Сколько времени идёт свет от Меркурия?

20

Я.А.СМОРОДИНСКИЙ
СКОЛЬКО ВРЕМЕНИ
ИДЕТ СВЕТ
ОТ МЕРКУРИЯ?

Уже давно никто не удивляется тому, что свету нужно время, чтобы дойти от небесного тела до Земли. Свет от Солнца «траит» на свою дорогу около 8 минут. Эту цифру нетрудно проверить. Расстояние от Земли до Солнца составляет 150 миллионов км, то есть 1,5·10¹¹ м. Скорость света — скло 3·10⁸ м/c. Поделив одно число на другое, получим 500 с≈8 мин.

Общая теория относительнойности вносит, однako, хотя и небольшое, но очень важные поправки в такие рассуждания. Эффекты общей теории относительнойности заметны лучше всего у Меркурия. О нем и будет идти речь.

Максимальное и минимальное значение расстояние Меркурия—Земля принимает в момент «соединения» Меркурия с Солнцем, то есть в моменты, когда Земля, Солнце и планета лежат практически на одной прямой. Вверхнем соединении, когда расстояние Меркурий — Земля максимально,

оно равно $r_{\text{max}} = 1,38$ астрономических единиц (1 а.е. — расстояние Земля — Солнце); в нижнем соединении оно минимально и равно $r_{\text{min}} = 0,62$ а.е. (рис. 1) *). Если умножить эти числа на 8 минут, то получим грубое время прохождения света от Меркурия до Земли в обихх положениях. Такой расчет, конечно, дает правильный результат, если мы не интересуемся мелкими подробностями. Но именно о «мелочах» и будет речь.

Путь луча света в случаех, когда Меркурий находится в верхнем соединении, проходит mismo Солнца. Общая теория относительнойности приводит к выводу, что в поле тяжесте Солнца скорость света меньше, чем в пустоте (как в веществе). Такое уменьшение

*) Наломним, что планеты движутся почти в одной плоскости—плоскости эклиптики. Мы не учитьаем, что орбиты планет —эллипсы; учет этого приведет к небольшим варианям $r_{\text{max}}$ и $r_{\text{min}}$.

Рис. 1.

21

скорости очень мало, оно по расчетам приведет к увеличению времени прохождения света на 0,000 24 секунды (за такое время свет проходит 72 км). Современная радиная техника оказалась в состоянии зарегистирования такой экзотическая эфект.

Как можно понять это число 72 км? Ясно, что вычислить его сложно. Однако можно получить представление о порядке величины, если знать только о том, что такое гравитационный радиус и уметь работать с размерностями.

Количество характеристикой поляяжестии массивного тела является потенциальной поля, определяемый согласно закону всемирного тяготения Ньютона:

$$\varphi = -\frac{\gamma M}{r}.$$

В эту формулу входят две величины: произведение $\gamma M$, которое характеризует источник поля — в нашем случае Солнце, и $r$ — расстояние. Вместо $\gamma M$ часто в теории относительности поляужестяя другой величины, отличнойся от $\gamma M$ только можно телелем, но имеющей размерность длины

$$R_{\text{rp}} = \frac{2\gamma M}{c^2}.$$

Эта величина называется гравитационным радиусом. Гравитационный радиус Солнца равен 3 км, гравитационный радиус Земли — 9 мм *).

Закон всемирного тяготения можно записать теперь так:

$$\frac{\varphi}{c^2} = -\frac{1}{2} \frac{R_{\text{rp}}}{r}.$$

Слева стоит потенциаль поляяжестии в безразмерных единицах; справа стоит также безразмерная величина.**)

*) Обратите внимание, что приято определять $R_{\text{rp}}$ с коэффициентом 2. Иногда встречаются формулы без этого коэффициента.
**) Безразмерной величины называется величина, которая не изменяется с изменением единиц измерения.

Величиной $\frac{\varphi}{c^2}$ обычно и характеризуют величины поляяжестии массивного тела.

Можно ожидать, что когда свет проходит у поверхности Солнца (при $r \approx R_{\odot}$), то его скорость будет уменьшаться на величины, пропорциональную $\frac{\varphi}{c^2} \sim \frac{R_{\text{rp}}}{R_{\odot}}$ (так как это единственная величина, которая характеризует поле Солнца):

$$\Delta v = \frac{c \cdot R_{\text{rp}}}{R_{\odot}}.$$

Можно сказать, что пространство около Солнца имеет оптические свойства среды с показателем преломления, немного больше единиц.

Если бы также действовала на свет только в близки Солнца, например, на участке пути, протяженность в 3—4 диаметра Солнца (возьмем для определения 10 радиусов), то можно было бы сказать, что время проходения света увеличается на величины $\Delta t$, определяемую из уравнения

$$t + \Delta t = \frac{10R_{\odot}}{v_{\text{cb}}} = \frac{10R_{\odot}}{c - \Delta v} \approx \frac{10R_{\odot}}{c} \left(1 + \frac{\Delta v}{c}\right),$$

или

$$\Delta t \approx \frac{10R_{\odot}}{c} \cdot \frac{\Delta v}{c} = \frac{10R_{\odot}}{c} \cdot \frac{R_{\text{rp}}}{R_{\odot}} = \frac{10R_{\text{rp}}}{c}.$$

Такая оценка дает для $\Delta t$ время, необходимое свету для проходения пути в 30 км. Конечно, наша оценка грубая; особенно не последовательен выбор коэффициента 10. Более того, как оказалась, правильная формула содержит еще и расстояние от Солнца до планет и радиус Солнца, так как на всем пути (а не только в близких радициях). Мы этого не заметили, так как пренебрегли действием Солнца на свет на больших расстояниях. Тем не менее наша оценка

22

Рис. 2.

ка полезна для того, чтобы ориентироваться в задаче. Более точная формула теории относительной гласит

$$\Delta t = \frac{2R_{1p}}{c} \left\{ 1 + \ln \frac{R_{\odot}^2}{r_1 \cdot r_2} \right\},$$

где под логарифмом *) радиус Солнца и расстояния от Солнца до Земли и до Меркурия. Именно логарифм мы и «прозевали» в наших рассуждениях. Этот логарифм вовсе не мал, а равен 11,2, так что точная формула имеет вид:

$$\Delta t = \frac{22,4R_{\text{rp}}}{c}.$$

Чтобы проверить эту формулу по данным наблюдаемий, надо хорошо знать момент, отвечающий верхнему соедининию в случае, если бы Солнце не оказывало влияния на свет. Для этого надо знать астрономические расстояния с точностью до 1—2 км. Такие требования на пределе современных возможностей.

Опыт встретает и другие трудности. Так, не очень просто узнать, от какой точки поверхности планеты отразился сигнал — измеряется время путешествия сигнал от Земли к планете и (после отражения) обратно (радарное эхо).

Тем не менее такие были проделаны группой американских физиometers.

*) Логарифм в этой формуле «натуральный», то есть по основанию $e$. Он в 2,3 раза больше десятичного логарифма.

зиков. Измерялись сигналы, последные на Меркурий, Венеру и Марс. Результаты согласовались с предсказанием теории; одноко ошибки обработки опытов были еще велики (около 5—10%).

На рисунке 2 показана одна из кривых запаздывания сигнала в разные дни. Ноль на шкале абсцисс — момент верхнего соединения.

Отклонение луча света в поле Солнца

Выше было сказано, что пространство около Солнца действует на свет как среда с показателем преломления немного больше единицы. Это значит, что свет dalleки звезд, проходя около Солнца, должны искривляться свой путь подобно тому, как это проискодит в признаме. В принципиле этот эффект был известен уже давно. Еще когда Ньютоон выдвинул теории, согласно которой свет представляет собой поток мелчайших частиц — корпускул, ему было ясно, что свет должен притягивать к Солнцу. Так как в поле тяжелостиускорение всех тел одинаково, то путь света не зависит от массы корпускул и представляет собой парабoly. Напомним, что в законы Кеплера не входит масса планет. Зандеман в 1801 году вывел из этих сообщений формулу, согласно которой луч света, проходящий влизи края солнечного диска, отклоняется на угол $\theta = R_{\text{rp}} / R_{\odot} \approx 0,85''$. Этот результат оказался ошибочным. В 1915 году Эйнштейн на основе созданной им общей теории относительной поверхности новой формы, которая давала для эфекта вдвое больше значения

$$\theta = \frac{2R_{\text{rp}}}{R_{\odot}} \approx 1,7''.$$

Впервые отклонение луча света было изменено в 1919 году. 27 сентября 1919 года Эйнштейн писал материю: «Сегодняя хорошее новости! Лоренц телеграфировал мне, что британская экспедиция действительно до-