Решения задач М796—М798; Ф808—Ф812

46

the ammeter then? The battery is assumed ideal, the resistance of the wires is 2 Ohm.

A. R. Zilberman

P826. Far-away objects are viewed through a convergent lens of focal distance $F=9$ cm, the eye being located at the distance $a=36$ cm from the lens. Estimate the minimal size of a screen which, if placed behind the lens, would entirely cover the field of vision. Where should the screen be placed?

D. V. Belov

P827. A cube with side $a$ moves with velocity $v=0.8$ c (where $c$ is the velocity of light) in a direction perpendicular to one of its faces. What will we see on a photograph of the cube taken by a far-away camera with a very short exposure, if the optical axis of the camera is perpendicular to a face of the cube and intersects the trajectory of its centre (figure Pric. 3)?

D. Ju. Grigoriev

Решения задач

M796—M798; Ф808—Ф812

ОТВЕТ: $\widehat{APB}=135^\circ$. Повернем $\triangle ABP$ вокруг точки $B$ на $90^\circ$ так, чтобы вершина $A$ совместилась с $C$ (см. рисунок). Пусть вершина $P$ перейдет при этом в точку $Q$. Тогда $|PQ|^2=2|BP|^2=8|AP|^2$ ($\triangle BPQ$ равноведенный прямогольный), а $|QC|=|PA|$. Следовательно, $|PQ|^2+|QC|^2=9|AP|^2=|CP|^2$, то есть $PQC$ прямогольный треугольник с прямым углом $PQC$. Отсюда $\widehat{APB}=\widehat{CQB}=\widehat{CQP}+\widehat{PQB}=90^\circ+45^\circ=135^\circ$.

Имеется и менее искусственное (но более громоздкое) решение с помощью метода координат. Примем прямые $AB$ и $AD$ за оси координат; пусть $(x, y)$ — координаты точки $P$. Тогда, считая сторону квадрата равной 1, получим: $|AP|^2=x^2+y^2$, $|BP|^2=x^2+(1-y)^2$, $|CP|^2=(1-x)^2+(1-y)^2$. По условию $|AP|^2:|BP|^2:|CP|^2=1:4:9$, отсюда легко найти $x$ и $y$, а затем и искому угол.

Л. Д. Курляндчик

M797*. Известно, что последним цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры 0, 1, 4, 5, 6 и 9. Верно ли, что перед последней цифрой в них может встретиться любая группа цифра, то есть что для любого набора из $n$ цифра $a_1, a_2, \dots, a_n$ можно найти целое число, квадрат которого окачивается цифрами $a_1a_2\dots a_nb$ (еде b — одна из перечисленных выше цифр)?

ОТВЕТ: Нет. Мы приведем два доказательства этого факта.

Первое доказательство. Пусть $A_n$ — число всех комбинаций из $n$ цифра, на котором окачивается точный квадрат. Мы показем, что если $n \geq 4$, то $A_n<10^n$. Из этого будет вытекать наше утверждение: даже если бы каждая комбинация $a_1, \dots, a_n$ встретилась в сочетании лишь с одним $b$, уже было бы $A_n=10^n$. Чтобы получить все $n$-значные окончания квадратов, очень надо, достаточно рассмотреть квадрат только $n$-значных чисел. Разобем эти $10^n$ чисел (от 0 до $10^n$-1) на классы, собирая в один класс все числа с одинаковым $n$-значным окончанием квадратов ($p$ и $q$ входят в один класс, если $p^2-q^2$ делится на $10^n$). Тогда $A_n$ равно числу таких классов; исходя из этого мы и будем оценить $A_n$.

Рассмотрим по отдельности три групп $n$-значных чисел: (1) числа, делящиеся на $5^n$ (ихровно $2^n$); (2) нечетные числа, не делящиеся на $5^n$ (их меньше чем $0,5 \cdot 10^n$); (3) четные числа, не делящиеся на $5^n$ (их тоже меньше чем $0,5 \cdot 10^n$). Количество чисел в первой группе мало по сравнению с $10^n$. Для нас важно, что они дают попарно разные остатки при делении на $2^n$ (потому что $k \cdot 5^n-l \cdot 5^n=(k-l) \cdot 5^n$ не может делиться на

47

2$^n$ при $1 \leqslant l < k \leqslant 2^n$), и следовательно, среди этих остатков по одному разу встречаются всевозможные остатки отделения на $2^n$. Пусть, далее, $m$ — число из второй группы. Найдем в первой группе числа $k_1 \cdot 5^n, k_2 \cdot 5^n, k_3 \cdot 5^n$ и $k_4 \cdot 5^n$, дающие при делении на $2^n$ такие же остатки, как $2m, 2^{n-1}+2m, 2^n-2m$ и $2^{n-1}-2m$. Тогда квадраты 8 чисел $m, 10^n-m, 0,5 \cdot 10^n \pm m, k_1 \cdot 5^n-m, k_3 \cdot 5^n+m$ и $k_4 \cdot 5^n+m$ (они выписаны на полях) имеют одинаковые $n$-значные окончания при $n \geqslant 4$. Действительно, поскольку $0,25 \cdot 10^n$ — целое число ($n \geqslant 4$), $k_i$ — четные числа, а числа в синей рамке на полях делятся на $2^n$, все числа в красной рамке делятся на $10^n$. Таким образом, классы чисел второй группы содержат по крайней мере по 8 элементов, поэтому их число меньше, чем $0,5 \cdot 10^n/8$. Точно так же при $n \geqslant 4$ классы чисел третьей группы содержат по крайней мере по 16 элементов. (Каждай класс вместе с числом $m$ содержит числа $10^n-m, 0,25 \cdot 10^n \pm m, 0,5 \cdot 10^n \pm m, 0,75 \cdot 10^n \pm m, k_1 \cdot 5^n-m, ..., k_4 \cdot 5^n-m, k_5 \cdot 5^n+m, ..., k_8 \cdot 5^n+m$, где $k_1, ..., k_8$ выбранны так, что числа $k_1 \cdot 5^n, ..., k_8 \cdot 5^n$ дают при делении на $2^n$ те же остатки, что и числа $2^n, 2^{n-2}+2m, 2^{n-1}+2m, 3 \cdot 2^{n-2}+2m, 2^n-2m, 2^{n-1}-2m, 3 \cdot 2^{n-2}-2m$.) Таким образом, число классов в группе (3) меньше $0,5 \cdot 10^n/16$, а общее число классов $A_n < 2^n + \frac{0,5 \cdot 10^n}{8} + \frac{0,5 \cdot 10^n}{16} = 10^n \left( \frac{1}{5^n} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} \right) \leqslant 10^n \left( \frac{3}{32} + \frac{1}{5^4} \right) = 0,9535 \cdot 10^{n-1} < 10^{n-1}$.

Попробуйте найти $\lim_{n \to \infty} A_n/10^{n-1}$.

Второе доказательство. Оно короче первого, но менее почительно. Иммет место следующий факт:

если предпоследняя цифра точного квадрата нечета, то последняя равна 6.

В самом деле, из равенства $(10a+b)^2 = 100a^2 + 20ab + b^2$ видно, что предпоследняя цифра квадрата любого числа и предпоследняя цифра квадрата его последней цифры имеют одну и ту же четность. Но квадрата однозначного числа предпоследняя цифра нечета только в двух случаях: $4^2 = 16$ и $6^2 = 36$.

Теперь показем, что точный квадрат не может кончаться на 005$b$. Действительно, по доказанному такой квадрат должен быть имеет окончание 0056, и тогда он давал бы остаток 8 при делении на 16, что, очевидно, невозможно (квадрат числа, делящегося на 4, делится на 16, а квадрат числа, не делящегося на 4, не делится на 8).

Предлагаем читателю самостоятельное исследование $n=2$ и 3 подробнее. Докажите, что а) для любого числа $a_1a_2$ найдется точный квадрат с окончанием $a_1a_2b$; б) точный квадрат может кончаться на $a_1a_2a_3b$ (при неоктором $b$) в том и только том случае, когда трехзначное число $a_1a_2a_3$ дает при делении на 8 остаток, не равный 5 или 7.

Приведем еще одну задачу на эту тему, присланную в редакцию Д. Федоровым: докажите, что число вида $aa...ab$, где $b=a+1$, не может быть точным квадратом.

Д. Б. Фукс

◆ Допустим сначала, что красные отрезки друг с другом не пересекаются, и показем, что тогда каждый из них пересекается хотя бы с одним снимом, то есть число красно-синих пересечений не меньше $k$. Возьмем любой красный отрезок $AB$ и одну из стягиваемых им друг. Число красных точек на ней четно (потому

48

ми отрезками, а 2k синих — к синimi отрезками (никаче три отрезка не пересекаются в одной точке). Доказите, что найдется по крайней мере k точек пересечения красных отрезков с синими.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф808. Моторная лодка, находящая в точке A на расстоянии R от берега озера, начинает разворот, двidaясь со скоростью v=18 km/ч по окружности радиуса r=R/2; в начальной момент скорость лодки направлена к берегу. Волна от лодки до берега через время t=3 мин после начала разворота. Скорость распространения волна от лодки по поверхности воды равна u=9 km/ч. Найти расстояние R.

Ф809. Цилиндрический бак наполнен доверху жидкостью плотности q. Сверху бак плотно закрыт крышкой радиуса R. Снизу в бake имеет отверствие площади s, закрытое пробкой массы m (см. рисунок).

Что любая из них должна быть соединена отрезком с точкой той же дуги), следовательно, число синих точек на этой дуг нечетно. Поэтому один из начинающихся на ней синих отрезков должен пересечь AB.

Телерь показет, что любую систему красных и синих отрезков можно «распутать» — заменить новый, в которой красные отрезки попарно не пересекаются, не увеличивая при этом числа красно-синих пересечений. Пусть AC и BD — пересекающие красные отрезки. Заменим их красными отрезками AB и CD (рис. 1). Ясно, что любой отрезок (красный или синный), пересекающийся с отрезком AB или с отрезком CD, имеет с ним общим столктою же точек пересечения, сколько с AC и BD. Поэтому при замене число красно-синих пересечений не увеличивается, а число красно-синих пересечений уменьшается по крайней мере на 1. После нескольких таких операций мы получим систему отрезков, в которой красные отрезки попарно не пересекаются, а число красно-синих пересечений не больше исходного и в то же время, как было доказано вначале, не меньше k.

Легко построить пример системы отрезков, имеющей k красно-синих пересечений (рис. 2).

С. В. Фомин

◆ Рассматривая лодку как источник волн, распространяющая из каждой точки траектории лодки, найдем ту точку C, из которой волна дойдет равше всего до берега. Положение точки C определяется из условия равенства скорости распространения волн и проекции скорости лодки на направление «к берегу» (ось X на рисунке):

$$u = v_x = v \sin \alpha \Rightarrow \sin \alpha = u/v = 1/2,$$

то есть $\alpha = 30^\circ$. Рассмотрение от точки C до берега равно

$$l = R - r \cos \alpha = R - \frac{R}{2} \cos \alpha = R \left( 1 - \frac{1}{2} \cos \alpha \right).$$

Время t₁, которое требуется волне, чтобы дойти из точки C до берега, равно

$$t_1 = l/u = \frac{R}{u} \left( 1 - \frac{1}{2} \cos \alpha \right).$$

Время t₂, в течение которого лодка должна от точки A до точки C, равно

$$t_2 = \frac{2\pi r}{v} \cdot \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{\pi R}{6v}.$$

Полное время, через которого после начала разворота волна дойдет до берега, равно

$$t = t_1 + t_2 = \frac{R}{u} \left( 1 - \frac{1}{2} \cos \alpha \right) + \frac{\pi R}{6v}.$$

Отсюда находится R от точки A до берега:

$$R = \frac{6tuv}{3v (2 - \cos \alpha) + \pi u} \approx 545 \text{ м.}$$

А. И. Буздин

◆ Давление в жидкости во врашающем бake на одной и той же глубине будет разным в центре сосуда и у стенок — давление нарастает по мере удаления от центра. Найдем, на сколько отличается давление у стенок от давления в центре.

Выделим мысленно тонкий горизонтальный столбик жидкости с площадью поперечного сечения σ (см. рисунок).

49

Чтобы вытащить пробку из бака, нужно приложить сили f. С какой максимальной угловой скоростью можно вращать бак вокруг вертикальной оси так, чтобы пробка не вылетала?

Центр масс этого стольника движется по окружности радиуса $R/2$. Запишем уравнение движения стольника:

$$\varrho R \omega^2 \frac{R}{2} = \Delta p \cdot \sigma$$

($\varrho R \sigma$ — масса стольника, $\Delta p \cdot \sigma$ — результатрушающая сил давления, действующих на стольник справа и слева). Таким образом, давление в жидкости у стенки больше давления в центре на вершину

$$\Delta p = \frac{1}{2} \varrho \omega^2 R^2.$$

Позному сила, действующая на пробку со стороны жидкости, равна

$$F = s \left( p_0 + \varrho g H + \frac{1}{2} \varrho \omega^2 R^2 \right),$$

где $p_0$ — атмосферное давление, $H$ — высота бака.

Запишем уравнение движения пробки:

$$m \omega^2 R = p_0 s + F_{\text{тр}} - s \left( p_0 + \varrho g H + \frac{1}{2} \varrho \omega^2 R^2 \right).$$

Как следует из условия, пробка вылетает из бака при $F_{\text{тр}} = f + s \varrho g H$. Учитывая это, найдем угловую скорость вращения, при которой пробка вылетит:

$$\omega = \sqrt{\frac{f}{m R + \frac{1}{2} s \varrho R^2}}.$$

В. И. Комов

Ф810. Имеется нарезатель с рабочей температурой $t_H = 700^\circ\text{C}$. Температура окружающей среды — $t_0 = 20^\circ\text{C}$. Какое минимальное количество тепла необходимо забрать у нарезателя, чтобы испарить $m = 3$ ккв. воды, нарезой до температуры кипения ($t_1 = 100^\circ\text{C}$)? Удельная температура нарезавания воды $r = 2,26$ МДж/кг.

При непосредственной передаче тепла от нагреваателя к воде для испарения массы воды $m$ необходимо получить от нагреваателя количество тепла $Q_0 = mr$.

Попытаемся уменьшить эту величины, воспользовшись тем фактом, что тепловой насос (то есть тепловая машина, работающая по обратному циклу) может перекачивать большое количество тепловой энергии от холодного тела к горячему при малых затратах механической энергии, если перепад температур неVELK.

Представим себе устройство для испарения воды, состоящее из идеального тепловой машины $M$ и идеального теплового насос $H$, включенных так, как показано на рисунке 1. Машина забирает у нагреваателя количество теплла $Q_1$ и передает горячей воде количество теплла $Q_2$, совершая при этом работу $A$. тепловой насос $H$, использует работу $A$, забирает у окружающей среды количество теплла $Q_3$ и передает горячей воде количество теплла $Q_4$.

Рассчитаем суммарное количество теплла $Q_2 + Q_4$, получаем водой. Козффициент полезного действия машины $M$ равен

$$\eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{T_H - T_1}{T_H}.$$

Отсюда

$$A = Q_1 \frac{T_H - T_1}{T_H}, \quad Q_2 = Q_1 \frac{T_1}{T_H}.$$

Так как тепловой насос $H$ — идеальная тепловая машина, работающая по обратному циклу, то для него можно аналогичным образом записать

$$\frac{A}{Q_4} = \frac{T_1 - T_0}{T_1} \Rightarrow Q_4 = A \frac{T_1}{T_1 - T_0} = Q_1 \frac{(T_H - T_1) T_1}{T_H (T_1 - T_0)}.$$

Таким образом,

$$Q_2 + Q_4 = Q_1 \frac{T_1}{T_H} \frac{T_H - T_0}{T_1 - T_0}.$$

50

Для того чтобы испарить воду, необходимо, чтобы суммарное количество переданного ей тепла было равно $Q_2 + Q_4 = Q_0$. Следовательно, машина M должна забирать у нагревателя количество тепла

$$Q_1 = Q_0 \frac{T_H(T_1 - T_0)}{T_1(T_H - T_0)} \approx 0.31 \text{ mr.}$$

Таким образом, при использовании идеального теплового насоса (холодильника) $Q_1$ оказывается значительное меньше количество тепла, необходимого для испарения воды.

Из формулы для КПД теплового насоса следует, что при $\frac{T_1 - T_0}{T_1} \ll 1$ можно использовать теплую энергию окружающей среды (на испарение, нагрев и т. д.), затрачивая при этом малое количество механической, электрической или какой-либо другой нетелевой энергии. Однако на практике тепловые насосы (холодильники) пока далеко от идеальных, и их использование в качестве нагревающих элементов еще не нашло широкого распространения.

Интересно отмечать, что результат (*) получится в том случае, если машина M будет работать между нагреванием и окружающей средой (рисунок 2).

О. С. Рабинович

Ф811. В общий схеме однополуперiodного выпрямителя (рис. 1) $C = 1000$ мкФ, $R = 500$ Ом. Частота сети $v = 50$ Гц. Считая диод идеальным, найти:

1. величины коэффициента пульсации напряжения $k = \frac{\Delta U}{U}$ на резисторе $R$;
2. во сколько раз уменьшится коэффициент $k$, если последовательно с резистором включить катушка индуктивности $L = 100$ Гц.

Рис. 1.

Рис. 2.

1. При выбранных параметрах $C$ и $R$ заряд конденсатора меняется незначительно, поэтому ток разряда конденсатора можно считать постоянным. Тогда

$$\Delta U = \frac{\Delta q}{C} = \frac{I \cdot \Delta t}{C} = \frac{U \cdot \Delta t}{RC}.$$

Значит,

$$k = \frac{\Delta U}{U} = \frac{\Delta t}{RC}.$$

Если конденсатор разряжается мало, то он подзаряжается в моменты максимального положительного напряжения в сети (рис. 2), то есть

$$\Delta t = T = \frac{1}{v}.$$

Следовательно,

$$k = \frac{1}{vRC} = 0.04.$$

2. При подсоединении катушки индуктивности коэффициент пульсаный становится еще меньше (индуктивность большая: $2\pi vL \gg R$). Ток нагрузки тем более можно считать постоянным; значит, напряжение на конденсаторе будет меньше по тому же закону, что и в первом случае. При этом напряжение на катушке будет почти компенсировать изменения напряжения на конденсаторе. Ток через катушку в течение периода сети будет меньше по параболическому закону (ЭДС индуктивности по линейному закону), причем максимальное значение тока будет в середине периода:

$$\mathcal{E} = \frac{\Delta U}{T} t \quad (\text{при } t \in [nT, (n+1)T])$$

$$I = l_0 - \frac{\Delta U}{T} \frac{1}{L} \frac{1}{2} t^2.$$

Пульсации в этом случае определяются изменениями тока: $\Delta U_1 = R \cdot \Delta I$. Поскольку

$$\Delta I = I_{\max} - I_{\min} = \frac{1}{2} \frac{\Delta U}{LT} \frac{T^2}{4} = \frac{1}{8} \frac{UT^2}{LRC}$$

($\Delta U = \frac{UT}{RC}$), окончательно получаем: