Вверх по наклонной плоскости

24

Вверх по наклонной плоскости

Предлагаем вам проведение опыт, оценить старый и очень похожий на фокус.

Возьмите два одинаковых конуса, например из дерева, пластассы или металла (материал не имеет решительно никакого значения). Конусы могут быть сплошными или пустотельными, лишь бы они не были слишком легкими. Прочно соедините конусы основаниями (например, склейте), причем так, чтобы они конусов обязаательно совпадали. Для опыта вам понадобится также только старая книга и два одинаковых достагоно длиных стержня.

Положите книгу на стол, а стержни расположите так, чтобы они одними концами опирались на ребро книги, другими — на стол, причем в одном и том же месте. Короче говоря, стержни и ребро книги должны образовать своеобразную «наклонную плоскость» в форме равноведренного треугольника (рис. 1).

Тепер возьмите скрепленные конусы и положите их на стержни, при этом ось консов должно быть горизонтальной. Как только вы это сделаете, вы увидите, что конусы сами, без подталкивания, показятся по наклонной плоскости… не визз, а вверх, вопроси привычному опыту и здравому смыслу.

В чем же секрет этого фокуса? Чудес здесь, конечно, никаких нет. Проство оказывается, что при выполнении некоторых условий центры также конусов в процессе их «скатывания» вверх будет не подниматься, а опускаться. Именно сила тяжесте и является причиной такого, на первой взгляд, необъчного движения.

Какие же условия должны выполнаться? Расмотрим этот вопрос подробнее. Обозначим угол наклона плоскости к горизонту через α, угол между стержнями — через 2β и угол при вершине конусов — через 2γ (рис. 2). Пусть конусы перемещаются вверх по направляющим стержням из положения I в положение II, l₁ и l₂ — соответствующие расстояния между точками касания конусов со стержнями.

Из рисунка 2, а видно, что по отношению к точкам касания центр тяжесте конусов опускается (по вертикали) на величины

$$H = \frac{l_2 - l_1}{2} \text{tg} \gamma.$$

Сами же точки касания при этом естественно поднимаются, высота их поднятия равна (см. рис. 2, б)

$$h = |MN| \sin \alpha = \frac{l_2 - l_1}{2} \text{ctg} \beta \sin \alpha.$$

Тепер нетрудно сформировать условия «скатывания» конусов вверх по наклонной плоскости. Очевидно, что для этого должно выполнять требование H > h:

$$\frac{l_2 - l_1}{2} \text{tg} \gamma > \frac{l_2 - l_1}{2} \text{ctg} \beta \sin \alpha,$$

или

$$\sin \alpha < \text{tg} \beta \text{tg} \gamma,$$

Только в таком случае тяжесте конусов будет опускаться при движении конусов вверх по плоскости.

Если выполняется противоположное неравенство

$$\sin \alpha > \text{tg} \beta \text{tg} \gamma,$$

конусы будут по-настоящему скатывать с плоскости, то есть опускается вниз.

При условии

$$\sin \alpha = \text{tg} \beta \text{tg} \gamma$$

конусы будут находиться на наклонной