Тихо! Идут экзамены!

55

Заметим, что $\vec{O D}$ — вектор грани $A' B' C'$ для терзера $A' B' C' D'$ — является также вектором грани $A' B' C'$ и для терзера $O A' B' C'$. Действительно, точки $O$ и $D'$ лежат по одному сторону от плоскости $A' B' C'$ (инaque сумма $\vec{O A}' + \vec{O B}' + \vec{O C}' + \vec{O D}'$ не равнялась бы $\vec{O}$), поэтому вектор $\vec{O D}$ направлен во внешнюю сторону терзера $O A' B' C'$. По теореме о «жеже» вектор — $\vec{O D}$ равен сумме векторов граней $O A' B'$, $O B' C'$ и $O C' A'$ терзера $O A' B' C'$. Но этот терзар строится точно так же (с точностью до параллельного перенока), как терзар $P A' B' C'$ в задание $a$, следовательно $\vec{O D}' = -k(\vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C})$, где $k = 3V/4$. Аналогично $O A'' = -k(\vec{A B} + \vec{A C} + \vec{A D})$, поэтому $D'' A'' = \vec{O A}' - \vec{O D}' = k(\vec{D A} + \vec{D B} + \vec{D C} - \vec{A B} - \vec{A C} - \vec{A D}) = k \cdot 4 \vec{D A} = 3V \cdot \vec{D A}$. Таким же образом доказывается, что $D'' B'' = 3V \cdot \vec{D B}$, $D'' C'' = 3V \cdot \vec{D A}$. Это и значит, что терзеры $A'' B'' C'' D''$ и $ABCD$ готовятся с коэффициентом 3V.

Отсюда немедленно следует, что для любых четырех некомпланных векторов, дающих в сумме $\vec{O}$, существует единственный с точностью до параллельного перенока терзар, для которого данные векторы служат векторами граней. (Если $\vec{O A}$, $\vec{O B}$, $\vec{O C}$ и $\vec{O D}$ — данные векторы и $\vec{O A'}$, $\vec{O B'}$, $\vec{O C'}$, $\vec{O D'}$ — векторы граней терзера $ABCD$, то искомый терзар готовится $A' B' C' D'$.) Это утверждение является очень частным и простым случаем так называемой проблемы Минковского: можно ли по заданному набору некомпланных векторов с нулевой суммой простроить выпуклый многообразник, для которого они служили бы векторами граней? Будет ли такой многообразник единственный? Эта проблема была поставлена и решена (положительно) выдающимся немецким математиком Германом Минковским в конце прошло века.

Задание
9. В терзарре $ABCD$ грани $ABC$ и $ABD$, а также $CDA$ и $CDB$ равновелики. Доказите, что отрезок, соединяющий ребер $AB$ и $CD$, является их общим перпендикуляром.

10. Доказите, что следующие свойства терзарра эквивалентны*): 1) все грани конгруэнтны; 2) все грани равновелики; 3) центр описанной сферы совпадает с центром тяжестями (центр тяжестями определяется тем, что сумма векторов, проведенных из него в вершины терзара, есть $\vec{O}$).

*) Термэрдры, о которых говорится в этой задание, называются равногранными. Они подробно расссказано в статье В. Э. Матизена в этом номере журнала; см. также выше задачу 8, г.

56

КВАНТ УЛЬБАЕТСЯ КВАНТ УЛЬБАЕТСЯ

Математический факультет

Авиационный институт
— У товарища отличная характеристика, имеет опыт работы в летном деле…

Физический факультет
— Теерь вспомнили закон всемирного тягоотenia?

Педагогический институт
— Итак, вы пришли в класс.
Ну-ка, наведите порядок!

Электрохимический институт
—… Да, с практическими навыками у вас слабовато.

56