Ребусы

7

2. У f нет неподвижных точек. Возьмем любую точку A; пусть $A' = f(A)$; положим $\vec{a} = A'\vec{A}$. тогда точка A будет неподвижной точкой отображения $\vec{a}^\circ f$ и можно сслаться на уже разбранный первый случай. Получим (для некоторых прямой l и угла φ)

$$\vec{a}^\circ f = R_l^\phi$$

Приемя перемещение $(-\vec{a})$ к обеим частям этого равенства и пользову utfверждением 5°, получим

$$(-\vec{a}) \circ (\vec{a}^\circ f) = (-\vec{a}) \circ R_l^\phi$$

$$((-\vec{a}) \circ \vec{a})^\circ f = f = W_{l',e}^\phi$$

для некоторых $l'$ и $\vec{e} (l' \parallel l)$. Теорема доказана.

Чтобы сформировать аналогичную теорему о перемещениях, меняющих ориентацию, нам потребуется еще одно определение. Скользацей симметрией относительно плоскости π на вектор $\vec{a}$, где $\vec{a} \parallel \pi$, называется композиция $\vec{a}^\circ S_\pi (S_\pi - \text{симметрия относительно π})$.

Теорема 2. Всякое перемещение f пространства, меняющее ориентацию, является либо центральной симметрией, либо симметрией относительно плоскости, либо скользацей симметрией.

Я не буду доказать эту теорему — ограничись подсказкой. Есть два способа: 1) взять произвольную плоскость π, рассмотреть перемещение $S_\pi^\circ f$ и применить теорему 1; 2) рассудать в двух доказательства теоремы 1 (те же два случая, та же идея $A \rightarrow A' \rightarrow A''$).

Мы пришли к концу нашей раскaza: теперь, наконец, я могу вамсказать, какие бывают перемещения. Перемещения пространства бывают шести типов: паралельный перенос, поворот вокруг прямой, винтовое перемещение, центральная симметрия, симметрия относительно плоскости и скользацая симметрия.

Уражнения

1. Доказать, что любое перемещение пространства, сохраняющее ориентацию, является композицией двух поворотов около прямых.
2. Доказать, что любое перемещение пространства, сохраняющее ориентацию, является композицией четырех симметричных относительно плоскостей, но не является композицией никаких трех (и никаких пятей) симметричной относительно плоскостей.
3. Данны пять биссектрис пятей граней выпуклого пятигранного угла. Построить его ребра.
4. Данны: точка A, плоскость π, не содержащая A, и точка O∈π. Найти множество точки A’, симметричных всех возможных прямым l, проходящим через O и лежащим в π.
5. Может ли ограниченная фигура иметь два центра симметрии?
6. • Для данного четырехугранного выпуклого угла найти плоскый четырехугранный угол (то есть четырехугранный угол, все ребра которого лежат на гранах данного) с наиболее суммой плоских углов.

Ребусы

В этих ребах буквами зашифрованы неоторные цифры. В каждом примере одинаковым буквам соответствует одинаковые цифры, разным — разные (ни одно «слоо» не начинается с нуля). Расшифруйте эти ребуры.

1. • коран
   • кора
     кран
     нора
     ооннн
2. • смex
   • мим
     eeee

3. $\sqrt{\kappa_{\text{корен}}} = \tau \tau$

4. $\sqrt{\Delta_{\text{воййка}}} = \alpha \alpha$

5. $\times \phi_{\text{ми}}$
   aaa
   иии
   фуга

6. • маска
   • рампа
     актер
     тетр
7. • вопрос
   • вопрос
     тройка

8. $(\text{от})^\kappa \cdot (\text{ос}) = \kappa \text{уст}$

9. $(\text{вар})^\kappa = \text{сталевар}$

A. Лебедев