Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

57

Варианты
вступительных
экзаменов вузы

Московский
государственный
университет
им. М. В. Ломоносова

Сегодня математические методы исследования все шире пропиникаот не только в естественных науки и технику, но и в гуманитарные области знания. Именно поэтому на ряде гуманитарных факультетов университетов поступающие сдают письменный экзамен по математике. В этом номере мы знакомим читателей с вариантами, предложенными поступающим на гуманитарные факультеты МГУ в 1975 году.

Отделение политэкономии
экономического факультета

1. На завоеде работают токари 1-го, 2-го и 3-го разрядов. Некоторые работы два токари 3-го разряда и один токарь 1-го разряда, работая вместе, могут выполнить на 15 минут быстрее, чем три токаря 2-го разряда. За то время, за которое один токарь 1-го разряда и один токарь 2-го разряда могут выполнить ту же работу, один токарь 3-го разряда сделает только 5/7 этой работы. Один токарь 2-го разряда и один токарь 3-го разряда вместе могут выполнить эту работу за то же время, что и три токари 1-го разряда. За какое время выполнить работу бригада, включаяая в себя по одному токари каждого разряда?

2. Решить уравнение
   $(\sin x + 2\cos x + 2)(1 - 2\cos x) = 4\sin^2 x - 3$.

3. Решить систему уравнений
   $$\begin{cases} \sqrt{3 + \log_{2x} y^2} = -\log_{2x} y, \\ x + y = \frac{3}{2}. \end{cases}$$

4. Примогольный треугольник с острым углом α расположен внутри окружности радиуса r так, что гипотенуза является хордой окружности, а вершина прямого угла лежит на диаметре, параллельном гипотенузе. Найти площадь треугольника.

5. При каком значении x выражение
   $$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x} + 3}$$

принимает наименьшее значение?

Отделение планирования и экономического киберnetики экономического факультета

1. Найти все решения уравнения
   $(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}})^{\cos x} + (\sqrt{7 - 4\sqrt{3}})^{\cos x} = \frac{5}{2}$.

2. Дан треугольник ABC, причем AB = AC и A = 110°. Внутри треугольника ABC взята точка M такая, что MBC = 30°, а MCB = 25°. Найти AMC.

3. Решить неравенство
   $$\sqrt{x - 1} + x - 3 \geq \sqrt{2(x - 3)^2 + 2x - 2}$$.

4. В продажу поступили составховские путевки трех типов. Одна путевка 1-го типа стоит 4 руб., одна путевка 2-го типа стоит 6 руб., одна путевка 3-го типа стоит 9 руб. По путевке 1-го типа можно отдыхать 8 дней, по путевке 2-го типа 14 дней, по путевке 3-го типа 20 дней. Сколько путевок каждого типа надо купить, чтобы общее число дней отдыха было наиболее шумным, а сумма, израсходованная на приобретение всех путевок, составляет 100 руб.?

Отделение структурной и прикладной линговистики филологического факультета

1. Из пункта A в пункт B вышел автовосу, а из пункта B в то же самое время на встречу этому автовосу выехали грузовик и велосипедист. После встречи с грузовиком в пункте C автовосу проехал до встречи с велосипедистом расстояние, равное путей AC. Если бы грузовик после встречи с автовосом поехал из пункта C в обратную сторону, то он встретился бы с велосипедистом порединиме между путятами B и C. Во сколько раз скорость автовоса преводходит скорость велосипедиста?

2. Найти все значения x, удовлетворяющие уравнению
   $$\log_2 (a^2x^3 - 5a^2x^2 + \sqrt{6 - x}) = \log_2 + a^2(3 - \sqrt{x - 1})$$
   при любом значении a.

3. Решить уравнение
   $$\text{tg} \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = \text{ctg} \frac{4\pi}{3} + 3 \text{ctg} 2x.$$