Прикладная математика

Квант 1976, №6 с. 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48 Тег OL25

Что такое прикладная математика?

Трудно указать предмет, который вызвал бы в последние годы столб罢сточенные споры среди людей, имеющих отношение к математике. Пока идут эти споры, во всех промыщенно развивых странах развернулсь широкая подготовка специалистов в области прикладной математики; в частности, и в наших институтах специальность «прикладная математика» превращается в одну из наиболее популярных. В то же время многие выдавшиеся специалисты утверждают, что никакой прикладной математики вообще нет . . .

Что же это за область, которое нет? И чем занимаются специалисты в этой области (или необласти)?

Matematika начала применять еще до того, как стала наукой. Проctype арифметические и геометрические понятия и закономерности пропикали во все области человекаской деятельности. Во времяена же расцвета английого мира произошло оформление математики как науки с ее характерным деуктивным методом, согласно которой все ее утверждения выводятся по строгим логическим правилам из немногочисленных исходных положений, принимаемых без доказательства, как аксиомы. С этого периода начаLOBь построение градиного здания математики.

Попутно с развитием математики расширился к круге ее приложений. Многие важные математические понятия и методы были созданы специально для решения прикладных задачи и лишь затем анализировались, развивались и обобщались в «чисто математического» плане. Отдельные дисциплины — небесная механика, теоретическая электротехника, теория прочности, теоретическая физика и некоторые другие — оказались буквально «нашпигованными» математикой.

Одноко до последних десятилетий сравнительно сложные разделы математики применяются все же лишь в небольшим числе традиционных области науки и техники; да и там сложные задачи часто не удаваюсь довести до практических примелого решения.

В нашей электронные цифровые вычислительные машины в корне изменили представление о возможности применения математики. С помощью ЭВМ были решены многие ранее поставленные математические задачи прикладного характера, а также и новые задачи и проблемы, относящиеся к традиционным области приложений, так и к новым области, где ранее математика не находила применения. Оказалось, что не только конкретные математические результаты, но и сам строй математического мышления приносит неценному полезу в самых разных областях науки, техники, экономики, всей человеческой деятельности. Наступает качественно новый период развития математики — период «всеобщее математизация».

И вот стало очень видно, что математика в процессе ее приложений прибретает ряд характерных особенностей, черт, родственных для различных областей приложения и в то же время порой существенно отличиях от привчанных черт «чисто» математики. Tradиционное вывжение на первый план логическое со-

вершенства, глубины и общности формировок далеко не всегда отвечает жестким требованиям современных приложений — своевременности, эффективности, экономности. Вследствие этого получилось, что специализы в области «чистоя» математики часто оказывались не в состоянии математку эффективно применять. Возникла настоящая потребность в специализах нового типа.

Прикладная математика признана создавать, изучать, развивать и совершенствовать методы применения математики к задачам, возникающим за ее пределами. Таким образом, при достаточно широком взгляде на математку прикладная математика является неотъемлемой часть «математики вообще». При этом не следует представлять себе упрощенно, что будто бы математку можно отчетливо разделить на «чистою» и «прикладную» или что прикладная математика — это математическая дисциплина типа алгебры или геометрии. Применяться могут самые разнообразные разделы математики, и огромное число математических понятий и методов являются как «чисстыми», так и «прикладными» (или «примущественно чисстыми», «примущественно прикладными» и т.п.), т. е. могут входить как в чисто математическое, так и в прикладные исследования. Поэтому более правильно говорить о чистою и прикладной математике не как о разделах математики, а как о ее аспектах, подходах к ней, ответающих соответствующим темисам «математика как целый» и «математика как средство». И оказаваться, что многие понятия, методы, утверждение в этих двух подходах не только играют существенно различную роль, но порой наполняются и различным содержанием (см. п. 2)!

Пока дисциплин, основанных на систематическом применении математики, было немного, а сами методы этого применения были не слишком сложны, потребности в большом числе специализов — прикладных математиках — не было. С легкими математическими задачами справлялись сами представители этих дисциплин, а более трудные и принципальное новые задачи изучали также великие учены как В. Риман, А. Пуанкаре, А. М. Ляпунов и другие (которые были одновременно как чистыми, так и прикладными математиками!). Однако в период всеобщей математизации, когда прикладные математические задачи становятся все более сложными и разнообразными, такого сочетания условий не недостаточно: великих учены не хвасят на все задачи!

В то же время существенный вклад в решение таких задач из самых разнообразных областей человека деятельности сейчас могут внести лишь специализы с широким математическим образом, владющее методами применения математики и обладающие соответствующими интересами и навkillами. Это и есть прикладные математики. В зависимости от темпераента и источательств они могут специализироваться либо в какой-то определенной области приложения математики, либо же, будучи в первую очередь математики, переходит от одной области к другой; могут работать в составе группы или же самостоятельно.

И, наконец, отметим, что, несмотря на многоvekовою историю применения математики и огромный опыт такого приложения к конкретным задачам, изучение принципов и общих методов этого приложения только начинается. Возможно, некоторые из наших читателейPrimут участе в изучении, систематизации и совершенствования этих приложов и методов, то есть в оформлении своего дисциплины — общей прикладной математики.

Каковы особенности прикладной математики?

Говоря теперь о чистой и прикладной математике, мы будем, с одной стороны, иметь в виду «академичскую»

математику, изучаемую на математических факультах университетов и целиком основанную наедуктивном методе; а с другой стороны — математику в том обличье, которое она приобретает в процессе приложений.

Естественно, что содержание многих понятий, утверждений, методов в чистой и прикладной математике одинаково или почти одинаково. (Пример — теорема Пифагора.) Однако сейчас мы сосредоточим внимание на случаях, когда это не так.

a) Существование решения

Вопрос «имеет ли данная задача решения?» не так прост, как может показаться на первый взгляд; иначе что «чистый» и «прикладной» математики дают на него прямое противоложные ответы. Не вдаваясь в физические и логические дебри, посним сказанное следующее примером.

Американские студенты изобрели игру в «гекс». Играют две на четырехсторонней доске из правильных шестиугольников (в качестве доски, например, можно использовать кафельный пол) физами двух цветов: «черными» и «полосатыми». Объчно размеры доски — это 11×11 шестиугольников — см. рисунок. Две противоположные стороны доски обьявляются «черными», две другие — «полосатыми». Игроки по очереди выкладывают свои фишки-шестиугольники: один — «черные», другой — «полосатые», причем финику можно классify на любое свободное поле. За каждым из игроков закреплена пара сторон доски — одинаковых по цвету с его фишками. Цель каждой игрока — соединить связным путем стороны своих фишками.

Естественно поставить вопрос: а существует ли выигрышная стратегия для первого или второго игрок («стратегия» состоит в указании хода в любом уже создавшемся положении)? На этот вопросdal ответ известный американский математик Дж. Нэш: он доказал, что существует выигрышная стратегия для первого (начинаяшего) игрок и не существует для второго. Приведем схему его острумного доказательства.

Прежде всего, можно доказать (мы предоставляем это читателю), что данная игра обязательно заканчивается выигрышем одного из игроков, т. е. чтоничих здесь не бывают. Считая это известным, доказем существование выигрышной стратегии для первого игрок методом «от противного», т. е. допустим, что такой стратегии нет. Это означает, что, как бы ни старался первый игрок, второй может уйти от поражения, т. е. в силу невозможностиничих выигрыть. Но тогда второй игрок имеет выигрыш-

рассуждания, непримемые с точки зрения чистой математики, но при разумном их применении приводящие к правильным практическим результатам. Такие рассуждания типичны для всех дисциплины (физика, химия, биология, медицинна и т. д.), кроме чистой математики; так что в этом отношении прикладная математика находится как бы на стыке математики с этим дисциплинами.

Эвристические рассуждания могут включать аналоги, численные и физические эксперименты, общее выводы на основе анализа типичных случаев (это — так называемая «неполная индекция») и другие подобные способы рассужданий. Все эти способы в чистой математике доказательной силы не имеют, однако в прикладных задачах они вполне правомерны и поступanno применяются.

В прикладных математических рассуждаениях за математическим понятиям обычно стоит реализовать объекты. Поэтому при решении прикладной математической задачи часто оказываются полезными сведениями, не содержащие явно в формулировке задачи, но вытекающие из ее физического смысла.

Однако в ряде случаев наиболее целесообразными, а порой и единственно возможными оказались действия методы. Поэтому прикладной математик должен владеть всем способами рассужданий.

Почему же все-tаки в прикладной математике далеко не всегда удается проводить все построения так же строго, как в чистой математике? Дело в том, что часто эвристическим путем можно получить решения задачи именно в тех случаях, когда число делительных методы не приводят к целли или требуют колоссальных, неоправданных услуг. Кроме того, переход от реализации объекта к его математической модели (об этом см. ниже) всегда является эвристическим и осуществляется лишь с некоторой точностью. Решение математической задачи — это только часть полного исследования.

Математические модели

Прикладной математик все время имеет дело с математическим моделими. Models могут быть геометрические фигуры, числовые множества, различные уравнения и системы уравнений и т. п., описывающие какие-либо свойства изучаемого реализации объекта или явления.

Рассмотрим простой пример. Пусть нас интересует объем жидкости, которое вместе вместе с математическим моделими, которая дает возможность получить ответ:

$V = \frac{\pi}{4} d^2 H - \text{без эксперимента, но и без учета несовершенства реализации страны, или поверхностного натяжения, и т. п.}$

Конечно, как мы уже говорили, математическая модель описывает реализный объект совершенного неправильного, как говоря, модель оказается недекватной реализации объекта. Составление математической модели — дело очень ответственное. Реальный объект может иметь много различных, неравно-сильных моделей; и понски адекватной и в то же время достаточно простой модели зачастую прибрегают драматический характер. Кроме того, изучаемой модель, мы можем столько с совершенной непредвиденными математическими трудностями.

Позному прикладному математнику недостаточно только хорошо математического образования. Он должен обладать и математической эрудицией, и интупцией, чтобы при решении конкретной прикладной задачи применять именно те методы, которые дают наиболее эффективный эффект. Он должен

уметь развивать эти методы и создавать новые. И, конечно, — довести решение до результата, используя для этого все необходимые средства, в том числе и ЭВМ.

Как стать математиком-прикладником?

Подготовка математиков-прикладников в нашей стране осуществляется в университетах и в ряде крупных высших технических учебных заведений. При этом наблюдается определенное слияние университетского и технического образования, в основном за счет существенного повышения общегооретического потенциала выпускников вузов, специальнуюшихся по прикладной математике (специальность 0647).

В то же время во втузах сохранется и некоторые особенности — ориентация на приложения математических методов в практических задачах, возникших в соответствии with областях экономики, технических, транспорта, управления и т. д. Поэтому наряду с математическим курсами общегооретического и прикладного характера (1700—2050 часов) в учебном плане (всего 4700 часов) специальности 0647 предусмотренных дисциплины, связанные с ЭВМ (300—600 часов), АСУ, теория управления, физика, механика, электротехника и радиоэлектроника. На последних семестрах читают курсы, связанные со специальизации: методы прикладной математики, численные методы, алгоритмизации процессов управления, теория систем, системное моделирование и некоторых другие. Прикладная математика имеет три основные специальизации:

применение средств вычислительной техники к решению задач народного хозяйства — техники, экономики, управления, планирования;
математическое обеспечение АСУ;
математическое обеспечение ЭВМ.

Первая из этих специальций начиная играть главенствующего роль, и вот почему. Програмс вычислительной техники и создание все более совершенных, сложных, все более быстроствующих (до 2·10⁸ операций в секунду) ЭВМ сопровождается явной унифкацией: меньше становится разнообразие типов машин. Унификация модели наблюдается даже в мировом масштабе: в результате соглашения между отдельными фирмами различные типы вычислительных машин оказываются совместными в экспериментии.

ЭВМ второго поколения (на полупроводниках), подобные БЭСМ-6, пришедшие в 60-х годах на смену лампповым машинам первого поколения (50-e годы), обладают быстроствием до 10⁶ операций в секунду, т. е. в 10³ раз большим быстроствия машин первого поколения, и примерно в 10⁶ раз большим быстроствия человека. Эти ЭВМ весы наDEX-6, пришедшие в 60-х годах на смену лампповым машинам первого поколения (50-e годы), обладают быстроствием до 10⁶ операций в секунду, т. е. в 10³ раз большим быстроствия машин первого поколения, и примерно в 10⁶ раз большим быстроствия человека. Эти ЭВМ весы наDEX-6, пришедшие в 60-х годах на смену лампповым машинам первого поколения (50-e годы), обладают быстроствием до 10⁶ операций в секунду, т. е. в 10³ раз большим быстроствия машины, позволяют соответствовать соответствующим переводить соответствующим алгоритмым решения задачи на внутренний язык машин, понятный ей. Приято считать, что опытный программист отработывает 3—4 команды в день. При такой технологии требуется сотни человек-лет предварительной работы, чтобы загрузить, например, одну машину БЭСМ-6 на один час. Выход был найден на пути передачи существенной части труда человека по созданию программы самим машinem. Однако и это не решило многохпроблем; во всяком случае — для машины третьего поколения (на интерральных схемах), машин 70-х годов с быстроствием до 2·10⁷ операций в секунду. Эти проблемы обретают новый характер. Машины становятся все более «прожорными»: они требуют задач в огромном объеме, задач, облеченных в математическую

форму, специально подготовленных для «машинного чрева». Поэтому, если созданию машин второго поколения сопутствовало выdvijжение на первый план специализа в области построения и совершенствования внутреннего математического обеспечения, то «жизненный тонус» машин третьего поколения требует наличия широкого круга лиц, способных подготовить задачу: вникнуть в ее смысловое содержание (в ее физической смысле), построить математическое модель,выбрать методы ее изучения, подготовить алгоритм решения, использовать машину для его осуществления.

Естественно, что это — грубая схема, но зачастую даже она не может быть реализована.

Дело в том, что многие задачи, особенно экономического, социально-ческого, общественного типа, настолько сложны, что не поддаются формализация средствми современной математики. Иными словами, неудается построить математическое модель рассматриваемого явления. В такой ситуации возникнет особенно острая потребность в сочетании формализованного и неформализованного подходов, сочетания математических и эвристических методов, вычислений и интуиции. Этот путь приводит к понятию имитационной модели. Имитационная модель изобразает, импитует изучаемый процесс; она служит для всестороннего его анализа, позволяетарьировать различными параметрами процесса и изучать последствия этих изменений. Отделные элементы имитационной модели могут допускать формализацию, для других ее может не быть. Во всех случаях, однако, предполагается создание возможностей машины (быстро прочита большего числа вариантов) и интуиции, опыта человека. Имитационное моделирование — важнейшее направление в совершенствующей прикладной математике. Об этом много интересного можнопочпнуть в увлекательной книге

H. H. Монсеева «Математик задает вопросы» (М., «Знание», 1974).

В конце 70-х годов найдет применение разработываемые в настоящее время машины четверго поколения. По-видимому, они оказываются «высокого интеллектными», позволяят упростить диалог между человеком и машиной (неизбежный при исследовании имитационной модели), возьмут на себя многое функции, выполняемые ниже программыми и специализами по внутреннему математическому обеспечению, и потребуют обильного материала для «размышления». В этом одна из причины того, что подавляющая часть математиков-прикладников ориентируется теперь на специализацию по применению ЭВМ в задачах народного хозяйства. Другая, столже важная, причина — в математизации наук, во все более разнообразном и глубоком использовании математических методов как в традиционных, так и в совершенню новых областях знаний.

Специально математика-прикладника можно овладеть, обучаясь во многих вузах страны. Средние них — известные вузы: МИНТ, МИНХиГП, МАИ, МИЭМ, МИФИ, МФТИ, Алтайский, Тульский, Донецкий, Львовский политехнические институты, Днепропетровский институт инженеров железнодорожного транспорта, Казанский авнационный, Харьковский радиотехнический институты и некоторые другие.

Кроме того, специализить «прикладная математика» есть в средних специальных учебных сведениях: в Московском математическом техническом технике (в этот техническом только москович), в Ленинградском механическом техническом технике (у этого техническа тоже нет общежития), в Минском политехнику, в Киевском механико-mеталлическом технике, в Днепропетровском технике автоматики и телеханки, в Днепропетровском промышленно-экономическом технике-

me, в Ростовском электронческом техническом технике, в Кировоканском политехнике, в Ковровском энергомеханическом технике, на среднетехническом факультете Тульского политехнического института.

Каждай выпускник восbmилетней школи, желающий получить углубленную математическую подготовку и одновременно интерсуцию его специальность, может сделать заявление в один из этих техническов. [Особый интерес представляет собой новое открываемая специальность: «Обработка информации в АСУ». По этой специальности на общий курс математики отводится (для поступающих после 8-го класса) свыше 500 учебных часов; сюда включены элементы математической логики, теории вероятностей и математической статистики. В общепещальном цикле изучается вычислительная математика в объеме 100 учебных часов, основы программирования и алгоритмические языки в объеме 128 учебных часов. Набор по специальности «Обработка информации в АСУ» будет проводиться в Ленинградском промышленно-экономическом технике.]

А что делать в школе?

Конечно, — освивайте математку, либо прикладная математика — это прежде всего математика. Нужно овладеть делутивным методом рассужdenия, научиться давать точные определения, тренироваться в решении задачи различного типа, в частности задачи, развивающихся логическое и алгоритмическое мышление.

Не пренебрегать «тестовыми» задачими, решение которых требует представительного составления управления. К сожалению, текстовые задачи школьного курса математики, как правило, мало имеют общее с теми задачими, с которых сталкивается прикладной математик. Однако важна привчка не робеть перед нематематическими текстами!

Полюбить вычисления, начиная с самых грубых прикидок порядка величины и самых грубых подсчетов и кончая самыми точными вычислениями с помощью всех известных вам методов и доступных вычислительных средств.

Осваивает физку и отделные разделы других дисциплин (в том числе не включенные в школьную программу), в которых применяется математика. Научиться мыслить на «физическая» языке, проводить неформальные рассуждения, научиться пользоваться эвристическими определениями, проводить эвристические доказательства, типичные для прикладных дисциплин.

А для начала мы предлагаем вам решить несколько задач и список полезных книг и статей.

Уражнения

Докажите, что при игре в «гекс» ничего не было.
Докажите оценку общего числа S стратегий для первого игре в «гекс»:
$121 \cdot 119^{120} \cdot 117^{118} \cdot \dots \cdot 101^{102} < S < 121 \cdot 119^{120} \cdot 117^{118} \cdot 3^4.$
Сравните S с возможным числом элементов частies во Вселенной.
В стенгаете клуба «Рога и копыта» «Интертурной газеты» появилось сообщение о том, что начальник пожарной охраны Камского элеватора Матвей Толстобрюхов подсчитал, что емкость этого хранилаша составляет 839522634175293648209 зерен пшеницы. Укажите две грубые ошибки в этом подсчете.
Выведите простую приближенную формулу для увеличения продолжительности дня (по сравнению с 22 декабря) N-го января, в зависимости от N.
Оси двух круговых цилиндров радиусов R₀ и R пересекаются под прямым углом. Получите приближенные формулы для объема V полученного тела при R₀=const и R→0 либо R→∞.

Литература

Математика в современном мире, «Мир», Москва, 1967.
И. И. БLEXMAN, А. Д. Мышкис, Я. Г. Пановко, Прикладная математica. Предмет, логика, особенность подходов, «Наукова думка», Киев, 1976.
Г. Штейнгуз, Задачи и размышления, «Мир», Москва, 1974.
Л. Садовский, Прикладная математica — новая специальность в технических.byхах, «Квант», 1974, № 6.