Олимпиада ОмПИ + МФТИ

58

Олимпида
ОмПИ+МФТИ

Среди задач второго типа были, например, такие:

Задача «Фольга». Если фольгу от объекта конфигурать неет на твердой поверхности, овсяная нотем все время в одном направлении, то она всегда закручивается вверх, настречу этому направлению. Почему?

Задача «Спичка». Как известно, на общную спичку мазит не дейстует. Но если спичку закжить и дать ей обусловиться, то сильный мазит ее притянет. Объясните это явление.

Задача «pV-диаграмма». Некоторые количество кислорода переводят из состояния 1 в состояние 2, как показано на рисунке (давление и объем указаны в относительной единицах). Что определяемого можно сказать об изменении параметров газа?

Все участники финала, в основном, успешно справились с предложенными задачами. Основные идеи решения были обсуждены в ходе физиологии и вывзели большой интерес не только участников, но и крителей. Надеемся, что некоторые ребята продолжили работу над задачи и после окончания Турнира.

По окончательным итогам первого места в Турнире заняла команда школа № 2 (капитан — А. Одинцов). Ей был вручен переходящий приз Турнира — магазин сопротивлением физической лаборатории известного русского физика Н. А. Умова с его авторфом. Второе место заняла команда школа № 57 (капитан — Д. Филиппов). Она получила второй, тоже переходящий, приз — стеклянного львенка Плюфа, сделанного искусными фановскими стеклодувами. Третье место завоевала команда школа № 179 (капитан — С. Шишков).

Заметим, что впервые Турнир юных физков проходил в прошлом, 1979 году. Тогда это был первый опыт. Нынешний Турнир отличался более широким составом его участников и значительно лучшей организацией. Это стало возможным благодаря помощи ФИАНа, Всесоюзного общества «Знание», комиссии по работе с молоджью АН СССР, учтелей физики, студентов физического факультета МГУ, студентов МФТИ и многимногих других.

В третьий раз ущшеся Омска и Омской области принимали участие в оптимизации по физике и математике, организованной совместными усилиями Московского физического института (МФТИ) и Омского политехнического института (ОмПИ). Эта оптимизация родилась из общего для обозначений институтов лозунга «Знакомство со студентом начиная с школе».

Соревнования школьников проходили по правилам студенческих олимпидов. Для решения предлагались тринадцать задачи по математике и восем задач по физике. Задания нестандартные, различной степени трудности, рассчитанные на материалвою и девятого классов. Разумеется, решить за четыре часа все задания невозможно, да это и не требовалось. Для победы достагоно было решить несколько задачи, законченность решения и число участников, решивших задачу. Благодаря этой системе можно было, решив до конца всего две задачи, определять тех, кто, пытаясь объявить необъятное, брался за все сразу, не все доводя до конца.

В результате первоое место среди математиков заняли Еввений Бруснецов (шк. № 88, 10 кл.) и Игорь Титов (шк. № 109, 9 кл.).

Лучшим физиками оказались Олец Держеков (шк. № 66, 10 кл.), Михаил Маркин (шк. № 88, 9 кл.) и Вадим Маслов (шк. № 11, 8 кл.).

После окончания олимпиды состоялся разбор задач, а еще позже — интересная беседа со студентами МФТИ и ОмПИ, где школьники получили ответы на многое интересующие их вопросы, познакомились с рекламными газами «За накуку» и «Политехник». Призеры олимпиды получили награды — грамоты и дипломы — и рекомендации для поступления вуз.

Ниже приведется предлагавшиеся на олимпиде задачи по математике и физике.

Matematika

1. Найдите пятизначное число, которое при умножении на 9 образует пятизначное число, записанное теми же цифрами, что и исходное, но в обратном порядке. (2 окка)

2. Дан треугольник ABC; l_A, l_B, l_C — длины его биссектрис, причем l_A < 1, l_B < 1, l_C < 1. Докажите, что площадь треугольника ABC меньше 1. (3 окка)

3. Два парохода плявут по морю по физированным направлениям с постоянными скоростями. В 12 ч 00 мин расстояние между пароходами было равно 5 милям, в 12 ч

59

Рис. 1.
45 мин. — $2\sqrt{5}$ мллям, в 13 ч 03 мин — $4\sqrt{2}$ мллям. Найдите минимальное расстояние, которое было между пароходами. (5 очков)

4. На прямой даны три точки $A, B, C$, причем точка $C$ лежит между точки $A$ и $B$. Найдите множество точки $O$ таких, что bicсектриса угла $AOB$ проходит через точку $C$. (4 очка)

5. Найдите сумму дробей вида $\frac{1}{(n+1)^{m+1}}$ для всех натуральных $m$ и $n$. (5 очков)

6. Решите систему
   $$\begin{cases} 2\cos \frac{10\pi}{x} + 4\cos \pi x + 1 = 0, \\ 2\cos \frac{5\pi}{x} + 2\sin \pi x - 2\cos \pi x - 1 = 0. \end{cases}$$
   (4 очка)

7. Решите уравнение
   $$tg^4 x + tg^4 y + 2 \text{ctg}^2 x \cdot \text{ctg}^2 y = 3 + \sin (x+y).$$ (4 очка)

8. Докажите, что не существует натурального числа, которое после зачеркивания первой слева цифры уменьшается в 35 раз. (3 очка)

9. Можно ли семнадцатнуюгольник разрезать на четырнадцать треугольников? (2 очка)

10. Имеет ли уравнение $b^2x^2 + (b^2+c^2 - a^2)x + c^2 = 0$, где $a, b, c$ — длины сторона некоторого треугольника, действительные корни? (2 очка)

11. Известно, что для любых действительных $x_1$ и $x_2$
    $$|f(x_1) - f(x_2)| \leq \frac{1}{2}|x_1 - x_2|.$$
    Докажите, что уравнение $f(x) = x$ имеет не более одного корня. (3 очка)

12. Для всех $b > a > 0$ и любого $x$ значение многочлена $P(x) = a + b\cos x + \frac{b}{2\sqrt{2}}\cos 2x$ неотрицательно. Определите множество значений, которые может принимать дробь $\frac{b+a}{b-a}$. (4 очка)

13. Космонавты на чужой планете нашли такую надпись: %! &+!0++!!! Выяснили, что так житель планеты выполнил неоторудую операцию над натуральными числами (операции могут быть «+», «-», «×», «:», «возвеси в степень», «извлечь корень]). Известно также, что на планете употребляется неоторудая позиционная система записи чисел, но неизвестны основание системы чисел и порядок перечисления разрядов. Предположим, что знак операции и знак равенства является однозначными символами. Определите, какое вычисление могло быть выполнено. (5 очков)

Физика

1. На полoce некоторой планеты без атомсферы стартует пакета. За короткое время дивгателя сообщают пакете скорость $\vec{v}$, направленную под углом $45^\circ$ к горизонту. По модели эта скорость больше первого космического, но меньше второго космического для этой планеты. В дальнейшем-divгатель не работает. Возвращится ли пакета на планету? Объясните. (2 очка)

2. Тело скольит без трения вверх по уклону 1:50 с начальной скоростью 1 м/c. Найти путь, проеденный телом за 7 с. Принять $g = 10$ м/c². (4 очка)

3. На реке построили гидродлестранцию. Оказалось, что за 100 км выше по течение ни скорость течение, ни уровень воды не изменились. Аналогичная ситуация за 100 км ниже по течение. Откуда же взялася энергия для работы гидродлестранции? (1 очка)

4. На невесомой, прикрепленной к столуружине жесткостью $k$ лежит груз массой $m$ (рис. 1). На него с высоты $H$ падает такой же груз и приплпает к нему. Какова должа объекта $H$, чтобы слипшеся грузы подпрыгнуты, оторвавшись от прижинны? (4 очка)

5. В откачном герметическом состоянии объем $V = 10$ дм³ находится открыта колбочка, содержащая $m = 10$ г воды. Сосуд нагревают при температуре $t = 100^\circ C$. Сколько воды испарится? (4 очка)

6. Два одинаковых металлических шара с положительным зарядами $Q_1$ и $Q_2$ отличаются с силой $\vec{F}$. Изменится ли сила взаимодействия (по модели), если у одного из шаров изменить знак заряда, не меняя величины заряда и расстояния между шарами? Объясните. (2 очка)

7. Точченые заряды $q$ и $Q$ расположены на расстояниях 2R и 3R от центра незаряженной металлической сферы радиусом $R$ (рис. 2). Потенциаль некоторой точки $A$ сферы оказался равным нулю. Считая $q$ извлечным, найти $Q$. (5 очков)

8. Постройте в Богнутом зеркале изобравнение окружности с центром в фокусе зеркала (рис. 3). Считать, что радиус окружности $r$ достичочно мал по сравнению с радиусом зеркала $R$. (4 очка)

А. Криворучко, А. Фильков