57
Что такое служность?
Купив билет в автобусе, вы обнаруживаете, что его номер состоит из одних семерок. Удивительно, неправда ли? Конечно! Ведь не каждый же день такое было! А теперь представьте себе, что номер билета — 830877. Наверное, ничего удивительного вы в этом не найдете. А почему, собственно? Ведь и номер 777777, и номер 830877 встречаются одинаково часто (лучше сказаать, одинаково редко) — в одном случае из миллиона. Так почему же мы поразному воспринаем их появление?
Почему, если наш партнер выбросит на игральной кости десять шестерок подряд, мы подозреваем что-то неладное, а если он выбросит 2, 6, 2, 1, 2, 6, 4, 5, 1, 3, у нас подозрения не возникнет?
Почему одна последовательность каждой из «служными», а другой (например, шестерок) — нет? Можно ли дать точное математическое определение служности?
Впервые такое определение было предложено в 1919 году немецким математиком и физиком Рихардом Мизесом. Мы не имеем возможности изложить его во всех деталях, но поставляемся объяснить замысел.
Рассмотрим для простоты последовательности, состоящие только из «нулей» и «единиц». В каком случае мы согласны считать такую последовательность служной? Например, если мы будем многократно добавывать обык к нов вен н у ю монету и записьвать результаты («орел» — 1, «решка» — 0), полученная последовательность должна быть служной.
Прежде всего, ясно, что в случае новой последовательности должно быть примерно одинаковое число нуля и единиц; поэтому последовательность из одних нуля, как и последовательность из одних единиц, не служна.
Хотя последовательность
0101010101…
и содержит равное число нуля и единиц, вряд ли кто-нибудь считет ее служной. Что в ней плохого? Например, то, что в ней ни разу не встречается двух подряд и душих нуля или двух единиц, в то время как в случае новой последовательности комбинации 00, 01, 10, 11 должны встречаться одинаково часто. Но и требования равной части появления всех комбинаций одинаковой длины мало.
Выпишем подряд числа 0, 1, 2, 3, … в двойной системе — получится последовательность
011011100101110111000…
Можно доказать (попробуйте!), что «в пределе» для любого все комбинации из нуля и единиц длины будут встречаться в этой последовательности одинаково часто. Но, несмотря на это, вряд ли кто-нибудь согласится считать ее служной.
Так что же такое служная последовательность? Мизес предположил такой подход к определению этого понятия. Будем выбирать из последовательности некоторых ее членов, руководствуясь каким-то правилом. Например, разрешается выбрать все члены с четыыми номерами или все члены, номера которых — простые числа. Разрешается также, решая вопрос о том, выбирать или нет какой-то член, учитывать значения предыдущих членов последовательности. Например, можно отбрать те члены, перед которых идут две единицы подряд (No равило «выбрать те члены, которые сами равны единице», не допускается!) Так вот, служная по Мизесу последовательность должна быть такой, что при любом правилам выбора нуля и единиц встречаться среди выбранных членов одинаково часто. (Это требование, как можно проверить, запрещает считать служными приведен-