Разложение на множители

23

Разложение на множители

Кандидат физико-mатематических наук С. В. ФОМИН

В школе часто приходится стalkивать с алгебраическим уравнениями. Линейные уравнения имеют решать уже шестиклассики. В сельом классе школьники узнали формулы для решения квадратных уравнений. Довольно громоздкие формулы для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени, найdenные в XVI веке, оказавются мало полезными на практике (см. книгу С. Г. Гиндикина «Рассказы о физиках и математиках» (М., «Наука», 1981)). Уравнения же пятой степени и выше в обшем случае не разрешимы в радиакалх.

И тем не менее, во многих случаях уравнение степени $n>2$ дает легко решить. Чаще всего помогает разложение на множители. Из утверждения «число $a$ тогда и только тогда является корнем многочлена $P(x)$, когда $P(x)$ делится на $x-a$» и Основной теоремы алгебры («Квант», 1982, № 4) вытекает, что всякий многочлен с действительными коэффициентами степени $n>2$ разладает в произведении множителей первой степени и неразложимых квадратных трехлелов.

Решим несколько уравнения.

$$2x^3 - x^2 - 7x + 2 = 0.$$

(1)

У многочлена в левой части уравнения (1) — целые коэффициенты. Легко доказать, что если такое уравнение имеет целый корень, то этот корень является делительом свободного член (доказите это!). Число 2 — корень уравнения (1). Значит, многочлен $2x^3 - x^2 - 7x + 2$ делится на $x-2$. Очевидно, частный уравнение квадратный

ратный трехчлен со старшим коэффициентом 2, так что

$$2x^3 - x^2 - 7x + 2 = (x-2)(2x^2 + Bx + C),$$

где $B$ и $C$ — неизвестные показ коэффициенты. Это равенство верно при всех $x$. Полягая $x=0$, получаем $-2C=2$, $C=-1$. Полягая, далее например, $x=1$ получаем $-(B+1) = -4$, $B=3$.

Таким образом, уравнение (1) переписывается в виде

$$(x-2)(2x^2 + 3x - 1) = 0.$$

Ответ. $\left\{2, \frac{-3+\sqrt{17}}{4}, \frac{3\sqrt{17}}{4}\right\}$

$$\frac{x^4 - 3x^3 + x^2 - 2}{x^3 + 1} = \frac{2}{3x-1}$$

Если сразу освободиться от знаменателя, мы получим уравнение 5-й степени. Поэтому «попытаем считать» — попробуем выяснить, нельзя ли сократить дробь, стояшую в левой части. Ее знаменатель раскладывается на множители:

$$x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1).$$

На первый множитель числитель не делится (ведь число — 1 не является корнем многочлена $x^4 - 3x^3 + x^2 - 2$). Попробуем разделить его на $x^2 - x + 1$. Можно, конечно, опять применить «метод неопределенных коэффициентов»:

$$x^4 - 3x^3 + x^2 - 2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + Ax + B) + C.$$

Проще, пожалуйста, разделить «уголком» — так, как мы делим многозначное число на многозначное:

$$\frac{x^4 - 3x^3 + x^2 - 2}{x^4 - x^3 + x^2 - 2} = \frac{x^2 - x + 1}{x^2 - 2x - 2}$$

$$- \frac{2x^3 + 2x^2 - 2x}{2x^2 + 2x - 2}$$

$$- \frac{2x^2 + 2x - 2}{0}$$

(Mы делим старший член делимого на старший член делителя: $\frac{x^4}{x^2} = x^2$ — это будет старший член частного. Затем умножаем полученный член частного на делитель и вычитаем произведение из делителя. Далее старший член разности снова делим

24

на старший член делитель: $\frac{-2x^3}{x^2} = -2x$ — получаем следующий член частного и т. д.)

Нам «повезло» — разделилось без остатка. Таким образом, уравнение (2) переписывается в виде
$$\frac{(x^2-x+1)(x^2-2x-2)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{2}{3x-1},$$
$$\frac{x^2-2x-2}{x+1} = \frac{2}{3x-1}$$

и легко совпадая к уравнению
$$x(x-3)(3x+2) = 0.$$
Ответ. $\{0, 3, -\frac{2}{3}\}$.
$$\frac{2}{x+1} + \frac{4}{x-2} - \frac{2}{x} + x+4 = 0.$$ (3)

Можно сразу освободиться от знаменателя и раскладывать левую часть полученного уравнения четвертой степени на множители. Проще, однako, раскладывать на множители непосредственно левую часть уравнения (3). Заметим, что число 1 является его корнем. При $x=1$ пять слагаемых, стоящих в левой части, принимают значения 1, -4, -2, 1 и 4. Преобразуем данное уравнение, вычтя из каждой слагаемого его значение при $x=1$:
$$\left(\frac{2}{x+1}-1\right) + \left(\frac{4}{x-2}+4\right) + \left(-\frac{2}{x}+2\right) + (x-1) + (4-4) = 0$$
(sумма добавленных слагаемых равна нулю). Произведем действия в каждой из скобок:
$$-\frac{x-1}{x+1} + \frac{4(x-1)}{x-2} + \frac{2(x-1)}{x} + (x-1) = 0.$$
В каждом слагаемом появился множитель $x-1$. Это и не удивительно — ведь значение каждой слагаемого при $x=1$ должно быть нулевым! Тепер задача свелась к решению уравнения
$$-\frac{1}{x+1} + \frac{4}{x-2} + \frac{2}{x} + 1 = 0.$$
Нетрудно угадать один из его корней: $x=-2$ и еще раз применить тот же пример:
$$\left(-\frac{1}{x+1}-1\right) + \left(\frac{4}{x-2}+1\right) +$$

$$+\left(\frac{2}{x}+1\right) + (1-1) = 0,$$
или
$$-\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+2}{x-2} + \frac{x+2}{x} = 0,$$
откуда $x=-2$ или
$$-\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-2} + \frac{1}{x} = 0,$$
$$\frac{x^2+2x-2}{x(x+1)(x-2)} = 0.$$
Решая квадратное уравнение, находим остальные корни.

Ответ. $\{1, -2, -1-\sqrt{3}, -1+\sqrt{3}\}$.
$$(x^2+3x-2)^2 + 3(x^2+3x-2) - 2 = x.$$ (4)

Заметим, что если х является решением уравнения
$$x^2+3x-2=x,$$
то оно удовлетворяет и уравнению (4). Следовательно, два корня уравнения (4) нам известны: $x_1 = -1-\sqrt{3}$ и $x_2 = -1+\sqrt{3}$. Раскрывая скобки и перенося $x$ в левую часть, получим уравнение
$$x^4+6x^3+8x^2-4x-4=0.$$
Его левая часть делится на $x-x_1$ и на $x-x_2$, а значит, и на $(x-x_1)(x-x_2) = x^2+2x-2$. Разделить тем или иным способом, получаем $(x^2+2x-2)(x^2+4x+2) = 0.$
Ответ. $\{-1+\sqrt{3}, -1-\sqrt{3}, -2+\sqrt{2}, -2-\sqrt{2}\}$.

В заключение решим систему уравнений
$$\left\{ \begin{array}{l} (x+1)(13x-2y-15) - 2(y-1)(3y+2) = 0, \\ (x+1)(x+4y-15) - 28(y-1) = 0. \end{array} \right.$$ (5)

Легко заметить, что пара $(-1; 1)$ удовлетворяет ей. Нетрудно найти еще одну пару $(1; 0)$.

А теперь — нестандартный ход. Проведем через точки $(-1; 1)$ и $(1; 0)$ прямую (ее уравнение $y=-\frac{x}{2}+\frac{1}{2}$) и возьмем на ней еще какую-нибудь точку, например (3; -1). При $x=3; y=-1$ левая часть первого уравнения системы (5) равна 100, а второго равна -8. Сле-