Из иностранного юмора

45

Теперь я вижу, что нужно сделать! В числитель вынесем множество $a$, а в знаменатель $b$. Запишем это:

$$\frac{a(n+m)}{b(n+m)}$$

Теперь можно сократить на $(n+m)$; видно, что получилась дробь, равная первоначальной.

Витя, а ведь это тоже прекрасная теорема! Послушай формулировку:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$$

А я думаю, что еще лучше ее формулировать так: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{na+mc}{nb+md}$$

В понедельник Ира и Витя показали Наталья Николаевне свое открытие.

Что же, молоды,— сказала Наталья Николаевна,— свойство которого вы открыли, конечно же, известно. Оно называется производной пропорцией. В дальнейшем оно может вам не раз приготовиться. И конечно же, следует написать о нем в нашу математическую стенгазету. Там же мы помещим и твою, Ира, теорему: $$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}, \quad \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$$. Ты верно угадала. Только докажи ее сама.

А от себя я добавлю еще несколько теорем на производные пропорции. Запиши, Витя. Первой теоремой пусть будет такая:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad \frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$$

Ну, Наталья Николаевна, это же совсем просто! Разделим почленно левую часть на $b$, а правую — на $d$, получим $$\frac{a}{b} + 1 = \frac{c}{d} + 1.$$ Но ведь дроби же равны, значит, прибавив по единице к обем части верного равенства, мы снова получим верное равенство.

Вторая будет последнее: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad \frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$$.

А вот тебе пропорция даже не с двумя, а с четырьмя произвольными числами: $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad u, n, m, p, r$$ — произвольные числа, то

$$\frac{na+mb}{pa+rb} = \frac{nc+md}{rc+rd}$$.

Наталья Николаевна,— сказала Ира,— а ведь предыдущие вашие теоремы являются частьми случаями этой. В первой теореме $n$, $m$ и $r$ равны единице, а $p$ — нулю, во второй $m$ равна единице, а остальные числа — единице. А в третьей $n$, $m$ и $p$ равны единице, а $r$ — минус единице. Стало быть, доказав эту теорему, я докажу и все остальные.

Нет,— протянул Витя,— лучше я попробую рассмотреть частьные случаи, а потом, глядились, и станет ясно, как доказывать теорему в общем виде, чем сразу ломать голову над трудной теоремой,— тем более, одну я уже доказал.

И вас, читатели, приглашаем подумать над теоремами, о которых шла здесь речь.

ИЗ ИНОСТРАННОГО ЮМОРА