О двоичной системе счисления

67

Здравствуй, дорогой Сережа!
На днях получил твое письмо. Оно меня очень обращало. Ты пишешь, что внимательно проел заметку «О системах сисления» в «Кванте» № 8 за 1975 год и решил все предложенные там задачи. Разве можно усомниться в этом, когда в конце письма значится: «Писано в Москве, в воскресенье, 112-го сентября 30400 года»? *). Ох, и оригинальный же ты человек, Сережа! Правда, мне не совсем понятно, почему число и год ты записал в разных системах. Впрочем, в данном случае — это твое право.

Ну, а теперь приступим к делу.

1. Как я и обещал, сегодня у нас решь поидет о двойной системе сисления. Это — самая простая система сисления. В ней только две цифры — 0 и 1. Число 2, т. е. основание системы, записывается как 10. Ты, конечно, это отлично знаешь.

*) 14 сентября 1975 года. В первом письме к Сережа («Кванте», 1975, № 8, с. 59) рассказавалось о разных системах сисления. Так, число 14, записанное в десятичной системе, то есть 1410 (индекс 10 — это основание системы сисления) — это число 112 в троичной системе сисления; поскольку 1410 = 1.3² + 1.3 + 2.3⁰. А число 197510 в пямерчной системе сисления записывается как 30400, так как 197510 = 3.5⁴ + 0.5³ + 4.5² + 0.5¹ + 0.5⁰.

Вот как запишутся в двойной системе числа первого десятика: 1,10,11,100,101,110,111,1000,1001,1010.

Таблица сложения в этой системе состоит из единственного равенства: 1+1=10. (Равенства 0+0=0, 0+1=1+0=1 можно опустить — ведь прибавление нуля не меняет числа!)

А как с таблицей умножения? Собственное говоря, никакой таблицы умножения в двойной системе и нет — нужно только знать, что любое число, умноженное на нуль, есть нуль, и что умножение на единицу числа не меняет.

Арифметические действия над многозначными числами в двойной системе выполняются по тем же правилам, что и в десятичной. Расмотрим конкретные примеры.

1. Сложим числа 101101 и 10100. Задишем одно число под другим, соблюдая разряды:

• 101101
  10100

1+0=1; 0+0=0; 1+1=10, — 0 пишем, 1 в уме; далее, 1+0=1, да еще 1, будет 10, — опять 0 пишем, 1 — в уме; наконец 1, да еще 1 (то, что было «в уме») дают 10. Итак, получим:

• 101101
  10100
  1000001

68

Проверим правильность наших вычислений. Для этого данные числа запишем в десятичной системе Имеем:
$$101101_2 = 1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 45_{10},$$
$$10100_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 20_{10}.$$
Сумма этих чисел должна равнять 65. Так и есть: $1000001_2 = 1 \cdot 2^6 + 0 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 65_{10}.$

2. Умножим теперь число 1101 на число 110. Имеем:
   $$\begin{array}{c c c} 1101 & 110 \\ 11010 & 11010 \\ 1101 & 10011 \end{array}$$
   Проверку этого, а также следуюших результатов:
   $$\begin{array}{c c c} - & - & 1111010 \\ 1101 & 1010 & 110 \\ 1010 & 1010 & 1010 \end{array}$$
   следяем сам.

Кроме того, выполнием действия и проверь правильность полученных ответов в следующих примерах:
10101+101,111110+1011,101101—111,10101·101,11011:11,1001110001:1111101.

2. Как видим, двойная система и в самом деле очень простая. Правда, по сравнению с десятичной она довольно громоздка, но, оказывается, у нее есть ряд преимуществ.

На рисунке 1 показано несколько чисел, «записанных пальцами».

Подумай, сколько чисел можно «записать», если использовать пальцы обених рук?

3. В заключение, дорогой Сережа, хочу расссказать тебе об одном фоку-

69

се: его с успехом демонстриют на своих Правниках математики учащся Батумской школы № 7.

Возьем какие-либо 15 названия — пусты, к примеру, это будут названия геометрических фигура: мои-ка, прямая, луч, отрезок и т. д. — см. таблицу 1.

Составим из названия, помещенных в таблице 1, еще четыре таблицы (таблицы 2—5).

«Фокусник», показывает критермсводу таблицу, просит задумать название какой-либо фигуры. Потом, стоящий к таблицам 2—5, просит одного из крителей сказать, в каких из этих таблиц присутствует задуманное им название. Получив ответ, он сразу назвает, какая фигура была задумана. Затем он обращается к следующему крителю и опять безошибочно назвает задуманную фигуру и т. д. Зрители порожены.

А стоит ли порожаться? Секрет фокуса заключается в том, чтобы уменьшить числа из двойной системы числения в десятичную. Уверен, что ты уже раскрыл его. Если нет, подумай — и наверняка найдешь ключ к отгадке. (Между прочим, можно брать и больше названия, например 31, или 63, или 127 и т. д. Но тогда придется составлять не четыре, а соответственно пять, шесть или семь таблиц.)

Ну, вот и все. Надеюсь, у тебя появилось желание поглубже познакомиться с системами числения, в том числе и с двойной. Могу порокомендовать литературу. Это книга С. В. Фомина «Системы числения», М., 1975, и стать Р. С. Гу-тера «Системы числения и арифметические основы работы электронных вычислительных машин» (см. книгу «Дополнительные главы по курсу математики», учебное пособие по факультативному курсу для учащихся 7—8 классов; хотя эта книга написана для учащихся 7—8 классов, многое в ней доступно и школьникам 5—6 классов).

С нетерпенем жду твого письма.
Желаю успеха!
А. Бендукдзе