Задачи наших читателей

11

Задание
наших читателей

1. Докажите, что для $0 \leq a \leq b$ выполняется неравенство
   $$\ln \frac{b}{a} \leq \frac{b^2-a^2}{2ab}.$$
   В. Ясинский

2. Докажите, что если неокторный член последовательности 1, 31, 331, 3331, … делится на 541, то он также делится и на 19.
   И. Суев

3. Докажите, что если
   $$x = a_1 + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_n} + \frac{1}{a_n - y}$$
   то
   $$y = a_n + \frac{1}{a_n - 1} + \dots + \frac{1}{a_2 + x}$$
   М. Гервер

4. Пусть $a, b, c$ — длины сторон треугольника $ABC$, $a_1, b_1, c_1$ — соответствующие длины сторон треугольника

$A_1B_1C_1$ с вершинами в точках касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности (см. рисунок). Докажите, что
$$\frac{a^2}{a_1^2} + \frac{b^2}{b_1^2} + \frac{c^2}{c_1^2} \geq 12.$$
В. Мельник

5. На основании прямого кругового конуса построен цилиндр. Докажите, что пересечения этого цилиндра плоскостью, касающейся конуса, получается эллипс, площадь которого равна боковой поверхности конуса.
   Б. Алейникков

6. В равноведренном треугольнике биссертиса угла при основании вдвое длине биссертисы угла при вершине. Найдите углы этого треугольника.
   С. Сефибеков

7. Докажите, что центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности, точка пересечения его медиан и точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника $ABC$ с точками касания его сторон с внешисанным окружностями (внешисанная окружность — это окружность, касающаяся стороны треугольника и продолженной двух других его сторон), находятся на одной прямой.
   У. Алла

8. Докажите, что во всяком треугольнике
   $$m_a^2 = \left(\frac{b+c}{2}\right)^2 - bc \left(\sin \frac{\widehat{A}}{2}\right)^2,$$
   где $m_a$ — длина медианы, проведенной к стороне, лежащей против угла $A$, $b$ и $c$ — длины двух других сторон треугольника, $\widehat{A}$ — величины угла $A$.
   Ф. Кадиров

9. Множество $M$ содержит конечное число $n > 2$ точек плоскости, которые не лежат на одной прямой, причем, если неокторные три точки этого множества образуют треугольник, то точка пересечения высот этого треугольника также принадлежит много-

жеству $M$. Какие значения может принять $n$?
Р. Ушаков

10. Функцию $F$, определяющую на многожестве всех целых чисел и принимающего неотрицательные целые значения, мы будем называть современной, если для любых целых $m, n$ выполняется соответствия
    $$F(mn) = F(m)F(n),$$
    $$F(m+n) \leq 1980 [F(m) + F(n)]$$
    и, кроме того, $F(1980) = 0$.
    Найдите все современные функции.
    Б. Кац

11. Найдите наиболее число способов, которые один треугольник можно вписать в другой (вершины вписанного треугольника находятся на различных сторонах описанного).

А. Сердюк

12. Без помощью доказательства
    a) $\cos 42^\circ < \frac{3}{4}$;
    b) $\tg 70^\circ > \frac{19}{7}$.
    С. Майзус

13. В выражениях вида
    $$\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$$ часто можно избавиться от двойного корня, воспользовавшись формулой
    $$\sqrt{1 \pm 2 \cos \alpha \sin \alpha} = |\cos \alpha \pm \sin \alpha|.$$
    Например:
    $$\sqrt{13 \pm \sqrt{48}} = \sqrt{13} \sqrt{1 \pm 2 \sqrt{\frac{12}{13}} \sqrt{\frac{1}{13}}} = \sqrt{13} \left(\sqrt{\frac{12}{13}} \pm \frac{1}{\sqrt{13}}\right) = \sqrt{12} \pm 1.$$
    Вот несколько примеров для самостоятельного решения:

1. $\sqrt{2 \pm \sqrt{3}}$;
2. $\sqrt{11 \pm \sqrt{21}}$;
3. $\sqrt{9 \pm 4 \sqrt{2}}$.
   В. Ольхов