Как найти целый корень?

22

3. Керимов

Как найти целый корень?

Пусть нам надо решить уравнение
$$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_{n-1}x + a_n = 0.$$ (1)

Если $n = 1$ или $n = 2$, мы это умеем — в школьных учебниках есть формулы. Если $n = 3$ или $n = 4$, то же существует формулы («Квант», 1976, № 9), правда, довольно громоздкие. Если же $n > 4$, то таких формул просто не существует — не «не найdeno», а доказано, что не существует («Квант», 1976, № 5, с. 6). Как же быть? Как находится корни уравнения «высших степеней»?

Для отыскания целых корней уравнения с целыми коэффициентами*) можно воспользоваться следующим достаточно условием: если $l$ — целый корень уравнения (1) с целыми коэффициентами, то $l$ является делителем свободного целена $a_n$.

В самом деле, если $l$ — корень уравнения (1), то
$$a_n = l(-a_0l^{n-1}-a_1l^{n-2}-\dots-a_{n-1}).$$ (2)

Если $l \in \mathbb{Z}$ и коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$, $a_n$ — тоже целые числа, то $-a_0l^{n-1}-a_1l^{n-2}-\dots-a_{n-1} \in \mathbb{Z}$ и (2) означает, что $a_n$ делится на $l^{**}$).

Таким образом, если мы рассмотрим все — положительные и отрицательные! — делители числа $a_n$ и каждый из них проверим, не является ли он корнем, мы найдем (если они есть!) все целые корни.

*) Впрочем, уравнение с рациональными коэффициентами легко заменяется равносным уравнению с целыми коэффициентами. Как?

**) Понятия «делитель», «делится» определяются для целых чисел.

Пример 1. У свободного члена уравнения
$$3x^3+5x^2+x-46=0$$ (3)

следующие делители: ±1, ±2, ±23, ±46. Проверив «маленькие» делители (±1, ±2), мы увидим, что 2 является корнем уравнения (3). Дальше можно было бы проверять «большие» делители (впрочем, для данного конкретного уравнения легко увидеть, не вычисляя до конца, что ни одно из чисел ±23, ±46 корнем не является), но проще, как говоря, понизить степень уравнения, воспользовавшись легкой доказываемым утверждением: число $l$ тогда и только тогда является корнем многочлена $f(x)$, когда $f(x)$ делится на $x-l^*$): Поскольку 2 является корнем уравнения (3), многочлен $3x^3+5x^2+x-46$ делится на $x-2$. Найдем частное.

$$\frac{3x^3+5x^2+x-46}{3x^3-6x^2} = \frac{x-2}{3x^2+11x+23}$$

Итак, $3x^3+5x^2+x-46 = (x-2)(3x^2+11x+23)$. Значит, вместе кубичеко уравнения (3) мы можем решать теперь квадратное уравнение $3x^2+11x+23 = 0$. Это последнее уравнение корней (действительных) не имеет. Значит, уравнение (3) имеет один корень 2.

Пример 2. У свободного члена уравнения
$$x^4-17x^3+77x^2-85x+360=0$$ (4)

очень много делителей: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±8, ±9, ±10, ±12, ±15, ±18, ±20, ±24, ±30, ±36, ±40, ±45, ±60, ±72, ±90, ±120, ±180, ±360. Подставлять их все в левую часть уравнения — не очень благодарный труд. Правда, сразу видно, что у данного уравнения не может быть отрицательным корней, но остатся еще 24 делителя.

Воспользовемся следующим обобщением с формулированного выше утверждения о целых корнях: если $l$ — целый корень уравнения (1) с целыми коэффициентами, то для любого $m \in \mathbb{Z}$ разность $m-l$ является делителем числа $f(m)$ (здесь через $f(x)$ обозначен много-

*) См. статью С. Ашманова «Числа и многочлены», с. 17.