Задачи М461—М465; Ф473—Ф477

Квант 1977, №9 с. 33-34 Тег GNJ2

Задчи

M461—M465; Ф473—Ф477

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задчи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Наноблее трудные задчи отмечены звездочкой. Решения задч из этого номера можно присылать не позднее 1 ноября 1977 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант».
После адреса на конверте написите номера задч, решения которых вы посылаете, например, «M456, М457» или «Ф468». Решения задч по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задчи — просба присылать в отдельных конвертах. Задчи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задч, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задч (на конверте пометьте: «Задчник «Кванта», новая задча по физике» или «… новая задча по математике»). После формирования задчи мы обычно указываем, кто предложил нам эту задчу. Разумеется, не все эти задчи публикуются впервые. В этом номере «Задчник «Кванта» составлен в основном из задч, предлагашихся на последней Всесоюзной олимпиаде.

M461. На столе стоиташечные весы и $n$ гирь различных масс. Грип по очереди ставятся наашки весов (на каждом шаге со стола берется любая гиря и добавляется на ту или другуюашку весов).

a) Докажите, что грип можно ставить в таком порядке, чтобы сначала перевести левая чашка, затем правая, потом снова левая, снова правая и так далее.

Этот последовательности результатов взвешивания сопоставим слово из букв $L$ и $R$ : LRLRLR… Здеся буква $L$ означает, что перевести левая чашка, а буква $R$ означает, что перевести правая чашка.

6)* Докажите, что для любого слова длины $n$ из букв $L$ и $R$ можно в таком порядке ставить грип наашки весов, чтобы это слово соответствовал последовательности результатов взвешивания.

M462. Плоскость пересекает боковые ребра правильной четырехугольной прямиды в точках, отстоящих от вершины на расстояния $a$ , $b$ , $c$ и $d$ (рис. 1). Докажите, что

$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{1}{b} + \frac{1}{d}.$

К. Шварцман

M463.* Даны натуральные числа $x_1, x_2, \dots, x_m, y_1, y_2, \dots, y_n$ . Суммы $x_1 + x_2 + \dots + x_m$ и $y_1 + y_2 + \dots + y_n$ равны между собой и меньше mn. Докажите, что в равенстве $x_1 + x_2 + \dots + x_m = y_1 + y_2 + \dots + y_n$ можно вычернуть часть слагаемых так, чтобы снова получилось верное равенство.

К. Сибирков

M464.* На плоскости данного 1000 квадратов со стороны, параллельными осями координат. Пусть $M$ — множество центров этих квадратов. Докажите, что можно отметить часть квадратов так, чтобы каждой точка множества $M$ попала не менее, чем в один и не более, чем в четыре отмеченных квадратов.

А. Плоткин

М465*. Имеется тысяча билетов с номерами 000, 001, …, 999 и сто ящков с номерами 00, 01, …, 99. Билет разрешается опускать в ящик, если номер ящика можно получить из номера этого билета вычеркиванием одной из цифр. Докажите, что
a) можно разложить все билеты в 50 ящков;
b) нельзя разложить все билеты менее, чем в 40 ящков;
b) нельзя разложить все билеты менее, чем в 50 ящков.

Пусть вообще имеется $10^k$ билетов с $k$ -значными номерами от 00…0 до 99…9. Билет разрешается опускать в ящик, номер которого можно получить из номера этого билета вычеркиванием некоторых $k$ -значных билетов, можно разложить по 34 ящикам.
d) Найдите минимальное количество ящиков, в которых можно разложить $k$ -значные билеты. Попробуйте решить эту задачу для $k=4$ , 5, 6, …

С. Фомин

Ф473*. Рисунок 2 сделан со строкосоппической фотографией движения двух стальниковших шариков одинаковых диаметров, но разных масс. Стрелкой на рисунке показано направление движения одного из шариков до столковения.

Определить отношение масс шариков.
Указать, в каком направлении движения этого шариков в стороны шар. (9 кл.)

Ф474. Цель, показанная на рисунке 3, собранна из одинаковых волтметров. Первый волтметр показывает $U_1=10$ В, а третий — $U_3=8$ В. Каково показание второго волтметра? (9 кл.)

Ф475*. На рисунке 4 приведена волтметрная характеристика лампочки от карманного фонаря. Лампочка включана в схему, показанную на рисунке 5.

Найти графически ток в лампочке.
При каком положении движка потенциометра направление между точками $A$ и $B$ равно нулю?
При каком положении движка потенциометра направление между точками $A$ и $B$ почти не будет меняться при небольших изменениях з. д. с. батареи?

Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. (10 кл.)

Ф476. Природный уран состоит из смеси двух изотопов с относительной atomными массами 235 и 238 и относением концентрации 7:1000. Для увеличения концентрации $^{235}$ U, который применяется в atomных реакторах, используется истечение газообразного соединения $UF_6$ (шестифтористый уран) в вакуум через маленькие отверстия. Газ пропускается через трубу $T$ с пористыми стенками