13. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
14. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \exists n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$,
15. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| < \varepsilon$,
16. $\forall \varepsilon > 0 \forall k \forall n > k |x_n - a| \geqslant \varepsilon$.

11. Какие из этих условий выражают уже знакомые вам свойства последовательности (быть ограниченной, имеет $a$ пределом или предельной точкой, стремится к бесконечности) или отрицания этих свойств? Каков смысл остальных условий?

О пределене 6. Последовательность $\{x_n\}$ называется monotonной, если выполняется одно из двух условий:

1. $x_1 \leqslant x_2 \leqslant x_3 \leqslant \dots \leqslant x_n \leqslant \dots$,
2. $x_1 \geqslant x_2 \geqslant x_3 \geqslant \dots \geqslant x_n \geqslant \dots$.
   В первом случае $\{x_n\}$ называется возрастающей, во втором — убывающей.

12. a) Докажите, что любая последовательность содержит monotonную подпоследовательность.

6. Докажите, что предельная точка monotonной последовательности является ее пределом.
   b) Докажите, что всякая monotonная ограниченная последовательность имеет предел (иногда это свойство действительных чисел принимает за аксиomy).

13. a) Докажите, что всякая ограниченная последовательность имеет хотя одну предельную точку.

6. Проверьте, что утверждение 12в и 13a эквивалентны: каждое можно вывести из другого (так что 13a тоже можно принять за аксиomy).

14. a) Пусть $|q| < 1$, $s_n = 1 + q + \dots + q^{n-1}$. Докажите, что последовательность $\{s_n\}$ сходится, и

31

найдите ее предел.

6. Проверьте, что при $|q| \geq 1$ последовательность $\{s_n\}$ не имеет предела.

15. Пусть $x_n \rightarrow a$, $y_n \rightarrow b$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что тогда

a) $x_n + y_n \rightarrow a + b$,
b) $x_n - y_n \rightarrow a - b$,
c) $x_n y_n \rightarrow ab$,
d) если $b \neq 0$, то $x_n/y_n \rightarrow a/b$.

Заметание. Среди $y_n$ могут быть нули, но если $b \neq 0$, их (докажите это) лишь конечное число: $\exists N \forall n > N y_n \neq 0$; последовательность $x_n/y_n$ зависит от предела, таким образом, для $n > N$.

д) Если $b = 0$, то последовательность $x_n/y_n$ (если она определяна) может не иметь предела, может стремиться к любому числу или к бесконечности,—приведите соответствующие примеры.

16. a) Докажите, что если $x_n \geq 0$ при всех $n$ и $x_n \rightarrow a$ при $n \rightarrow \infty$, то $a \geq 0$.

6. Можно ли утверждать, что $\lim_{n \rightarrow \infty} x_n > 0$, если все $x_n > 0$?

b) Пусть $x_n \leq y_n \leq z_n$, и пусть $x_n \rightarrow a$ и $z_n \rightarrow a$ при $n \rightarrow \infty$. Докажите, что тогда $y_n \rightarrow a$ при $n \rightarrow \infty$.

17. a) Последовательность $\{x_n\}$ обладает следующим свойством: для любого $\varepsilon > 0$ найдется такое $k$, что для любого $n > k$ и любого натурального $p$
    $$|x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$$
    Докажите, что тогда $\{x_n\}$ имеет предел.

6. Докажите обратное утверждение: если $x_n$ — сходящая последовательность, то $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k \forall p |x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$
   b) Последовательность $\{x_n\}$ обладает следующим свойством: $\forall \varepsilon > 0 \exists k \forall n > k |x_{n+p} - x_n| < \varepsilon.$
   Обязана ли $\{x_n\}$ свойству?

18. Построим последовательность $\{x_n\}$ так: $|x_n| = 1/2^n$, знаки $x_1, x_2, x_3, \dots$ выберем произвольно. Далее положим $s_n = x_1 + \dots + x_n$.

a) Докажите, что последовательность $\{s_n\}$ сходится.

6. Укажите все значения, которые может принять $\lim_{n \rightarrow \infty} s_n$ (когда знаки $x_n$ выбираются всевозможными различными способами).

Комплексные $\{x_n\}$. До сих пор мы рассматривали последовательности, состоящие из действительных чисел.

Пусть теперь $x_n$ — любые комплексные числа.

Определение предела в этом случае — дословно такое же, как прежде. Но геометрический смысл егоиной: неравенство $|x_n - a| < \varepsilon$ означает теперь, что $x_n$ лежит внутри круга радиуса $\varepsilon$ с центром в точке $a$; следовательно, число $a$ служит предел $\{x_n\}$, если все любого круга с центром $a$ лежит лишь конечное число $\{x_n\}$.

19. a) Пусть $x_n = a_n + ib_n$. Последовательность $\{x_n\}$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся об последовательности: $\{a_n\}$ и $\{b_n\}$. Докажите.

6. Пусть $|x_n| = r_n$, arg $x_n = \alpha_n$. Верно ли, что $\{x_n\}$ сходится тогда и только тогда, когда сходятся и $\{r_n\}$, и $\{\alpha_n\}$?

20. Пусть последовательность $\{x_n\}$ стремится к 0. Построим последовательность $\{s_n\}$ так:
    $$s_1 = x_1, \quad s_2 = x_1 + x_2, \dots, \quad s_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n, \dots$$
    Выясните, может ли $\{s_n\}$ иметьровно две предельные точки:

a) если $x_n$ — действительные числа,
b) если $x_n$ — комплексные числа (в этом случае определение предельной точки — дословно такое же, как раньше).