Задачи М386—М390; Ф398—Ф402

28

Задачик
М386—М390; Ф398—Ф402

М386. Квадратная комната разгорожена перегородками, параллельными стенам, на несколько меньше квадратных комнат. Длина стороны каждой комнаты — целое число. Докажите, что сумма длины всех перегородок делится на 4.

С. Фомин

М387*. Существует ли такое натуральное число, что если приписать его само к себе справа, то получится точный квадрат?

В. Кукушкин

М388 a) На плоскости отмеченое конечное число точек. Докажите, что среди них найдется точка, у которой не более трех ближайших (то есть, нахождение от нее на наименьшем расстоянии; таких точек, вообще говоря, может быть несколько).

6. Существует ли на плоскости конечное множество точек, у каждой из которых в этом множестворовно три ближайших?

А. Карабеон

М389. Можно ли бесконечный лист клетчатой бумаги разбитить на «dominoшки» (каждая доминошка покрывается две соседние клетки) так, чтобы каждая пряма, идушая по линии сетки, разрезала пополам лишь конечное число dominoшки?

С. Фомин

М390*. Докажите, что существует бесконечного много натуральных $n$, для которых сумма цифр числа $2^n$ больше суммы цифр числа $2^{n+1}$.

С. Коняzin

Ф398. При подключении в сеть трехламповой листры с двумя выключателями была допущена ошибка. В результате этого при замыкании одного из выключателей все три лампы горели неполным накалом. При замыкании другого выключателя горела нормально только одна из ламп (две другие не горели), и тот же эффект давало замыкание обихых выключателей одновременно. При разомкнутых выключателях все три лампы не