Решения задач М421—М425; Ф432—Ф437

35

Решения задач

M421—M425; Ф432—Ф437

М421. При каких намуральных m и n (m < n) можно закрасить некоморные клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в черный цвет Mak, чтобы любой прямугодник размера m × n содержалровно одну черную клетку?

Рис. 1.

Рис. 2.

(рис. 6). Прошедший через стенки трубы газ откачивается из сосуда C. Оценить отношение концентрации $^{235}$UF$_6$ и $^{238}$UF$_6$ в откачиваемом газе. Относительная atomная масса фтора равна 19. (10кл.)

Ф477. Резиновое колюто массы M лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Колюто немного расстояния так, что оно сохраняет форму окружности и центр его остается неподвижным. После этого колюто отпускают. Описать дальнейшее поведение колюца. Козффициент упругости резинового жгута равен k.

А. Абрамян

Решения задач

M421—M425; Ф432—Ф437

Докажем, что требуемая раскраска клетчатой плоскости для пары (m, n), m < n существует в том и только в том случае, когда n делится на m.

Если раскраска плоскости такова, что в любом ряде (вертикальном и горизонтальном) закрашена черным каждая k-я по счету клетка (как на рисунке 1, где k=3), то в любом прямоугольнике 1×k будетровно одна черная клетка. Из такой periodичной раскраски для пары (1, k) нетрудно получить periodичную раскраску для пары (m, km): нужно измельчить в m раз сетку и в каждой черной клетке старой (крупной) решетки оставить черной только одну, скажем, левую нижнюю клетку (рисунок 2 получен из рисунка 1 и именно таким примером; здесь k=3, m=2). Итак, мы показали, как построить нужную раскраску для пары (m, n), если n делится на m.

Предположим теперь, что для пары (m, n), где n не делится на m (n > m > 1), построена нужная раскраска, и придем к противоречию.

Рассмотрим два служеб.

1. Пусть n ≤ 2m – 1. Если два вертикального расположенных прямогольника m × n имеют общую угловую черную клетку, как показано на рисунке 3, то в их объединении больше не может быть черных клеток. Но в нем можно размещить горизонтальный (красный) прямогольник n × m, не содержащий черной клетки. Противоречие.

2. Пусть n > 2m – 1. Докажем сначала, что если K — черная клетка, то n-я клетка в том же ряду (считая от K) — тоже черная. Рассмотрим два вертикального расположенных прямогольника m × n с общей нижней угловой клеткой K и еще два прямогольника, полученные из них сдигром на одну клетку вверх (голубой и желтый на рисунке 4). Поскольку в них должны быть по одной черной клетке, то черным цветом должны быть закрашены либо одна из желтых клеток и одна из голубых, либо одна зелена клетка. Но первая возможность исключается, так как в горизонтальном красном прямогольнике не может быть двух черных клеток; значит, зеленую клетку нужно закрасить в черный цвет.

Рассмотрим теперь квадрат n×n с черной клеткой в нижнем левом углу. Если n = mk + r, где 0 < r < m, то квадрат можно разрезать на k горизонтальных прямогольников n×m и «остаток» — прямогольник n×r (рис. 5).

37

М424. Через какдуго вершину метраэдра проведена плоскость, содержащая центр окружности, описанной около промивоположной грани, и перпендикулярная к промивоположной грани. Доказим, что эти четырые плоскости пересекаются в одной точке.

Рис. 7.

М425. Существует ли такое нагуральное $N$, что какдое рациональное число между нулем и единицей представляется в виде суммы $N$ чисел, обратных нагуральным?

Пусть $S$ — одна из вершин tetraэдра, $SH$ — его высота, $O_1$ — центр окружности, описанной вокруг грани, противоположной вершине $S$. Плоскость, проходящая через вершину $S$, содержит высоту $SH$ и отрезок $SO_1$ (рис. 7). Проведем через точку $O_1$ прямую, параллельную $SH$; очевидно, что она принадлежит нашей плоскости. С другой стороны, ясно, что эта прямая проходит через центр сферы, описанной вокруг плоскости. Поэтому все четырые плоскости, содержащие центр описанной вокруг tetraэдра сферы, пересекаются в одной точке.

А. Ягубьянц

Обозначим через $A_n$ множество чисел, представимых в виде суммы не более, чем $n$ слагаемых, обратных нагуральным. Тогда $A_{n+1} = \{ \alpha + 1/q \}, \alpha \in A_n, q \in \mathbb{N}$ (нагуральное); ясно, что $A_{n+1} \supset A_n$.

Мы сейчас докажем, что $A_n$ (ни при каком $n$) не содержит все рациональные числа промежутка ] 0; 1 [ для этого докажем индукцией по $n$ более сильное утверждение:

I. В любом отрезке $[a; b] \subset ]0; 1[$ найдется целый отрезок $[c; d]$, не пересекающий с $A_n$*).

Для $n = 1$ это очевидно. Докажем это утверждение для некоторого $n$, считая, что для $n - 1$ оно доказано.

Пусть задан отрезок $[a; b] \subset ]0; 1[$. Выберем отрезок $[c_0; d_1] \subset [a; b]$, не пересекающий с $A_{n-1}$, и возьмем число $m \in \mathbb{N}$, такое что $d_1 - c_0 > 2/m$ (т. е. $2/(d_1 - c_0) < m$. Тогда ни одно из чисел вида $\alpha + 1/q$, где $\alpha \in A_{n-1}, q \geq m$, не лежит в правой половине $[c_1; d_1]$ отрезка $[c_0; d_1]$: если $\alpha \leq c_0$, то $\alpha + 1/q < (c_0 + d_1)/2 = c_1$. Мы можем, далее, последовательно выбирать $[c_1; d_1] \supset [c_2; d_2] \supset [c_3; d_3] \supset \dots \supset [c_m; d_m]$ так, что $[c_k - 1/k; d_k - 1/k]$ не пересекается с $A_{n-1}(k = 1, 2, \dots, m)$. В промежутке $[c_2; d_2]$, тем самым, не будут содержаться числа вида $\alpha + 1/2$ и $\alpha + 1/q$, где $\alpha \in A_{n-1}, q \geq m$; в промежутке $[c_3; d_3]$ не содержится числа вида $\alpha + 1/2$, $\alpha + 1/3$ и $\alpha + 1/q$ для $q \geq m$, $\alpha \in A_{n-1}, q \in \mathbb{N}$. То есть отрезок $[c_m; d_m]$ не пересекается с $A_n$, что и требовалось доказать.

Таким образом, ответ на вопрос, поставленный в задаче М425, отрицательный: такого натурального числа $N$ нет.

В решении, присладаемых читателями, был замечен целый ряд свойства множества $A_n$; некоторые из них сильнее, чем доказанное выше I.

*) Как говоря, множество $A_n$ не плоско.

38

Другие свойства $A_n$, которые также отличают его от множества всех рациональных чисел:

II. $A_n$ не содержит никакой без конечной возрастанию последовательности.

Это свойство эквивалентно таким двум.

III. Для каждой точки $x \in A_n$ существует близкая к ней слева.

IV. В каждом подмножестве $A_n$ есть наиболее число.

V. Пределом последовательности различных чисел, содержащих $A_n$, может быть только число, содержащей $A_{n-1}$ или 0 (а не любое действительное число на отрезке, как было бы, если бы $A_n$ содержало все рациональные числа этого отрезка!)

Доказательство этого последнего свойства особенно изучено.

Пусть $x_m = \frac{1}{q_1^{(m)}} + \dots + \frac{1}{q_n^{(m)}}$, $q_1^{(m)} \leq q_2^{(m)} \leq \dots \leq q_n^{(m)}$, $m = 1, 2, \dots$ — неокоторая последовательность чисел из $A_n$, стремящаяся к пределу $a$. Мы можем выбрать из последовательности $q_1^{(m)}$ (на тура льны х чисел!) либо возрастающего под последовательность, либо «стασионарную», в котором повторяется одно и то же число; потом (выбросив все остальные $x_m$) ту же операцию проделать для $q_2^{(m)}$ и т. д. Поскольку все $x_m$ различны, неокоторая последовательность $q_1^{(m)}$ обязана возрастать и стремиться к бесконечности. Таким образом, мы получим, перейдем к последовательности, такие $x_m$, что для неокотого $r < n$

$q_1^{(i)} = q_2^{(i)} = q_3^{(i)} = \dots = q_i$ при $i \leq r$ и $q_i \rightarrow \infty$.

Тогда число $a = \lim_{m \to \infty} x_m = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + \dots + \frac{1}{q_r}$ принимает оказывать нулем, если уже из последовательности $q_1^{(m)}$ мы сможем выбрать возрастающего.

С другой стороны, оченьindoно, что каждая точка $A_{n-1}$ действительно будет предельной точкой $A_n$.

Телерч читатель без труда докажет и свойства II, III, IV множества $A_n$. Разумеется, из V легко вывести и утверждение задачи (по индукции), и свойства I.

H. Васильев

Ф432. В стеклянном шаре имеется возможность сферической пузырек. Необходимо найти способ измерения диаметра эмного пузырька. Шар должен остаться целым. Способ должны быть описаны как можно менее.

Рис. 8.

Прежде всего выясним, на каком диаметре шар находится центр возушного пузырька. Для этого положим шар на горизонтальной поверхности и подождем, пока прекратятся его качания. В положении устойчивого равновесия шар центр пузырька лежит на вертикальном диаметре, выше центра шара (рис. 8).

Затем найдем положение центра тяжесте шара с пузырьком. Поместим шар на наклонную плоскость и будем медленно увеличивать угол наклона плоскости к горизонту. При этом шар будет поворачивать вокруг горизонтальной оси, проходящей через его геометрический центр, так, чтобы в любой момент центр тяжесте шара находился на вертикали, проходящей через точку касания шара с плоскостью. Шар начинает скатывать (при достаточно большом коэффициенте треня скольжения между шаром и плоскостью), когда центр тяжесте самого правое из всех возможных его положений (рис. 9). Это позволяет определить положение центра тяжесте шара с возушным пузырьком: он отстoit от геометрического центра шара на расстояние

$$l = R \sin \alpha,$$

где $R$ — радиус шара, $\alpha$ — угол наклона плоскости к горизонту, при котором шар начинает скатывать.

Телерч займется непредеделенно определением размеров пузырька и его положения внутри стеклянного шара. Предположим, что мы заполнили плоскость стеклом, из которой

39

рого изготовлен шар. Центр тяжелости переместителя в геометрической центр шара. Это означает, что

$$\frac{4}{3} \pi r^3 \rho a = \frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho l.$$

Здесь $r$ — радиус воздушного пузырька (полости), $\rho$ — плотность стекла, $a$ — расстояние от центра пузырька до центра шара (рис. 10). Возвес шар в воздухе и в воде (с известной плотностью $\rho_0$), можно записать еще два уравнения:

$$\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho |\vec{g}| = P_1,$$

$$\frac{4}{3} \pi (R^3 - r^3) \rho |\vec{g}| - \frac{4}{3} \pi R^3 \rho_0 |\vec{g}| = P_2.$$

Решив систему трех уравнений с третья неизвестными, найдем радиус пузырька $r$ и его положение $a$.

Возможен другой способ измерения $r$ — оптический. Достаточно помещить шар в жидкость с показателем преломления, равным показателю преломления стекла, чтобы шар в этой жидкости стал невидимым. Расматривая ход лучей, например, от точного источника, можно найти $r$ (проверьте это самостояльно).

Можно, конечно, предложить и много других способов. Поэтому мы обязаательно еще раз вернемся к этой задаче, когда ознакомимся со всеми письмами наших читателей.

Ф433. Две одинаковые плосковыпуклы линзы с фокусным расстоянием $F = 20$ см какждая расположены на расстоянии $l = 30$ см друже от друга. Оптические оси линз совпадают, линзы обращены друг к другу плоскими сторонами. Где будем находиться изображение источника, нахождение на расстоянии $d = 40$ см от левой линзы, если просматривать между линзами заполнить стеклом с показателем преломления максим же, как у линз?

Обозначим через $f$ расстояние от левой линзы до изображения источника, которое образуется при преломлении на выпуклой сферической поверхности левой линзы. Это расстояние связывано с расстоянием $d$ от источника до левой линзы соответствием

$$\frac{1}{d} + \frac{n}{f} = (n - 1) \frac{1}{R},$$

где $n$ — показатель преломления стекла, $R$ — радиус сферического поверхности линзы.

Аналогичное равенство можно записать для преломления на выпуклой поверхности правой линзы:

$$\frac{n}{d'} + \frac{1}{f'} = (n - 1) \frac{1}{R}.$$

Здесь $d^1 = l - f$ — расстояние от первого изображения, которое является «источником» для второго изображения, до правой линзы, а $f'$ — искомое расстояние от правой линзы до изображения, даваемого системе. Кроме того, для каждой линзы в отдельности выполняется соответствие

$$(n - 1) \frac{1}{R} = \frac{1}{F}.$$

Решая все три уравнения совместно, найдем $f'$:

$$f' = \frac{F \left[ l (d - F) - ndF \right]}{(d - F) (l - nF) - ndF}.$$

Полагая $n = 1,5$, получим $f' = 10$ см.

Ф434. Какое количество менломы выделяется на сопротивлении $R$ при установлении равновесия после замывания ключа $K$ (рис. 11), если конденсатор был предвариanted заряжен до разности помен-

41

Колебаний муфты не будет, если при смешении муфты из положения равновесия ее ускорение $\vec{a}$ относительно стержня окажется направлением от оси вращения, то есть

$$\frac{2k}{m} - \omega^2 < 0,$$

или $\omega > \sqrt{\frac{2k}{m}} = 10$ рад/c.

Ф436. Плотность $\rho$ газа, состоящего из смеси zeilия и аргона, при давлении $p = 152$ кН/$m^2$ и температуре $T = 300$ К равна 2,0 кк/м³. Сколько атомов zeilия содержится в 1 см³ газовой смеси?

Для того чтобы найти число молекул (атомов) гелия $N_1$ в объеме $V = 10^{-6}$ м³, надо определить относение массы гелия $m_1$ к его молярной массе $\mu_1 = 4 \cdot 10^{-3}$ кг/mоль:

$$N_1 = \frac{m_1}{\mu_1} N_A.$$

(1)

Запишем уравнения газового состояния для гелия и аргона:

$$p_1 V = \frac{m_1}{\mu_1} RT, \quad p_2 V = \frac{m_2}{\mu_2} RT$$

($p_1$ — давление гелия, $p_2$ — давление аргона, $m_2$ — масса аргона, $\mu_2 = 40 \cdot 10^{-3}$ кг/mоль — его молярная масса). Согласно закону Дальтона давление смеси газов $p = p_1 + p_2$, то есть

$$p = \left( \frac{m_1}{\mu_1} + \frac{m_2}{\mu_2} \right) \frac{RT}{V}.$$

(2)

Плотность $\rho$ смеси равна сумме плотностей гелия и аргона:

$$\rho = \rho_1 + \rho_2 = \frac{m_1}{V} + \frac{m_2}{V}.$$

(3)

Из равенств (2) и (3) найдем относение $\frac{m_1}{\mu_1}$, подставим его в выражение (1) и получим

$$N_1 = N_A V \frac{\rho \mu_2 - \rho RT}{RT (\mu_2 - \mu_1)} \approx 4 \cdot 10^{15} \text{ m}^{-3} = 4 \cdot 10^9 \text{ cm}^{-3}.$$

Ф437. Проволочная рамка, имеющая форму треугольника с углом $\alpha = 30^\circ$, помещена в вертикальной плоскости马克, как показано на рисунке 14. По проводке мощ без треня скользывание druze с друzem нитью два грузика с массами $m_1 = 0,1$ кк и $m_2 = 0,3$ кк. Чему равно намяжение нитии и угол $\beta$ в положении равновесия грузиков?

Является ли это равновесие устойчивым?

На рисунке 14 показаны все силы, действующие на грузики. Силы $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ натяжения нитя равны по абсциссной внешне и противоположно направлены: $\vec{T}_1 = -\vec{T}_2$ и $|\vec{T}_1| = |\vec{T}_2| = T$. Силы реакции $\vec{N}_1$ и $\vec{N}_2$ перpendикулярны к сторонам рамки и, следовательно, образуют друг с другом угол $90^\circ$. Силы тяжестеки $m_1\vec{g}$ и $m_2\vec{g}$, как всегда, направлены вертикально.

Так как система из связанных нитю грузов находится в равновесии, то

$$\vec{N}_1 + \vec{N}_2 + \vec{T}_1 + \vec{T}_2 + m_1\vec{g} + m_2\vec{g} = 0,$$

или

$$\vec{N}_1 + \vec{N}_2 + m_1\vec{g} + m_2\vec{g} = 0.$$

Это означает, что векторы $\vec{N}_1, \vec{N}_2$ и $m_1\vec{g} + m_2\vec{g}$ образуют треугольник (рис. 15), причем этот треугольник прямойный: $\widehat{BAC} = 90^\circ$. В равновесии находится из грузков. Следовательно,

$$m_1\vec{g} + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = 0, \quad \vec{N}_2 + m_2\vec{g} + \vec{T}_2 = 0.$$

42

Из этих равенств следует, что вектор $\vec{T}_1$ соединяет вершину $A$ треугольника $ABC$ с точкой $E$, а вектор $\vec{T}_2$ — точку $E$ с точкой $A$.

В треугольнике $AEC$ $\widehat{ACE} = \alpha$ и $\widehat{CAE} = 90^\circ - \beta$, а в треугольнике $ABE$ $\widehat{ABE} = 90^\circ - \alpha$ и $\widehat{BAE} = \beta$. Согласно теореме синусов

$$\frac{T}{\sin \alpha} = \frac{m_1 |\vec{g}|}{\sin (90^\circ - \beta)} = \frac{m_1 |\vec{g}|}{\cos \beta}, \quad \frac{m_2 |\vec{g}|}{\sin \beta} = \frac{T}{\sin (90^\circ - \alpha)} = \frac{T}{\cos \alpha}.$$

Решая эти уравнения совместно, найдем

$$tg \beta = \frac{m_2}{m_1} \text{ctg} \alpha = 3\sqrt{3}, \quad \beta \approx 79^\circ;$$

$$T = m_1 |\vec{g}| \frac{\sin \alpha}{\cos \beta} \approx 2.7 \text{ H.}$$

Теперь выясним, является ли найденное положение равновесия устойчивым. Положение равновесия устойчиво, если потенциальная энергия системы в этом положении минимальная, то есть центр тяжести системы грузов находится в нанизшем положении. Для того чтобы выяснить, выполняется ли это условие, найдем координату центра тяжести системы.

Обозначим длину стороны $DK$ проволочного треугольника (рис. 16) через $a$, а длину нити — через $l$. Центр тяжести системы (точка $O$) делит длину нити в отношении $\frac{m_2}{m_1}$.

Следовательно, он находится на расстоянии $b = \frac{m_2}{m_1 + m_2} l$ от левого грузника. Из рисунка 16 видно, что $y_0 = (a - l \cos \beta) \sin \alpha - b \sin (\beta - \alpha) = a \sin \alpha - l (\cos \beta \sin \alpha) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin (\beta - \alpha))$.

Это выражение минимально, когда максимальное выражение

$$y_1 = \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin (\beta - \alpha).$$

Преобразуем выражение (*):

$$y_1 = \cos \beta \sin \alpha + \frac{m_2}{m_1 + m_2} (\sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha) = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \sin \beta \cos \alpha + \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cos \beta \sin \alpha = \sin (\beta + \varphi),$$

где $\sin \varphi = \frac{m_1}{m_1 + m_2} \sin \alpha$, $\cos \varphi = \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cos \alpha$ и $tg \varphi = \frac{m_1}{m_2} \text{tg} \alpha$.

Очевидно, что выражение (*) максимальное при

$$\beta + \varphi = \frac{\pi}{2},$$ или $tg \beta = \text{ctg} \varphi = \frac{m_2}{m_1} \text{ctg} \alpha$.

Следовательно, найденное положение равновесия устойчиво. Тот, кто имеет дифференцировать, мог бы это значение $\beta$ из условия экстремума (максимума) выражения (*).

И. Словодечкий