Нефроида

43

Нефроид

Нефроид можно определить как траекторию фиксированной точки подвижной окружности $(O_1, r)$, которая связана с кругах в окружности $L$ и имеет с $l$ общую точку; 6) в каждой точке касательная $y_l$ и у соответствующей кривой из $L$ — общая. В частности, если $L$ — семейство прямых, то каждая из них должна касаться огибающей в некоторой ее точке. На чертеж часто огибающая не наносится, но, тем не менее, в днём, если кривысные $L$ нарисовано «много». Именно так представлен нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейство окружности. Что такое нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейство окружности. Что такое нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейство окружности.

Укажем некоторые свойства нефроид и используем их для другого ее построения. Пусть $RN$ — диаметр окружности $(O_1, r)$ и $T=(MR)\cap(O, 2r)$. Пусть, далее, $U=(OT)\cap(MN)$. Можно доказать, что $UN$ — касательная к нефроиде в точке $M$ (см., например, построение касательной к делютиде в «Кванте», 1977, № 3).

Треугольники $O_1MR$ и $ROT$ — равноведенные. Значит, $O_1MR=O_1RM=O_{RT}=O_{TR}$. Поэтому $UT||MO_1$. Треугольники $MO_1N$ и $UON$ подобны. Следовательно, треугольник $UON$ равноведенный и $|UO|=4r$. $UMT$ — прямогольный треугольник. Описем около него «синюю» окружность $(O_2, 3r)$. Тогда $MT=2\varphi.3r=3\varphi.2r=M_0T$. На этом основан второй способ построения нефроиды: катим по неодвижному кругу $(O, 2r)$ окружность $(O_2, 3r)$, касающийся его так, как показано на рисунке 1. Нефроид описывает точка $M\epsilon(O_2, 3r)$.

Для дальнейшего введем понятие «огибающая семейства кривых $L$». Оценя́

байошая — непрерывная кривая $l$ такая, что: а) каждая ее точка принадлежит одной из кривых семейства $L$ и, обратно, каждая из кривых в $L$ имеет с $l$ общую точку; 6) в каждой точке касательная $y_l$ и у соответствующей кривой из $L$ — общая. В частности, если $L$ — семейство прямых, то каждая из них должна касаться огибающей в некоторой ее точке. На чертеж часто огибающая не наносится, но, тем не менее, в днём, если кривысные $L$ нарисовано «много». Именно так представлен нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейства окружности. Что такое нефроид на второй странице обложки — как огибающая семейства окружности.

Чирнгауз, о котором говорилось в подписи к второй странице обложки, изучал главным образом «оптичские» кривые, среди которых видно место занимали камакayстики. Катакустика данной кривой — это огибающая отрезких от нее лучей света. Пусть $CP$ — один из таких параллельных лучей, идиших, например, от Солнца. Если $CP$ попадает на вогнутую «синюю» цилиндрическую поверхность (рис. 2), то он отракается от нее под углом $\theta$, равным углу падения. Расстоярим окружности

$(O, \frac{|OP|}{2})$ и $(O_1, \frac{|OP|}{4})$ (рис. 2).

Тогда $CPO=POX=OPQ=\theta$. Ясно, что $OO_1M=2\theta$ и точка $M$ может быть получена проектированием окружности $(O_1, \frac{|OP|}{4})$ во круг $(O, \frac{|OP|}{2})$ на угол $2\theta$ из положения $M_0$. Следовательно, луч света $PQ$ действительно касается нефроиды в точке $M$.

Пользовку нефроиды при ярком солнечее можно ввидеть утром над чашкой кофе. Нефроид может быть также получена как огибающая следующую семейства прямых. Расстоярим с центром в $O$ и два ее взаимно перpendicularных диаметра $Ox$ и $Oy$. Выберем произвольно на диаметре $Oy$ точку $B$ и сделаем с помощью окружности $(B, |BO|)$ засечку $A$ на исходной окружности. Проведем для всевозможных точек $B$ через точки $B$ и $A$ прямые $BA$. Огибающая семейства этих прямых — нефроид. Докажите это.