33
Конческие сечения и задача Аполлония
В истории науки имя греческого геометра и астронома Аполлония Пергского в течение многих столетий учеными ставились чуть ли не в один ряд с именем Архимеда.
Когда живший в XVI веке алгебраист Ф. Виет нашел свое решение задачи Аполлония, он в восторге вскрыли: «Я Аполлоний Гальский!» (то есть французский). О задаче Аполлония из утвернной рукописи «О касани», знакомой нам только по комментариям его современников, уже рассказываюсь в «Кванте» (1971, № 8). Вот ее условия: построить окружность, касательную к теме других окружностей, произвольно расположенным на плоскости.
Аполлоний внес много нового и в теории кончесных сечений. Номиним, что кончесные сечения определяются как линей, представляющие собой сечения плоскостю поверхности конуса. Изввлияния этих линей — эллипс, гипербола и парабола — были придуманы им («Квант», 1975, № 1, 3, 4).
Однако сейчас более привычны другие определения этих линей. Эллипс — множество точек плоскости P, находящихся на таких расстояниях r1 и r2 от фокусов F1 ∈ P и F2 ∈ P, что |r2−r1| = 2a. Наконец, парабола — множество точек в плоскости P, находящихся на равных расстояниях от фокуса F ∈ P и от прямой (так называемой директрисы) d ∈ P.
Можно обойтись без конуса исовсем необязательно выходит в пространство, чтобы найти скрепляющий эти три так непохожих друг на другу кривых (эллипс замкнут, парабола состоит из одной «бесконечной ветви», гипербола — из двух) математическойEMENT.
Именно, рассмотрим на плоскости две пересекающие окружности *) ε1 и ε2 с центрами в точках F1 и F2. Оказывается, центры всевозможных окружностей, касающихся одной из окружностей ε1 ε2 внутриним образом, а другой — внешним, образуют некоютельно, пусты окружность с центром в F1 имеет радиус R1 (рис. 1), а окружность с центром в F2 — радиус R2. Пусть T1 и T2 — соответственно, точки касания этих окружностей с окружностью с центром M. Тогда ясно, что
Если же рассмотреть множество центров M окружностей, касающихся обеих окружностей ε и ε2 внешним образом (или обеих внутренних),
*) Они показаны желтым цветом на второй странице обложки.
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Ним образом), то это множество оказывается гиперболой. Проведем доказательство для точки M1 (рис. 2):
Доказите самостояльно, что точка M3 лежит на правой ветви той же гиперболы.
А в каких же случаях возникает парабола как семейство центров окружностей? Что бы ответить на этот вопрос, постараемся представить прямую как окружность бесконечного радиуса. Множество центров окружностей, касающихся прямой произвольного положения и неокторой окружности, есть парабола (рис. 3). Доказите это!
Приятое здесь представление кончесных сечений в виде семейства центров окружностей оказывется полезным, например, для решения приведенной выше задачи Аполлония. Действительно, центр окружности, касающийся критическим трех окружностей. Множество центров касающихся их окружностей — опять-tаки кончесное сечение. Центр окружности, касающейся трех данных, получим, таким образом, как пересечение двух кончесных сечений. Телер соединием центры искомых окружностей с центрами данных отрезками прямых и получаем в пересечении точки касания искомой окружности с данными третья.
Конечно, такое решение задачи Аполлония не могло бы удовлетворить древнегреческим геометров. Почему? Да потому, что не ясно, как построить точку пересечения двух кривых с помощью только линейки и циркуля. Паэтому так и радовался Ф. Виет, когда ему удалось найти решение задачи Аполлония, использующее только циркуля и линейку. А вы можете это сделать?
В. Березин