О целочисленных точках кривых вида x^n + y^n = c^n

58

ные выше последовательности нуля и единиц).

Рихард Мизес сделал попытку положить свою концепцию случайности в основу теории вероятности, но на толкнулся на серые логические трудности. Убедительную критку его подхода дал советский математик А. Я. Хинчин, а удовлетворительное обоснование теории вероятности было получено в 1933 г. А. Н. Колмогоровым на другом пути — аксиomatическим методом.

Однако порожденное Мизесом направление исследовании, посвященное делению последовательности

на «случайные» и «неслучайные», оказалось плодотворным. В начале семидесятых годов А. Н. Колмогоров, воспользовавшись идеями теории алгоритмов, дал убедительное определение этих понятий.

Рихард Мизес родился 100 лет назад во Львове. Окончив Венский университет, он затем был профессором Страсбурского и Берлинского университетов. С 1933 г. Мизес работал профессором Стамбульского университета, с 1939 г. — в Гарварде (США). Умер Мизес в 1953 г.

А. Х. Шень

О целочисленных точках кривых вида

$$x^n + y^n = c^n$$

Если $c$ — целое число, то окружность

$$x^2 + y^2 = c^2$$

(1) обязаательно проходит через точки с целыми координатами, например через точки $(0, \pm c)$ и $(\pm c, 0)$, лежащие на осах координат. Okружность (1) может проходить и через целочисленные точки, не лежащие на осах координат, например, при $c = 5$ — через точки $(3, 4), (4, 3)$ *).

А может ли кривая

$$x^n + y^n = c^n$$

(2) (где $n \geqslant 3, c > 0$) проходить через целочисленную точку $(x, y)$ при $x > 0$ и $y > 0$? В общем виде ответ на этот вопрос неизвестен, однако мы докажем следующее утверждение:

Для любого целого положительного $c$ можно указать такой номер $N$, начиная с которого (то есть при $n \geqslant N$) кривая (2) не проходит через целочисленные точки,

*) Если окружность (1) проходит через целочисленную точку $(x_0, y_0)$, то трейка чисел $(x_0, y_0, c)$ называется nuфагоровой. О пифагоровых трейках можно прочитать в «Кванте», 1981, № 4, с. 39 и 1979, № 4, с. 38.

не лежащие на осах координат.

Почему это так? Изучение графика кривой (2) при $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ называется на мысль, что при достаточно большом $n$ эта кривая прижимается к ломаной $ABC$, звенья которой идут по прямым $AB$ и $BC$, заданным соответственно уравнениями $y = c$ и $x = c$, где $c$ — целое (рис. 1). Но внутри «красного коридора» ширины 1, ограниченного ломаной $ABC$, осями координат и ломаной $A_1B_1C_1$ (см. рис. 1), уже нет целочисленных точек, а наша кривая целиком лежит в этом коридоре при достаточно большом $n$.

Основываясь на этих наглядных сообщениях, приведем теперь строгое доказательство формулированного утверждения.

Пусть данное целое $c > 0$; кривая (2) пересекает оси координат в точках $(c, 0), (0, c)$. Ее точка пересечения $T$ с биссертрикой первого квадрата имеет абсциссу $x = \frac{c}{\sqrt{2}}$. Чтобы кривая целиком оказалась внутри «красного коридора» (рис. 2), достаточно по требовать, чтобы $c - 1 < \frac{c}{\sqrt{2}}$.

А последнее неравенство будет выполненным, если мы выберем

$$n > \frac{\ln 2}{\ln c - \ln(c - 1)},$$

что всегда можно сделать, так как права часть неравенства — постоянная. В «коридоре» нет целочисленных точек. Значит, наша кривая не проходит через целочисленные точки, не лежащие на осах координат, что и требовалось.

А. Г. Маневич