Задачи наших читателей

Задачи наших читателей

1. В основании прямого параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит
   naраллелограмм $ABCD$ с острым углом $\widehat{DAB}=\gamma$. Диагонали
   $AB_1$ и $BC_1$ боковых граней образуют с плоскостью основания углы $\alpha$
   и $\beta$. Определить угол между этими диагоналями.
2. Даны географические координаты двух точек на сфере радиуса $R$:
   $\phi_1$, $\theta_1$ и $\phi_2$, $\theta_2$ ($\phi$ — широта, $\theta$ —
   долгота). Определить расстояние по сфере между этими точками.
   В. Хренов
   (г. Воронеж)
3. Пусть высоты треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Докажите, что
   $|AH|=2R|{\cos\widehat A}|$, где $R$ — радиус описанной окружности
   треугольника;
   $|AH|=|BC|\cdot|{\ctg\widehat A}|$.
   В частности,
   если $|AH|=R$, то $\widehat A=60^\circ$ или $\widehat A=120^\circ$;
   если $|AH|=|BC|$, то $\widehat A=45^\circ$ или $\widehat A=135^\circ$.
   Заметим, что два эти примера приведены в качестве задач 5.1 и 5.3 в брошюре «Математические соревнования. Геометрия» («Наука», 1974), где указаны неправильные ответы (забыты тупые углы). См. также журнал
   «Математика в школе», 1970, № 4, с. 44; 1974, № 5, с. 73.
   Э. Готман
   (г. Арзамас)
4. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$; $r$ — радиус
   вписанной в него окружности, $R$ — описанной, $S$ — его площадь. Доказать,
   что
   $$\tg\dfrac{\widehat A}2+\tg\dfrac{\widehat B}2+\tg\dfrac{\widehat C}2 \le\dfrac{9R^2}{4S};$$
   $$\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat A}2}a+\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat B}2}b +\dfrac{\cos^2\dfrac{\widehat C}2}c\ge\dfrac{27r}{8S}.$$
   Для какого треугольника достигается равенство?
   Т. Райков
   (Болгария)