Числа и многочлены

17

С. Ашманов

Числа и многочлены

В этой статье мы рассскажем о том, каким образом в математике переплесшь комплексные числа и многочлены.

Когда чисел не хватает

Числа бывают разные: положительные и отрицательные, рациональные и irrationalные, алгебраические и transcendentные. История появления каждого нового класса чисел весна почительна и даже драматична.

Такой прививчий для нас объekt, как отрицательные числа, являлся предметом дискусий в течение столией. О них знали в древности в Индии, Китае и Вавилоне, однako споры о природа отрицательных чисел, о их праве на существование велись еще во времена Ньютона в конце XVII века.

Поводом для введения отрицательных чисел явилось, по-видимому, железная решать уравнение вида $x+a=b$ для любых положительных чисел $a$ и $b$.

Введение рациональных чисел должно возникнуть решать уравнение вида $ax=b$, где $a$ и $b$ — целые числа ($a \neq 0$).

После того как в Древней Греции была доказана и рациональноесть числа $\sqrt{2}$, то есть невозможность решить уравнение $x^2=2$, имея в своей распоряжении только рациональные числа, человекаство вновь столкнулось с необходимостью расширить свой числовой запас.

Расширить множество рациональных чисел так, чтобы уравнение $x^2=2$ в новом, более широком, множество имелю корень, можно не только так, как это делается в учебнике, но и следующим образом:

Введем символь $j$ и положим $j^2=2$. Будем рассматривать выражения вида $a+bj$, где $a$ и $b$ — произвольные рациональные числа.

Сформируем правила действия над нашими кандидатами в новые числа:

$$(a_1+b_1j) + (a_2+b_2j) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)j;$$

$$(a_1+b_1j) (a_2+b_2j) = (a_1a_2+2b_1b_2) + (a_1b_2+a_2b_1)j.$$

19

Еслы добавить i

Попробуем подобно тому, как мы поступили с полем рациональных чисел и уравнения $x^2=2$, расширить поле R действительных чисел, присоединив к нему «корень» уравнения $x^2+1=0$.

Пусть $i$ — символ, единственный свойством которого является то, что он — корень уравнения $x^2+1=0$; то есть $i^2=-1$.

Рассмотрим выражения вида $a+bi$, где $a$ и $b$ — произвольные действительные числа; назовем их комплексыми числами. Введем правила действия над комплексыми числами:

$$\begin{align*} (a_1+b_1i) + (a_2+b_2i) &= (a_1+a_2) + (b_1+b_2)i; \\ (a_1+b_1i) (a_2+b_2i) &= (a_1a_2-a_1b_2) + (b_1b_2+a_2b_1i). \end{align*}$$

Читатель без труда докажет, что множество комплексы чисел с так определенными сложением и умножением является полем.

Легко проверить, что комплексы числа вида $a+0i$ ведут себя так же, как действительные числа. Поэтому действительное число $a$ и комплекское число $a+0i$ можно отождествить друг с другом. Значит, можно считать, что мы действительное расширили поле действительных чисел до поля комплексы чисел. В этом более широком поле уравнения $x^2+1=0$ имеет корень: $i^2+1=0$ (и даже два корня: $(-i)^2+1=0)$.

Но чего мы добавлись? Только того, что уравнение $x^2+1=0$ прибрело корни? Оказывается, мы добавлись города больше. Имеет место заменательная

Основная теорема алгебры

Любой многочлен $P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1x + a_0$ ненулевой степени имеет в многочете комплексы чисел хотя бы один корень (которые, конечно, может быть и действительным числом).

Первую попытку доказательства этой теоремы предприял Даламбер в 1746 году. Строое же доказательство привел Гаусс в 1799 году.

Оказывается, основная теорема алгебры верна не только для многочленов

сложение: 1. коммутативно, 2. ассоциативно, 3. существует ноль, 4. для каждого элемента из M существует противоположный;

умножение: 5. коммутативно, 6. ассоциативно, 7. существует единица, 8. для каждого ненулевого элемента из M существует обратный, 9. дистрибутивно по отношению к сложению.

с действительными коэффициентами, но и для многочленов с комплексыми коэффициентами (или, как принято говорить, для многочленов над полем комплексы чисел).

Основная теорема алгебры позволяет дать изящный ответ на вопрос, сколько корней имеет произвольный многочлен $n$-й степени, если рассматривать многочлены над полем комплексы чисел.

Чтобы формулировать этот ответ, нам понадобится понятие «кратности» (корня многочлена), а это понятие определяется через понятие «один многочлен делится на другой». Говорят, что многочлен $P_1(x)$ делится на многочлен $P_2(x)$, если существует такой многочлен $q(x)$, что $P_1(x) = q(x) \cdot P_2(x)$.

Поняття «делится» и «корень» теорема 1. Число а тоеда и только тоеда является корнем многочлена $P(x)$, корда $P(x)$ делится на $x$-а.

Теорему 1 нетрудно доказать самостояльно. (У казан и е. Делите «уголком».).

Может служить, что многочлен $P(x)$ степени $n$ будет делиться не только на $x$-а, то и на некоторую степень $x$-а. В соответствии с этим условиями а называется $k$-кратным корнем многочлена $P(x)$, если $P(x)$ делится на $(x-a)^k$, но не делится на $(x-a)^{k+1}$. (Например, число 1 является двукратным корнем многочлена

$$P(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3 = (x-1)^2(x+3).$$

Телер легко может быть доказано

Теорема 2. Всякий многочлен $P(x)$ степени $n$ (с действительными или комплексыми коэффициентами) имеет в поле комплексы чиселровно $n$ корней (среди которых, разумеется, могут быть и действительные числа), если каждый корень считать только раз, какова его кратность.

Доказательство. По основной теореме алгебры многочлен $P(x)$ имеет в поле комплексы чиселровно $n$ корней. Допустим, что $a_1$ есть корень многочлена $P(x)$. По теореме 1 $P(x) = (x-a_1)q(x)$, где $q(x)$ — многочлен степени $n-1$. (Далее коэффициенты многочлена $P(x)$ — действительные числа, многочлен $q(x)$ будет, если $a_1$ — комплекский корень, имеет комплексы коэффициенты.)

Приименим далее то же рассужждение к многочлену $q(x)$. По основной теореме алгебры существует корень $a_2$ многочлена $q(x)$, так что $q(x) = (x-a_2)h(x)$, где $h(x)$ — многочлен, степени которого уже $n-2$. Повторяя это рассужение $n-1$ раз (применяя, конечно, при

20

строгом изложении прицил математической индукции), мы, в конце концов, придем к разложению

$$P(x) = a_n (x - a_1) (x - a_2) \dots (x - a_n),$$

где $a_n$ — коэффициент при старшей степени $x^n$ многочлена $P(x)$.

Из тождества (*) следует не только то, что комплексные числа $a_1, a_2, \dots, a_n$ (средние них могут быть и равны!) являются корнями многочлена $P(x)$, но и то, что иных корней этот многочлен не имеет. В самом деле, если число $\beta$ — многочлен многочлена $P(x)$, то

$$P(\beta) = a_n (\beta - a_1) (\beta - a_2) \dots (\beta - a_n).$$

Но произведение комплексных чисел равно нулю в том и только в том случае, когда один из компонентей равен нулю (доказательное это). Поэтому один из компонентей равен нулю, то есть $\beta = a_i$. Это завершает доказательство теоремы 2.

По мере развития науки стало ясно, что без комплексных чисел нельзя обойтись в самых что ни на есть «действительных» делах. Когда появились самолеты, потребовались теория обтекания крыла самолета потоком воздуха. Выяснились, что самым естественным языком описания подобного процесса, т. е. языком аэродинамики, является теория функций комплексного переменного! Поэтому, когда вы видите современный авиалайнер, знайте, что его сделали гейн конструкторов, инженеров, рабочих и… комплексные числа. То же можно сказать и о науке об обтекании судна водой — гидродинамике. Знаете такжекую игрушку — Ванька-вставка? Положишь Ваньку спать, а он тут же вскочит — у него само устойчивое положение, когда он стоит. Подобными вопросами для города более сложных механических, электрических и других систем занимается математическая теория устойчивости. И вовь оказалась, что ответ на то, является ли система устойчивой, кроется в свойствах комплексных чисел, являющихся корнями некоторого многочлена, характеризующего рассматриваемого системы.

Современный самолет и Ванька-вставка — такое диапазон действия комплексных чисел. Мы привели только несколько области их применения, поскольку все перечисленные невозможно. Вот тебе и минимые числа!

Мы расскажем сейчас для примера, как комплексные числа помогли ответить на некоторые важные вопросы относительно многочленов с действительными коэффициентами.

Многочлены, похожие на простые числа

Рассмотрим множество всех многочленов произвольной степени от переменной $x$. Вы имеете складывать и переменные элементы этого многочлена, то есть многочлены, умете разлагаять их на многочлены.

Это очень похожие на то, что вы умете делать с натуральными числами. Натуральные числа вы еще умете разлагаять на простые многочлены. Вы, наверное, знаете, что это можно сделать в всегда и притоме единственным образом.

Роль простых чисел в теории многочленов играют так называемые неприводимые многочлены. Говорят, что многочлен $P(x)$ степени $n > 0$ неприводим, если он не делится ни на какой многочлен степени $0 < s < n$.

Аналог утверждения о разложении любого натурального числа в произведение простых многочленей звучит так:

Теорема 3. Всякий многочлен неулевой степени разладает в произведение неприводимых многочленов:

$$P(x) = P_1(x)P_2(x) \dots P_m(x),$$

и это разложение является единством do порядка и многочленей нулевой степени*).

Доказывая теорему 2, мы получили, что всякий многочлен $P(x)$ степени $n$ раскладывается над полем комплексных чисел в произведение линейных (т. е. первой степени) неприводимой (*)).

Таким образом, над полем комплексных чисел неулевой степени неулевой степени.

А какие многочлены неулевыми над полем действительных чисел? Ответить на этот вопрос нам помогут, как ни страна, комплексные числа.

Пусть $z = a + bi$ — произвольное комплексное число. Наозем комплексе число $z = a - bi$ сопряженным к числу $z$.

Нам понадобится теорема 4. Если $z$ — корень многочлена $P(x)$ с действительным коэффициентами, то $u$ $z$ — его корень.

Для доказательства отметим следующие свойства операции взятяя сопряженного числа $z$:

1. Число $z$, сопряженное к сопряжению числу $z$, совпадает с исходным комплексным числом $z$.
2. Число $z$ равно смещению числу $z$, тогда и только тогда, когда $z$ является действительным числом.
3. Сопряженное к сумме комплексных чисел, сопряженных к слагаемым:

$$z_1 + z_2 = z_1 + z_2.$$

4. Число, сопряженное к произведению, равно произведению сопряженных к комплексным:

$$z_1 \cdot z_2 = z_1 \cdot z_2.$$

*) Доказательство теоремы 3 см., например, в «Кванте», 1976, № 8, c. 15.

21

С помощью метода математической индукции можно показать, что правило 3 и 4 распространяются на сумму и произведение более чем двух чисел:

$$\frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_m}{z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_m} = \frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_m}{z_1 \cdot z_2 \cdot \ldots \cdot z_m}$$

в частности, $\bar{z}^m = (\bar{z})^m$.

5. Произведение многочленов $x - z$ и $x - \bar{z}$ является многочленом с действительными коэффициентами:

$$(x - z)(x - \bar{z}) = x^2 - 2ax + (a^2 + b^2).$$

Доказательство теоремы 4. Пусть

$$P(x) = a_n x^n + a_n \frac{1}{x^{n-1}} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,$$

где $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1, a_0$ — действительные числа, $z$ — корень этого многочлена. Тогда

$$0 = P(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0.$$

Воспользовемся свойством операции сопряжения:

$$0 = \bar{P}(z) = \frac{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0}{a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \ldots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0} = P(\bar{z}).$$

Теорема 4 доказана.

Из теоремы 4 легко следует

Теорема 5. Многочлен с действительными коэффициентами имеет четное число не действительных корней.

В самом деле, по теореме 4 не действительные корни многочлена с действительными коэффициентами «ходят парами»: $(z; \bar{z})$.

Из теоремы 5 немедленно вытекает

Теорема 6. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.

По основной теореме алгебры этот многочлен имеет нечетное число корней (равное его степени), следовательно, по теореме 5, они не могут быть все не действительных корень.

С помощью компплексных чисел мы доказали в полне «действительное» теорему. Но гораздо более важным и интересным является следующий факт:

Теорема 7. Любой многочлен с действительными коэффициентами, степень которого больше двух, приводим на полем действительных чисел.

Доказательство. Если у многочлена $P(x)$ имеет действительный корень $a$, то $P(x) = q(x) \cdot (x - a)$. Из придуманного вам доказательства теоремы 1 видно, что $q(x)$ — многочлен с действительными коэффициентами. Следовательно, в этом случае $P(x)$ есть приведение двух многочленов с действительными коэффициентами, то есть $P(x)$ приводим на полем действительных чисел.

Пусть теперь все корни $z_1, z_2, \ldots, z_m$ многочлена $P(x)$ — не действительные. По теореме 6 $n$ — четное и

$$P(x) = a_n (x - z_1) (x - z_2) \ldots (x - z_n).$$

Разобъем корни $z_1, \ldots, z_n$ на сопряженные пары вида $(z_i; \bar{z}_i)$ и запишем $P(x)$ так:

$$P(x) = a_n (x - z_1) (x - \bar{z}_1) (x - z_2) (x - \bar{z}_2) \times \ldots \times (x - z_k) (x - \bar{z}_k);$$

здесь $k = \frac{n}{2}$.

Какждый многочлен $P_i(x) = (x - z_i) \times (x - \bar{z}_i)$, $i = 1, 2, \ldots, k$, имеет как мы видели, действительные коэффициенты. Следовательно, многочлен $P(x) = a_n P_1(x) P_2(x) \ldots P_k(x)$ приводим на полем действительных чисел — ведь в этом произведение не менее двух сомножителей (из $n > 2$ следует $k > 1$).

Поэтому окончательный вывод о непроведимости многочленов над полем действительных чисел таков:

Теорема 8. Над полем действительных чисел непроведимы являются лишь многочлены первого степени и многочлены второго степени с отрицательным дискриximантом.

Следствие. Любой многочлен с действительными коэффициентами разложим в произведение многочленов первого и второго степени с действительными коэффициентами.

О чем мы еще не расссказали? О том, какую роль сыграли многочлены в решении знаменательных задач деревности — задач о трисекции угла, квадратype кругга и удвоения куба. О том, как юным Нильсом Абелем было доказано, что формул для нахождения корней многочленов степени вышечетверой не существует; как еще более юный Эварист Галya полностью решил проблему о решении уравнения в радиках. Накоонец, мы ведь еще не доказали основную теорему алгебры…

Нет, автор должен признаться, что взялся за непосильную задачу; он в изнеможении откладавaitе перо и просит читателя не быть слишком взыскательным.