Московский технологический институт

62

4. Решить уравнение
   $$\log_{\cos x} \sin x (1 + \log_{\sin x} \tg x) = 1.$$
   Физический факультет

Вариант 3

1. Две машинстики вместе напечатали 167 страниц. Первая работа без перерыва, а второй делала перерыв на 1 час. К моменту окончания перерыва оказалось, что обе напечатали по 60 страниц. Напечатав 72 страниц, первый машинства закончила работу. Насколько позднее закончила работу вторая машинства, если известно, что она печатает в час на 3 страниц больше первой?

2. В шаре радиуса $R$ хорда $AB$ равна $R$. Пусть точки $C$ и $D$ лежат на поверхности шара и угол $ACB$ прямой, а угол $ADB$ равен $60^\circ$. Найти угол между плоскостями $ACB$ и $ADB$.

3. При каждом действительном значении параметра $a$ найти наименьший корень уравнения
   $$x^3 + 2ax^2 - (a + 1)^2x = 2a(a + 1)^2.$$

4. Решить систему
   $$\begin{cases} \sin^2 x + \cos^2 y = \frac{11}{16}, \\ \sin \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} = \frac{5}{8}. \end{cases}$$
   Вариант 4

5. Велосипедист проехал путь из $A$ в $B$, равный 60 км, с постоянной скоростью. Обратно он в течение часа едет с той же скоростью, затем делает остановку на 20 минут. После остановки он продолжает путь, увеличив скорость на 4 км/час. Какова была первооначальная скорость величине, если известно, что на обратный путь он потребил не меньше времени, чем на путь из $A$ в $B$?

6. Через касательную к шару радиуса $R$ проведены две плоскости под углом $45^\circ$ друг к другу. Найти радиусы сечений шара этих плоскостей, если известно, что они относятся как 1:2.

7. Решить систему
   $$\begin{cases} \sqrt{x^2 - 1} + x < 1, \\ x^2 + x - 2 < 0. \end{cases}$$

8. При каждом действительном значении параметра $a$ решить уравнение
   $$a(a - \sin x) \sin x - a(a - \cos x) \cos x = \cos x - \sin x.$$
   Физика
   Matematiko-mеханический факультет

9. Пуля массой $m$ попадает в деревянный брусок массой $M$, подвешенный на нитей длиной $L$ (баллистический мятник), и застревает в нем. Определить, на какой угол $\alpha$ отклоняется мятник, если скорость пуля равна $v$.

10. Оцените массу земной атмосферу, если известно, что радиус $R_3 = 6400$ км.

11. Электровоз движется со скоростью $72$ км/час, развивая при этом в среднем силуги $5 \cdot 10^4$ н. Найти ток, проходящий через motor электровоза (без учета потерь), если направление на закимах motora 500 б.

12. Луч света падает на границу раздела двух сред под углом $30^\circ$. Показатель предолления первого среды, если известно, что отраженный и предоллений лучи перpendикулярны друг другу.

Физический факультет

1. Тело массой 1 кг скольzt по наклонной плоскости длиной 21 м, которая образует с горизонтом угол $\alpha = 30^\circ$. Скорость тела у основания наклонной плоскости 4,1 м/сек. Вычислить количество теллотов, выделившее при трении тела о плоскость, если начальная скорость тела была равна нулю.

2. Электрическая лампа накаливания наполнения азотом при давлении 600 мм рм. см. Емкость лампа 500 см³. Скорью воды войдет в лампу, если у нее отломить кончик под водой на глубине 10 м от поверхности?

Atmospheric震动 считать равным 760 мм рм. см. Плотность ртуги 13,6 e/cm³.

3. На рисунке 3 дана линия $LL$ и ход луча $AA_1A_2$, прошедшего через линия. Построить ход луча $BB_1$.

4. Солнечные лучи, падающие под некоторым углом на плоское горизонтальное зеркало, отражаясь, попадают на вертикальный экран. На зеркале стоит непрозрачная пластинка высотой $h$. Определить размер тени на экран.

Э. Голубов, Р. Емлин

Московский технический институт

В Московском техническом институте имеются следующие факультеты: механико-технологический (готовит инженеров-технологов); химiko-

63

технологическая факультет (готовит инженеров химиков-технологов и инженеров-технологов); инженерно-экономический факультет (выпускники факультета получают квалификацию инженера-экономиста по учету); художственное-технологический факультет. При институте есть дневное подготовительное отделение и вечерное подготовительное курсы.

С 1974/75 учебного года все первые курсы обучения по новым учебным планам, в которых существенно повышена роль математики в подготовке инженеров. На факультетах MTИ, кроме общего курса высшей математики, читают курсы теории вероятностей и математической статистики, математического программирования, а также ряд специальных, в частности, основы математической теории экперимента. Набольшая математическая подготовка обеспечивает на инженерно-экономическом и механико-технологическом факультетах, на химико-технологическом факультете введен курс вычислительной математики. На всех технических факультетах введено обучение работе на ЭВМ.

На различных факультетахrebования по математике разные, что учитывают при составлении вариантов. Ниже приведятся некоторые варианты вступительного письменного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике в MTИ 1975 года.

Matematika

Инженерно-экономический факультет

1. Упростить выражение
   $$2\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)^2}-1$$
   $$:\left[2\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)^2}-1-\frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{1}{a}}-\sqrt{a}\right)\right].$$
2. Решить уравнение
   $$(1-\sin 2x)-5(\sin x-\cos x)+4=0.$$
3. Решить перевенство
   $$2^2+\sin x+10\geq 3\cdot 2^1-\sin x.$$
4. Полная поверхность конуса в $n$ раза больше поверхности вписанного в него шара ($n\geq 2$). Найти угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

Механико-технологический факультет

1. Упростить выражение
   $$\frac{a+\sqrt{2+\sqrt{5}}.\sqrt{12}(9-4\sqrt{5})^3}{\sqrt{3}^2-\sqrt{5}\cdot\sqrt{9+4\sqrt{5}}-\sqrt{3}a^2+\sqrt{3}a}+\sqrt{3}a.$$
2. Решить уравнение
   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)-\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\frac{tg\frac{x}{2}+ctg\frac{x}{2}}{2\sqrt{2}}.$$
3. Решить неравенство
   $$\log_{0.3}\log_6\frac{x^2+x}{x+4}<0.$$
4. В параллелепиде все его грани – равные ромбы со стороны $a$ и острыми углами $a=60^\circ$. Найти объем этого параллелепида.

Химико-технологический факультет

1. Упростить выражение
   $$\frac{1+\cos(2\alpha+630^\circ)+\sin(2\alpha+810^\circ)}{1-\cos(2\alpha-630^\circ)+\sin(2\alpha+630^\circ)}.$$
2. Решить уравнение
   $$\sqrt{x+3-4\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6\sqrt{x-1}}=1.$$
3. Решить уравнение
   $$\sqrt{\log_x\sqrt{5x}}=-\log_x5.$$
4. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 2β, а периметр осевого сечения равен 2p. Определить полную поверхность конуса.

Физика

1. Объем пузырка воздуха при вспышки его дня озера на поверхности увеличается в 3 раза. Какова глубина озера ($\rho=10^3\ k\Omega/m^3,g=9,8\ m/cek^2,p_0=1,01\cdot10^5\ h/m^2$).
2. Летчик давит на сиденье креска самолета в нижней точке петли Нестерова с силой 7200 н. Масса летчика 80 кг, радиус петли 250 м. Определить скорость самолета.
3. Известно, что Земля создает электрическое поле, направенное к коротою близи поверхности составляет $E=130\ b/m$. Определить электрический потенциал поверхности Земли. Радиус Земли $R=6\ 400\ km$.
4. Линния электропередачи длиной 100 км работает при напряжении 200 кВ. Определить к. п. д. линни, т. е. относение напряжения на нагрузке к напряжению, подводимому к линни. Линния выполена алюминным кабелем с площадью поперечного сечения 150 мм². Передаваемая мощность 30 000 кВт.
5. Лампа мощность $P=100\ bt$ обеспечивает среднюю освещенность площадки $E=150\ лk$. Определить светового отдачу $\eta$ этой лампы, если на площадку с площадью $S=5\ m^2$ подается $k=50\%$ светового потока.

А. Назаремов