И. Е. Тамм — человек и учёный

Квант 1983, №7 с. 61-63 Тег AKTO

прямо, разбивающий прямогольник на 2 меныших прямогольника, тоже покрыты костями домино?

Пятикломстровый рельс закреплен в своих концевых точках. Летом из-за сильной жары длина рельса уvelчилась на 2 м. На какую, по порядку величины, высоту поднялась средняя точка рельса в результате его «вспучивания»? (Задачу следует решить «в уме».)
Двое играют в следующую игру: первый задумывает 5 натуральных чисел $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ , меняших 100, а второй «предъявляет» сопернику пятерки чисел $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5; b_1, b_2, b_3, b_4, b_5$ и т. д., после чего ему сообщаются суммы $a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3 + a_4x_4 + a_5x_5, b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3+$

$+b_4x_4 + b_5x_5$ и т. д. Ясно, что за 5 «ходов» второй игрок всегда может определять загаданные числа, решив соответствующее система 5 уравнений с 5 неизвестными. А какое наименьшее число «ходов» достаточно сделать второму игру, чтобы определить загаданные числа?

Картиная галерея в плане представляет собой (не обязательно выпуклый) $n$ -угольник. Докажите, что а) внутри галереи всегда можно расположить $\left[\frac{n}{3}\right]$

сторожей так, чтобы они могли обозреть все стены;
6) существуют такие галереи, в которых нельзя расположить таким образом меньше числа сторожей.

И. Е. Тамм — человек и ученый

Доктор физико-математических наук
Б. М. БОЛОТОВСКИЙ

Нередко бывают так, что физические законы и явления носят имена ученых — первооткрывателей: законы Ньютона и колца Ньютона, закон Ома, законы Фарадея, эффект Мёссбауэра… А что мы знаем о людах, именами которых называны эти законы и явления? Каков их вклад в развитие науки? Какую научную смену они себе подготовили? Какими человекскими качеством они обладают?

На бóльшую часть этих и подобных вопросов ответа в учебниках не найти. И тем, кто интересуется физикой, особенно полезно читать книги, рассказывающие о жизни и творчестве ученых. Эти книги расширют наше знание физики, потому что мы получаем представление о ходе развития науки (в учебниках, как правило, дается лишь результат развития). Но, может быть, еще важнее то, что они знакомят нас с личностью ученого.

Воспоминания о И. Е. Тамме

Недавно в издательстве «Наука» вышла книга воспоминания о выдающихся советским ученом И. Е. Тамме. *)

Игорь Евгеньевич Тамм (1895—1971) — физик-теоретик, академик АН СССР, луреат Государственных премии СССР, луреат Нобельской премии. Круг его научных интерсов шрок: классическая электродинамика, электронная теория, квантовая теория твердых тел, ядерная физика, физика элементарных частиц …

И. Е. Тамм — автор плодовских физических теорий.

*) Воспоминания о И. Е. Тамме (М., «Наука», 1981).

С его именем связан ряд важных открытий. Например, он открыл существование таких состояний электронов на поверхности твердого тела, когда электроны как «привязаны» к поверхности: они не могут уйти ни внутри тела, ни наружу. Эти состояния получили название «Таммовские поверхностные состояния». Они играют большую роль в физике твердого тела.

Более трудится статью помещено в книге о И. Е. Тамме. Пишут его сотрудники, друзья, пышут его ученки (ныне известные советские ученые), ученники его ученков, пышут товарищ们 по летним походам и даже лоди, которые его видели только несколько раз. Пишут о том, какое удивительное, радостное и неизгладимое впечатление произвел на них Игорь Евгеньевич, какой он был замечательный человек, как действовал на окружающих своим примером. Авторы воспоминания — не писатели-proфессионалы. Нужна была важная причина для того, чтобы каждой из них взгляла за pero. Эта причина у всех авторов одна — глубокое уважение и любовь к Игорю Евгеньевичу.

Прочитайте книгу воспоминания и вы видите, что в целом она получилась интересная и полезная.

Задание-оценки

Δρ~2/3ρ_{водл}gH~3·10^7 Па (здебу учтено, что океан занимает две трети поверхности Земли и что средняя глубина океана H порядка 4 км).
ρ_{водл}v^2S~mg, откуда v~(mg/(πR^2ρ_{водл}))^{1/2}~5 м/c (при m~100 кг и R~3 м).
ρ_C = M_C/V_C = 24π/GT^2(D_C/r)^-3~10^3 кг/м^3~1 г/cm^3 (здебу D_C/r~0,01 — угловой размер Солнца, T~3·10^7 с — период обращения Земли вокруг Солнца).
n~√2gH/πv~1,5 (при v~30 м/c). Указание. За время перемещения на длину кузова l центр тяжестни машины прибретет вертикально скорость v_μ~gl/v, или угловую скорость ω~v_μ/l/2~2g/v. Тогда число оборотов автоматически n~tω/2π~√2gH/πv.
Fl~mv^2/2~mgL/2; следовательно, F~mgL/(2l)~800 H (для m~8 кг, L~20 м, l~1 м).
F·R~mg·2R, где R — радиус зубчатого колеса, 2R — расстояние от его оси до педали, mg — вес человека, то есть сила давления на педаль; отсюда F~2mg~1400 H (при m~70 кг).
mv~Ft, или ρ·4/3πr^3·v~p·πr^2·r/v; тогда v~(p/ρ)^{1/2}~30 м/c.
F=ma~mv^2/(2s)~7·10^3 H (при m~60 кг).
Согласно закону Паскала, давление в центре Земли, создаваемое «столбами» от полоса до центра (высотой R_3-x) и от экватора до центра (высотой R_3) должны быть равны. Учитывая, что ускорение свободного давления на полосе равно g, а на экваторе g~ω^2R_3, имеем

$\rho \frac{g}{2} (R_3-x) \sim \rho \frac{g-\omega^2 R_3}{2} R_3.$

Отсюда для разности уровней мирового океана получаем

$x \sim \frac{(\omega R_3)^2}{g} = \left( \frac{2\pi R_3}{T} \right)^2 \frac{1}{g} \sim 20 км$

(здебу T — это один сутки).

Пусть d — средний диаметр столов и l — среднее расстояние между деревьями. Мысленно сметтем деревья от наблюдаателя так, чтобы столов образовали сплошной круговой забор, радиус которого равен исходному расстоянию x. За таким забором человека не будет видно ноткуда. В заборе длиной 2πx оказетсяprimерно 2πx/d деревьев, которые были «свинуты» с площади πx^2. Если на площадь ~l^2 приходится в среднем одно дерево, то на площади πx^2 их будет πx^2/l^2. Таким образом,

$2\pi x/d \sim \pi x^2/l^2,$

откуда, положив l~3 м и d~0,2 м, получаем x~2l^2/d~100 м.

Мартин Гарднер и “The Mathematical Gardner”

Указание. Спроектируйте центры окружностей на их общую касательную и воспользуйтесь равенством большого из трех полученных отрезков сумме двух других.
1, 1, 2, 4, 6, 7, 10, 12, 16. Заметание. Кроме указанных, известны еще только значения l(p) при p=12 и p=16.
a) Нет; 6) Да.
Если pq четно, p≥5, q≥5 и по крайней мере одно из чисел p, q отлично от 6.
≈70 м. (Ожиданы вы такого ответа?)
a) Указание. Воспользуйтесь методом математической индукции по n; 6) Указание. См. рисунок.

Избушка на куриных ножках

(cm. c. 32)

Вопрос 1. Спички любого слоя прижаты к спикам сцепленного с ним слой давления со стороны каких-то других слов. Существование этого давления возможно благодаря трению между спиками. Для устойчивости необходимо, чтобы слой давления, которое должно развивать слой, не превозходила максимальной силы треня, возможно в данном слое. Ввиду симметрины будем считать силы давления между парами спиками спичек и силы треня между ними одинаковыми для всех спичек и равными, соответственно, P и F_{тр} (равенство слой давления вдоль одного ребра следует из условия равновесия). Пусть в слое N спичек (мы пребеггаем тем, что в разных слоях несколько различаются спиками в 4N-2 местах, поэтому суммарная сила треня для одного слоя F_{1}=(4N-2)F_{тр}. Расмотрим четыре взаимно сцепленных спичек стен. На них сверху инизу давят пол и поток. Легко видеть, что слой этого давления равна 2F_{1}. Она уравновешивается четрьями спиками P, действующими на две верхине (или нижние) спики стен.

Отсюда P = \frac{1}{2} F_{1} = (2N-1)F_{тр}. Условие устойчивости F_{тр}≤μ·P=(2N-1)μ·F_{тр}, где μ—коэффициент треня. Преобразуя, находим (2N-1)μ≥1, 2N-1≥\frac{1}{μ}, N≥\frac{1}{2μ}+\frac{1}{2}.

Принимая для дерева μ=0,25÷0,5, получаем N≥2÷3. Практические построить каркас из

minimalного числа спичек ( $N=2\div 3$ ) крайне трудно, поскольку для этого надо, чтобы все спички были одинаковыми и принадлежы с одинаковой силой. Куб с $N=6\div 8$ , который можно построить из общих спичек, имеет достаточно большой запас прочности.

Вопрос 2. 3/4. Весь куб состоит из трех одинаковых систем параллельных спичек, каждой из которых, как легко видеть, занимает 1/4 объема куба.

Еще одно определение равногоного тетраэдра?
(см. с. 51)

Нет, не обязаан. Пример нам сообщил ученик 10-го класса ФМШ № 18 при МГУ А. Семенов. Оказывался, при данной длине боковой стороны существуют, вообще говоря, два равноведенных треугольника с одним и тем же радиусом вписанной окружности, причем оба они могут быть остроугольными; «пары» нет только у правильного треугольника (для доказательства изучите зависимость радиуса вписанной окружности от длины боковой стороны и угла при осовании). Пусть в tetraэдре ABCD грани ABC и ABD конструкты одному из таких двух треугольников, а CDA и CDB — другому, так что $|AC|=|CB|=|BD|=|DA|$ . Тогда, очевидно, ABCD — неравногранный tetraэдр, удовлетворяющий нуждному свойству.

Раскраска плоскости и теорема
Ван держ Вардена о прогрессиях
(см. «Квант» № 6)

Зафиксируем произвольное разбиение натурального ряда на $N$ классов. Тепер перейдем к координатной плоскости, разбитой на клетки (начало координат поставим в центре какой-нибудь клетки, а оси проведем параллельно осем клетчатой бумаги). Покрасим клетки первого, координатного угла следующим образом: клетку с центром $(i,j)$ , где $i$ и $j$ натуральные числа, показим в цвет, номер которого совпадает с номером класса разбиения натурального ряда, в котором находится число $2^i\cdot j$ . Из теоремы о раскраске (для некоторых прямогольника) следует, что найдется однозвереные клетки с координатами $(a+bi, c+bj)$ , где $i$ и $j=1, 2, ..., n$ . Им соответствует натуральные числа $2^{a+bi}(c+bj)$ , $i=1, 2, ..., n.j=1, 2, ..., n$ , из одного класса разбиения, которые образуют $n$ априфметических прогрессий, с первыми членами $2^{a+bi}(c+b)$ , образующими геометрическую прогрессию длины $n$ .
Решим сразу задачу в). Нужное разбиение образуют множество $A$ — объединение интервалов натурального ряда вида $(2n-1)! \leq a < (2n)!$ и $B$ — объединение интервалов $(2n!) \leq b < (2n+1)!$ .

Дом, который построил…
(см. «Квант» № 6)

Прежде всего построаемся четко формулировать задачу. Внимательно пристмотрещись к самовару, нетрудно заметить, что крышка, из-под которой шел пар, и кран, из которого вытекла холодная вода, находится на разных уровнях. Значит, в верхней части самовара вода горячая, а в нижней — холодная. Возникает естественный вопрос: можно ли нагреть воду таким образом, чтобы вверху она была горячей, а внизу холодной? Вот мы и формулировали задачу. В школьном учебнике для 6—7 классов на странице 142 описан опыт, в котором вода в пробирке нагревается вверху, оставяясь холодной внизу, если пробирка подогреватся только в верхней части. Это происходит вследствие плоской теплопроводности воды и невозможности конвекции при таком способе нагревания. Очевидно, и в самоваре по какой-то причине вода нагревалась только сверху. Поскольку самовар углевой, можно предположить, что почему-либо нижние углы не разогрелись, а горели только верхние.

Задча — шутка
(см. «Квант» № 6)

У человекаушки расположены выше рта, поэтому путь звуковой волны от верхнего крикана к нижнему короче, чем путь от нижнего к верхнему, значит, нижний услышит верхнего равны, чем верхний нижнего.

Этот ответ производит неизгладимое печатание на специальность по теории гравиатизации, особенно после того, как они затратят несколько часов на расчет взаимодействия звуковой волны с неоднородным гравиатическим полем. Из состояния, в которой они после этого владают, их можно вывести с помощью легкого постуквиания по спине.

Четвертая страница обложки
(см. «Квант» № 6)

Пятнадцать кубов собираются из следующих пар: 1 — $\delta$ , 2 — $\jmath$ , 2 — $n$ , 4 — $\varepsilon$ , 5 — $\zeta$ , 6 — $\kappa$ , 7 — $\delta$ , 8 — $\alpha$ , 9 — $\theta$ , 10 — $\mu$ , 11 — $\nu$ , 12 — $\epsilon$ , 13 — $\omega$ , 14 — $\mu$ , 15 — $\lambda$ .

«Квант» для младших школьников
(см. «Квант» № 5)

Книга стоит два рубля.
Обозначим число, стоящее в верхнем кругочке, через $x$ , а сумму тройки чисел на каждой «отрезке» через $y$ . Сумма этих сумм по всем «отрезкам» равна 5 $y$ , при этом каждое из чисел в кругочках входит в эту сумму по два раза, кроме числа $x$ , которое входит три раза. Отсюда $5y=2(1+2+3+4+5+6+7)+x$ , или $5y=56+x$ . Если мы сложим числа лишь по горизонтальным «отрезкам», то получим сумму чисел из семи, то есть 28—x. Отсюда $2y=28—x$ . Сложив полученные уравнения, получим $7y=84$ , откуда $y=12$ и $x=4$ . Остальные числа могут быть расставлены 12 способами. Однако из расстановок таких: во второй строке стоит числа 1, 2, 5, а в третьей 7, 6, 3.
На 48. Каждый из чисел делится на 2, по крайней мере одно число делится на 4 и хотя бы одно число делится на 3. То, что не существует большого числа, показывает пример: $2\cdot 4\cdot 6=48$ .
Первый выгрывает. Для этого ему нужно поставить «крестик» в центре. Тогда противник обязает ставить «нулик» (иначе он противный играет, поставив симметричный (относительно центра) «нулик»).
Комочки грязи, попадая на сухое стекло, образуют на нем небольшие загрязнен-

Около трех лет понадобилось алхирскому умельцу
Али Беннари, чтобы собрать из спичек макеты
здания столчного главпочта, шеститажного здания в мавританском стиле, кафедрального собора иBeiского двора («Правда», 23 апреля 1983 г.).
В течение дня мы можете построить из спичек — без клей и без всяких крепежных приспособлений — «избушку на курых ножках», фотораффицию которого вы здесь видите. Как это сделать, рассказывается в разделе «Наша обложка».