Постоянная становится переменной

52

Постоянная становится переменной

С. С. ВАЛЛАНДЕР

Пояснить асимптотическое поведение решения при $12 \rightarrow \infty$.

(Г. Дж. Липкин, из сборника «Физики шутят», М., «Мир», 1966)

В серьеных математических работах часто и в современно различных ситуациях встречается следующая идея: зафиксировать переменные величины и менять постоянные. В этой заметке мы показем, как с помощью этой идеи решается задача М7996):

Найдите два решения уравнения
$$3^x + 3^{x^2} = 2^x + 4^{x^2}$$

и доказите, что у него нет других решений.

Это внешне эффективное уравнение какется малоприсособленным к решению элементарными методами. Obviously уравнение подобного вида решается из сообщений монотности. Для примера рассмотрим решение задачи М799a): Найдите одно решение уравнения $3^{x+1} + 100 = 7^{x-1}$ и доказите, что у него нет других решений.

Искомый корень легко угадаать: $x=4$ (проверьте!). А других решений нет, потому что, разделив обе части уравнения на $3^{x-1}$:

$$9 + 100 \cdot 3^{-x+1} = (7/3)^{x-1},$$

мы получим в левой части убывшуюую функцию от $x$, а в правой — возрастаюшую.

Однако применить сообщения монотности к уравнению (1), судя по всему, трудно (хотя нельзя, конечно, исключать возможность того, что более хитрые рассудения этого типа могут привести к целю). Действительно, уравнение (1) имеет два решения — $x=0$ и $x=1$. Как же доказать, что других решений у него нет?

Попробуем воспользоваться тем, что левая и правая части уравнения имеют положую структуру $a^x + b^x$, причем сумма оснований в обеих частях одна и та же $(a+b=6)$ — благодаря этому уравнение имеет решение $x=1$. Запишем уравнение (1) в виде
$$3^x + (6-3)^{x^2} = 2^x + (6-2)^{x^2}$$

и рассмотрим функцию $f(t) = t^x + (6-t)^{x^2}$ (Это решаюший момент: в исходном уравнении мы фиксируем переменную и начинаем менять постоянные). Мы должны доказать, что равенство (3), то есть $f(3) = f(2)$, невозможно при $x \neq 0$ и $x \neq 1$. Для этого достаточно установить, что при каждой значении $x$, кроме 0 и 1, функция $f(t)$ monotonна, по крайней мере на промежутке $2 \leq t \leq 3$.

Найдем произвольную (по $t!$) функция $f: f'(t) = xt^{x-1} - x^2(6-t)^{x^2-1}$ и показем, что она сохраняет знак на отрезке [2; 3] (при $x \neq 0$; 1). Разберем отдельно три случая — $x<0$, $0 < x < 1$ и $x > 1$.

При $x < 0$, очевидно $f'(t) < 0$; следовательно, $f(t)$ убивает и $f(2) > f(3)$.

При $0 < x < 1$ и $t \leq 3$ имеем $6-t \geq 3$ и $x^2(6-t)^{x^2-1} < x(6-t)^{x^2-1} \leq x3^{x^2-1} < xt^{x^2-1}$, то есть $f'(t) > 0$ и $f(3) > f(2)$.

Наконец, при $x > 1$ и $t \leq 3$
$$x^2(6-t)^{x^2-1} > x(6-t)^{x^2-1} \geq x3^{x^2-1} > xt^{x^2-1}$$
то есть $f'(t) < 0$ и $f(2) > f(3)$.

Итак, уравнение (3) (или (1)) не имеет корней, отличных от 0 и 1.

Точно так же можно доказать, что любое уравнение вида $a^x + (2k-a)^{x^2} = b^x + (2k-b)^{x^2}$ при $0 < a < b \leq k$, и $k > 1$ имеетровно два решения — 0 и 1 (в нашей задаче $b=k=3$, $a=2$).

Приведем еще одно решение задачи М7996), опирающееся на ту же идею. (Его нашли некоторые читатели).

Отсутствие отрицательных корней уравнения (1) вытекает из того, что при $x < 0$ $3^x < 2^x$ и в то же время $3^{x^2} < 4^{x^2}$. При $0 < x < 1$ рассмотрим функцию $g(t) = (t+1)^{x-1} - t^{x-1}$. Поскольку $g'(t) = x((t+1)^{x-1} - t^{x-1}) < 0$, функция $g(t)$ убивает. Следовательно, $g(3) = 4^x - 3^x < g(2) = 3^x - 2^x$. А так как $4^x - 4^{x^2} = 4^x(4^x - 1) > 3^x(3^x - 1) = 3^x - 3^{x^2}$, справедливо неравенство
$$3^x - 2^x > 4^x - 3^x > 4^{x^2} - 3^{x^2}.$$

Позному $3^x + 3^{x^2} > 2^x + 4^{x^2}$. Аналогично разберется структей $x > 1$ — с той разницей, что в (4) вместо знаков > получаются знаки <.

В заключение сформулируем сходную по условияю, но более сложную задачу:

Сколько решение имеет уравнение $3^x + 3^{x^2} = 4^x + 2^{x^2}$?