О десятичной записи некоторых чисел

25

довательно, если первое уравнение системы (5) умножить на 2, второе — на 25 и сложить их, то пара (3; —1) будет удовлетворять получному уравнению (обозначим его ()). Пары (—1; 1) и (1; 0), очевидно, также удовлетворяют уравнению (). Таким образом, система уравнения
$$\left\{ y = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \right\}$$

имеет, по крайней мере, три различных решения. С другой стороны, подставляя выражение для $y$ через $x$ из второго уравнения системы (6) в первое, мы получим для $x$ уравнение не выше второй степени. Значит, уравнение () после подстановки $y = -\frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ превращается в тождество (ведь уравнение степени $n \leq 2$ не может иметь более двух корней). Таким образом, любое решение уравнения $y + \frac{x}{2} - \frac{1}{2} = 0$ является решением уравнения (). Поэтому естественно предположить, что левая часть уравнения (*) раскладывается на множители, одним из которых является $y + \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

О десятичной записи некоторых чисел

В двух книгах, выпущенных издательством «Просвещение» в 1980 г., о значениях чисел $n$ и $e$ сказано, что для $n$ найдено 707 десятичных знаков, а для $e$ — более двух тысяч. Приведем более полные данные об этих и некоторых других числах, полученные с помощью ЭВМ.

В 1961 г. найдено 100 625 десятичных знаков числа $n$ и 100 265 десятичных знаков числа $e$. В 1964 г. вычислено более миллиона цифр числа $e$, а в 1967 г. — 500 000 цифр числа $n$, однокто эти результаты не были опубlikованы.

Для знаменного числа $1 : \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ («золотоеечение»)

вычислено 2 878 знаков.

В 1970—71 г. был получен миллион цифр числа $\sqrt{2}$. При проверке результата возв렸нем в квадрат получилась единица, за которой следует десятичная запятая и 1 000 082 девятки.

О больших простых числах. В 1963 г. было найдено 23-e простое число Мерсена $^*$) $2^{11 213} - 1$. Оно содержит 3 376 цифр и полностью приведено в книге М. Гарднера «Matематические новеллы», 1974, с. 349.

В 1971 г. было найдено 24-e число $2^{19 937} - 1$, в 1978 г. — 25-e число $2^{21 701} - 1$, а в 1979 г. — 26-e число $2^{23 209} - 1$ и 27-e число $2^{44 497} - 1$.

Найдем цифр цифр, а также несколько первых и последних цифр последнего из перечисленных чисел Мерсена. Числа $2^p - 1$ и $2^p$ имеют одинаковое число цифр. Действительно, если бы $2^p$ имело на одну цифру больше, то оно оканчалось бы нулем. Но это невозможное, так как ни одна степень числа 2 на нуль не оканчивается. Итак, цифр цифр 27-го простого числа Мерсена равна числу цифр числа $2^{44 497}$. Имеем:

$$\lg 2^{44 497} = 44 497 \cdot \lg 2 = 44497 \cdot 0,3010 2999 57 = 13394,93172.$$

Характеристика логарифма равна 13394, следовательно, само число содержит 13 395 цифр. Мантисса логарифма равна 93 172, поэтому число начинается с цифр 8545.

Можно доказать, что последним тремя цифрами будут 6, 7 и 1. Итак:

$$2^{44 497} - 1 = 8545...671.$$

М. С. Гельфанд