Производные пропорции

44

А. Бендукидзе, А. Савин

Производные пропорции

— Здравствуй, Ира!
— А, это ты, Витя! Заходи, садись.
— Как твоя ангина?
— Врач говорит, что в понедельник уже можно идти в школе. А что новенького в классе?
— Сегодня смеху было! Наталья Николаевна вызвала к доске Сережу Казакова. Уже не помню, какую он решал задачу, но по ходу дела ему нужно было сложить $2/3$ и $5/4$. Он взял и сложил числитель с числителем, а знаменатель со знаменателем, — получил в результате $7/7$, то есть единицу. А Наталья Николаевна и говорит: «Дай-ка, Сережа, дневник, я эту единицу поставлю туда тебе на память».
— Постой-ка, Витя, а это же любопытно!
— Это точно! Единицу у нас давно уже никто не получал.
— Да я не про то. Смотри, одна дробь была меньше единицы, а вторая больше, а в результате получилась единица. Подай, пожалуйста, со стола тетрадку и ручку! Спасибо. А ну-ка, возьмите $2/3$ и $2/5$. Так… Складываем числители, потом знаменатели…
— Тебе лавры Казакова не дают покоя?
— Обожди, мы получаем $4/8$, то есть $2/4$, то есть $1/2$. Ага! $1/2$ больше, чем $2/5$, но меньше, чем $2/3$. Ура! Витя, я придумала новую теорему: если у двух дробей сложить числители, а потом знаменатели, то получится дробь, которая больше меньше дроби, но меньше большешей.
— Постой, а откуда ты знаешь, что это верно?
— А я еще не знаю, я чувствую, что это так.
— Давай проверим. Если две дроби равны, то такое «сложение» по твоей теореме должно давать равную им дробь. Возьмем $2/3$ и $4/6$. Так… Получаем $6/9$, то есть снова $2/3$.
— А зачем быть частный случай? Возьмем несократимую дробь $a/b$.
— Почему несократимую?
— Хорошо, я умножу числитель и знаменатель на какое-нибудь число $n$. Тепер возьму другую, равную ей дробь. Для этого умножу числитель и знаменатель на число $m$. Получим

$$\frac{na}{nb} \quad \frac{ma}{mb}.$$

Сложим числители и знаменатели, разделим. Получилось

$$\frac{na+ma}{nb+mb}.$$