Эффект Доплера

Квант 1980, №8 с. 12-17 Тег O1QC

Я. Смородинский, А. Урнов

Эффект Доплера

В 1842 году в журнале Пражского научного общества появился статья под названием «О цветном свете двойных звезд и некоторых других созвездий неба». Автор статьи, авторский профессор математики Христан Доплер, предложил новое и неожиданное обяснение окраски небесных объектов. Свою теорию Доплер строил на утверждении о том, что частота волновых колебаний должна зависеть от скорости движения источников относительной наблюдаемого (то есть прибора, воспринмашшего эти волны). Иными словами, один и тот же звук будет иметь различную высоту, а свет — различную окраску (цвет) для покоящегося и движущегося источника.

Доплер представлял себе причину окраски звезд следующим образом. Свет сам по себе белого цвета, поскольку является смесью различных цветов в равной пропорции. При движении источника цвета смешаются; например, желтый цвет по мере приближения звезды к Земле должен переходить в зеленьй и далее в голубой и фиолетовый; при удалении же звезды желтый цвет переходит в оранжевый и красный. Посольку глаз способен восприннимать только определенные цвета (от фиолетового до красного), а неокторые цветовые компоненты при смешении «выходят» за пределы чувствительности глаза, ввидимом наборе цветов неокторые из них оказываются в приемуществе, что и обясняет окраску звезды.

Для Доплера, как и почти для всех естественныхателей прошло века, свет был волной в некой «светоносной» среде — эфире, заполняшем все пространство и все «поры» в телах. Распространение света в эфире было подобно распространению звука в воздухе (или в другой среде), поэтому световые явления должны были иметь аналогию в явлениях звуковых*). Так и эфифект, предсказанный Доплером, должен были наблюдаться как для света, так и для звука.

Для проверки принципиа Доплера были осуществлены довольно необычные эксперименты. В позде, индемем с большой скоростью, находились музыканты, которые издавали звук определенного тона. На несколько железнодорожных станциях по пути следования поезда располагались музыканты-«наблюдатели», которые могли определять высоту тона на слух. В результате этих экспериментов было обнаружено, что высота звука, воспринимаемого наблюдаемым, действительно изменяется при движении источника в соответствии с предсказаниями Доплера.

Тем не менее стать Доплера «О цветном свете…» поддержась резкой критике, и, несмотря на попытки Доплера отстоять свою точку зрения, его теория была отвергнута большим инструментом известных физкового времени.

Объяснение Доплера цвета звезд действительно было неверным. Однако в его основе содержалась плодотворная идея об изменении цвета (длинны волны) излучения при движении источника относительно наблюдаателя. Такой эфифект был воспользулен и его назвали эфифетом Доплера. Правильное объяснение этого эфифекта было done лишь после того, как была понята природа излучения. Во времяена же Доплера никогда по существу не осознал значение иden Доплера — ни противники его теории, ни он сам. Только Большано, математик из Праги, в своей стране, посвященной работе Доплера, писал, что эта работа дает гораздо большие, чем общее ее заглавие, как для акстики, так и оптики и всего учения о волнообразном движении. Не веря в вычисления Доплера, Большано тем не менее заключило свою статью словами: «Я ожидало суверенностью, что со временем его (теории Доплера) будет пользоваться для разрешения на основании изменения цвета небесных тел вопросов, движутся ли эти последние, куда и с какой скоростью они движутся, какие расстояния отделяют их от нас и друг от друга, равно как для разрешения многохудожных других вопросов».

Возможности использования в физике и практического применения эфифекта Доплера были оценены значительно позднее, после открытия спектрального анализа. Его глубоко связа с таким фундаментальным понятиям физики, как пространство и время, установил Альберт Эйнштейн. В своей работе 1905 года, посвященной теории относительной事迹и, Эйнштейн впервые получил правильную формулу для изменения частоты света при относительной事迹и источника и наблюдаателя.

С тех пор как проверление доплера эфифекта в оптике стали устойчиво связывать со смешением спектральных линей, было накоплено множество экспериментальных свидетельств в его ползу. Любопытно, что первые доказательства были получены при исследовании спектров звезд. ВLABораторных условий явление наблюдаемал русский физик А. Белопольский, поставивший довольно хитруумные опыты с врашающимся зерканами (1900 г.). Существование так называемого поперечного доплера-ефифекта (о котором речь еще впереди) удалось надежно установить только полвека спуття (1948 г.).

После открытия квантовых свойства света возникла необходимость «примирить» ставшее уже привлечным явление с новыми необычными

ными воззрениями. Эту задачу успешно решил один из создателей современной (квантовой) механики Эрвин Шредингер, показавший возможность истолкования дополнитель-эффекта с точки зрения световых квантов.

И звук, и свет — волновые явления. Волны — это колебания, распространяющиеся в пространстве с течеем времени. Звуковые (акустические) волны в среде (вещесте) — это распространие колебаний плотности среды. Световые оптические волны — это распространие в пространстве электромагнитных колебаний.

Для описания любого процесса движения необходимо прежде всего выбрать систему отчета — система координат вместе с часами, покоямися в этой системе. Физическая содержание эффекта Доплера заключается в том, что частота колебаний зависит от системы отчета, в которой производится наблюждение. Формулы преобразования частоты при переходе от одной системы отчета к другой, движущейся относительно первого, дают математическое описание этого явления. Чрезвычайно важным, однako, является то остоятельство, что эти формулы различны для акустических и оптических волн.

Эффект Доплера для звука

Для того чтобы понять, как изменяется частота света при движении источника или наблюдаете, разберем следующую задачу. На озере плавают две лодки. С одной из них в воду опущен прибор, который может излучать звуковые колебания частоты $v_0$ . С другой лодки в воду опущен приемник, который может регистрациивать частоту доходящего звука.

Какую часть звука будет регистрации приемник вследующих случях:

обе лодки покоятся на воде;
лодка с источником покоятся, лодка с приемником движения;
лодка с источником движения, лодка с приемником покоятся?

Рассмотрим каждый случай в отдельности.

Ответ на этот вопрос оченьлен: приемник регистрации звук частоты $v_0$ . Действительно, если скорость звука в воде равна $c_0$ , толина звуковой волны, излучаемой источником, равна $\lambda_0 = c_0/v_0$ . Наблюдаемый во второй лодке, изменяющий скорость звука и длину волны, зафиксирует именно эти величины — $c_1 = c_0$ и $\lambda_1 = \lambda_0$ . Так что частота звука, регистрации наблюдаемого, будет равна

$v_1 = \frac{c_1}{\lambda_1} = \frac{c_0}{\lambda_0} = v_0.$ (1)

Пусть теперь лодка с наблюдаемым началом движения вдоль прямой, соединяющей обе лодки. Обозначим скорость лодки с наблюдаемым через $v_h$ и будем считать, что она положитлена, если расстояние между лодками сокращается. Скорость звука, изменяющая наблюдаемым, будет теперь равна $c_0$ , а

$c_2 = c_0 + v_h = c_0 \left( 1 + \frac{v_h}{c_0} \right).$

Длина волны звука в воде не зависит, конечно, от того, движется наблюдаемым или нет. Поэтому $\lambda_2 = \lambda_0 = c_0/v_0$ . С другой стороны, $\lambda_2 = c_2/v_2$ ; значит, $c_0/v_0 = c_2/v_2$ , то есть

$v_2 = \frac{c_2}{c_0} v_0 = \left( 1 + \frac{v_h}{c_0} \right) v_0.$ (2)

Итак, если расстояние между лодками сокращается, то приемник зарегистрировать более высокую частоту, чем частота источника звука. Наборот, если лодка с наблюдаемым удаляется от лодки с источником, то частота принимаемого звука уменьшается:

$v'_2 = \left( 1 - \frac{v_h}{c_0} \right) v_0.$ (2')

Расстояние случай, когда лодка с источником движения по направлению к наблюдаемому со скоростью $v_h$ . Скорость звука в воде по-прежнему равна $c_0$ . Длина волны, которой будет изменять наблюдаемую, теперь будет меньше, чем в том случае, когда лодки покоились. Действительно,лина волны — это рас-

стояние между двумя соседними точками, колеблющимися в фазе, например между соседними гребнями волны. За время $T = \lambda_0/c_0$ , пока один гребень волны удалится от точки, в которой он был «испущен», на расстояние $\lambda_0$ , источник переместится в том же направлении на расстояние $v_n\lambda_0/c_0$ . Поэтому расстояние между «первым» гребнем и следующим будет равно не $\lambda_0$ , а

$\lambda_3 = \lambda_0 - v_n\frac{\lambda_0}{c_0} = \lambda_0 \left( 1 - \frac{v_n}{c_0} \right).$

Значит, частота звука, которую зарегистирует наблюдаемый, будет равна

$v_3 = \frac{c_0}{\lambda_3} = \frac{c_0}{\lambda_0 \left( 1 - v_n/c_0 \right)},$

или

$v_3 = \frac{v_0}{1 - v_n/c_0}.$

(3)

В том случае, когда лодка с источником удаляется от лодки с применимом, частота звука, которую будет перегрировать применим, равна

$v'_3 = \frac{v_0}{1 + v_n/c_0}.$

(3')

Мы видим, что формулы (3) отличаются от формулы (2), хотя основные закономерности сохраняются: звук повышается, когда лодки слияются, и понятие, когда лодки расходятся.

Однако, если скорость лодки мала по сравнению со скоростью звука в воде, то мы можем воспользоваться приближенными равенствами

$\frac{1}{1-\alpha} \approx 1 + \alpha, \quad \frac{1}{1+\alpha} \approx 1 - \alpha,$

если $\alpha \ll 1$ .

В этом случае формулы (3) приближенно совпадает с формулами (2):

$v_3 \approx v_2 = \left( 1 \pm \frac{v_n}{c_0} \right) v_0.$

Можно написать и общую формулу для случая, когда движутся обе лодки — и источник, и применик. Такая формула получится последовательным применением двух формул, полученных выше:

$v = \frac{1 \pm v_n/c_0}{1 + v_n/c_0} v_0,$

или приближенно, учитывая, что $(1 + \alpha)(1 + \beta) \approx 1 + \alpha + \beta$ при $\alpha, \beta \ll 1$ ,

$v \approx \left( 1 \pm \frac{v_n \pm v_h}{c_0} \right) v_0.$

Нетрудно видеть, что $v_n \pm v_h$ есть относительная скорость источника и применика. Знаки «+» соответствуют их движению в противоположных направлениях, знаки «—» — в одном направлении. Поэтому формулу для эффекта Доплера в приближении малых скоростей можно записать так:

$v \approx \left( 1 + \frac{v}{c_0} \right) v_0,$

где $v$ — относительная скорость источника и применика.

Полученную нами общую формулу можно еще раз обобщить — на тот случай, когда и среда движения. (Это обобщение означает, что в расстоянем нами примере лодки находится не на озере, а на реке.) В этом случае общий вид формулы не меняется, но под величины $v_n$ и $v_h$ теперь следует понимать скорости движения наблюдаемого и источника относительной реки; в соответствии с этим следует подставлять и значение $v$ в общую формулу.

И еще одно замечание. Мы рассматривали случай, когда источник и применик движутся вдоль одной прямой и вдоль этой же прямой распространяется фронт звуковой волны. Если же направление распространения звука составляет угол $\theta$ с направлением относительной скорости $v$ , то частота, регистрируемая примеником, равна

$v \approx \left( 1 + \frac{v}{c_0} \cos \theta \right) v_0.$

Изменение частоты $v_0$ определяется проекцией $v \cos \theta$ относительной скорости на направление распространения звука. Если $\theta = 90^\circ$ , то $v = v_0$ — так называемый поперечный эффект Доплера в обычной акустике отсутствует.

Итак, подведем итог. Частота звука, регистрируемая примеником, зависит от относительной движения источника и применик и определя-

ется следующими соотношениями:

$v = v_0$ — наблюдаемый и источник покояется относительно среды;
$v = \left( 1 \pm \frac{v_1}{c_0} \right) v_0$ — наблюдаемый движется, источник покояется;
$v = \frac{1}{1 - v_1/c_0} v_0$ — наблюдаемый покояется, источник движения.

Эффект Доплера для света

В прошлом вке считали, что изменение частоты света при движении источника или наблюдаемого описывается таким же формулами, как и изменение частоты звука. В то время считали, что свет распространяется в эфире — гипотетический среде, которая заполняет все пространство, но не оказывает сопротивления движению тел. Для такой среды формулы, выведенные для звука, должны оставаться неизменными, если только понятно в них под $c_0$ скорость распространения света в эфире. В теории относительной эфири исчез, а вместе с ним исчезло понятие абсолютного движения (движения по относению к эфиру, как считали раньше).

Одним из главных выводов теории относительной света был вывод о том, что никакое явление не может зависят от абсолютной скорости; в формулы может входить только скорость относительной. Формулы для актического эфиекта Доплера, как мы видели, содержат такую «абсолютную» скорость — скорость звука по относению к среде. Уже из этого следует, что эти формулы не могут быть справедливыми для света.

Действительно, в теории относительной другая формула эфиекта Доплера:

$v = \frac{1 + \frac{v}{c} \cos(1)}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} v_0.$

В этой формуле $c$ — скорость света в пустоте, $v$ — относительная скорость источника и приемника, а $\theta$ — угол между скоростью $v$ и направлением распространения света, измененный в системе отчета, связанной с источником излучения.

Если скорость $v$ очень мала, так что ее квадратом можно преобразить по сравнению с квадратом скорости света (то есть $v^2/c^2 \ll 1$ ), то эта формула не отличается от формулы для изменения частоты звука. Различие в этих двух формулах проявляется только в том случае, если нельзя преобразить величины $v^2/c^2$ .

Почи во все формулы теории относительной света входит множество

$\gamma = \left( 1 - \frac{v^2}{c^2} \right)^{-1/2} (\gamma \geqslant 1).$

Этот множество — его называют Лоренцевым множеством — определяет изменение времени в движущей системе отчета, сокращение длины движения его стержня, увеличение массы движения его тела. Не удивительно, что этот множество входит и в формулу Доплера. Это становится естественно, если вспомнить, что энергия кванта связана с частотой соответствии $E = hv$ , а потому в движущей системе координат частота должна изменяться так же, как энергия.

Это объяснение, конечно, не заменяет вывода формулы Доплера, но делает ее понятнее.

Существование различных акустической и оптической формул эфиекта Доплера проявляется в том случае, когда $\theta = 0$ , то есть когда источник испускает волны в направлении, перpendикулярном своей движению. Для такого случая классическая (акустическая) формула предсказывает отсутствие эфиекта ( $v = v_0$ ).

Релятивистская же (оптическая) формула предсказывает наличие поперечного эфиекта. Наблюдания над двойной звездой PSR 1913—16 $^*$ подверделили существование этого эфиекта.

$^*$ ) Число, который обозначают звезду, — это ее небесные координаты: 19 ч 13 мин — прямое восходение, $16^\circ$ — склоние, PSR — шифр по каталогу.

Применение эффектив Доплера

Если просить школьника, который изучает механику, как изменить скорость тела, то он ответит, что для этого надо изменить время, которое затрачивает тело на прохождение заданного пути. Так, во всяком случае, мы поступаем, если хотим изменить скорость поезда, смотря из окна варона. Можно поступить иначе — изменить путь (число километровых указаателей), проходимый за заданное время. Вообще, надо «поделить путь на время».

Формула Доплера дает возможность изменить скорость совсем другим способом. Если с железнодорожной станции направить в поезд лазера, а в поезд вести с собой установку для изменения частоты изменения, то, сравнивая измененную частоту с той частотой, на которую был построен лазер на станции, можно найти скорость поезда относительно станции; точнее говоря, найти относение скорости поезда к скорости света.

Такой способ изменения скорости отличается от стандартного, «школьного» удивительной особенность. Нам не нужно ни масштабов длины (километровых стольов), ни масштабов времени (секундомеров).

Эффект Доплера позволяет открыть один из самых порозитных законов Вселенной — закон Хаббла.

Американский астроном Хаббл обнаружил, что в спектрах далеких небесных объектов — спиральных галактик — известные спектральные линии оказывается расширяющая туманность, в центре которой иногда имеет пульсар — источник, излучащий строю следующие друг за другом четкие радиоимпульсы. Однако рассмотренная нами модель праводоподобна как возможность подход к обьясению астрономических явлений.

$V = HR,$

где $V$ — скорость (лучевая) галактики, $R$ — расстояние до галактики, величины $H$ называют постоянной Хаббла; она равна (как это считают сейчас) примерно $\frac{20 \text{ km/c}}{10^6 \text{ свет. лет}}$ . Это значение, что при увеличении расстояния до галактики на миллион световых лет скорость ее удаления от нас увеличивается на 20 км/c.

Граница нашей Галактики находится от нас на расстоянии около 2 миллионов световых лет, скопление в созвездии Девы — на расстоянии 35 миллионов световых лет, скопление в созвездии Гидры — 200 миллионов световых лет. Оценка расстояний до наболее далеких радиогалактики и квазаров показывает, что они удалены от нас на миллиарды световых лет (это соответствует скоростям удаления от нас, близким к скорости света — около 90% от скорости света).