Следы на песке и... строение вещества

Квант 1986, №1 с. 13, 14, 15, 16, 18, 21 Тег TRC1

Следы на песке и…строение вещества

Доктор физико-математических наук
Л. Г. АСЛАМАЗОВ

Изо всех двухсот миллиардов мужчин, женщин и детей, которые когда-либо прошли по влажному песку с современная мира до собраня Британской Ассоциации в Абердине в 1885 г., сколько найдется таких, которые на вопрос «Сжался ли песком под вашей ногой?» ответили бы индуче, чем «да»!
Лорд Кельвин, Балтийорские лекции, 1904 г.

А задумывались ли вы над ответом на этот вопрос? На первый взгляд кажется, что, утрамбовивая песк, мы всегда делаем его более плотным, затемляем песчики теснее прижатся друг к другу. Но в действительности дело может обстоятель itself. И доказательство этому — следы, которые остаются на некоторых временах, когда ступаешь по мокрому песку у берега моря или реки. Вот что говорил по этому поводу О. Рейнольдс — ученый, известный своим работами по гидродинамике, — в докладе на собрании Британской Ассоциации в 1885 г.: «Когдаhora надавливает на песк, плотный после щедшего прилива, участок, находящийся вокруг ноги, точас же становится сухим… Надавливание ноги разрыхляет песк, и чем сильнее оно, тем больше воды уходит… Оно делает песк сухим до тех пор, пока сизу не прибудет достаточно количество воды».

Так почему же в результате надавливания увеличивается пространство между песчиками, и имеющейся воды уже недостаочно, чтобы заполнить его? Этот вопрос не случайно волновал ученых XIX века. Ответ на него имеет самое прямое отношение к atomному строению вещества. Да-

вайте и мы попробем разобратья в этом вопросе.

Плотная упаковка шаров

Можно ли заполнить твердыми шарами все пространство? Разумеется, нет — между ними всегда остатся свободные промежутки. Доля пространства, занимаемого шарами, называется плотностью их упаковки. Чем тестие расположены шары, чем меньше свободного места между ними, тем больше плотность упаковки. Когда же достигается максимальная плотность упаковки одинаковых твердых шаров? Ответ на этот вопрос дает ключ к разгадке «тайны» следов на песке.

Исследуем вначале более простой случай — упаковки одинаковых кругов на плоскости. Плотной упаковки кругов можно достичь, вписывая их в мозаки, составленные из правильных многоугольников, заполняющих всю плоскость. Существуют только три способа построения таких мозаки — из правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. Упаковки кругов с использованием квадратной и шестиугольной мозки показаны на рисунке 1. Далее «на глаз» видно, что второй способ более экономичен. Точный расчет (выполне смотете проверisti его сами) показывает, что в этом случае кругами заполнен примерное 90,7 % плоскости, в то время как в первом случае — только около 78 %. Шестугольный способ упаковки на плоскости — самый плотный. По-видимому, из-за этого его и используют пчелы при построении сот.

Плотную упаковку шаров в пространстве можно осуществить следующим образом. Расположим на плоскости первый слой шаров уже известным нам наиболее плотным способом. Затем можно положить на них второй такой же слой. Если располагается каждый шар верхнего слоя в точности над нижним, так что все шары оказываются вписанными в кубические соты, то слишком много пространства оказывается неиспользовным. При таком способе упаковки заполняется только 52 % пространства.

Ясно, как можно упаковать шары плотнее. Для этого верхний шар надо располагаать в лунке, образованной треярем соседними нижними шарами. Но при этом верхние шары не смогут заполнить все лунки — одно из двух соседних углублений всегда свободным (рис. 2). Поэтому, когда мы укладываем третий слой шаров, сделать это можно будет двумя способами: либо расположить шары третьего слоя над теми углублениями в первом слое, которые шары второго слоя оставили свободными (центр одного из шаров на рисунке 2, будет нахождение в точке A), либо — как раз над шарами первого слоя (при этом центр одного из шаров третьего слоя оказывается в точке B). Для последующих слояов сохраняется. В результате получаем два способа упаковки шаров, показанные в пространстве на рисунке 3. В общих случаях шарами заполнен около 74 % пространства.

Рис. 1. Упаковка равных кругов на плоскости в ячейки правильных мозаки.

Рис. 3. Пространственная картина, показывающая 2 способа плотной упаковки шаров.

Рис. 4. Кубоктаэдр Кеплера.

Легко подсчитать, что при таком способе упаковки каждый шар соприкается с 12 соседними шарами. Точки соприкосновения образуют вершины четырнадцатигранника. Его грани — чередующеся квадраты и равносторонние треугольники. Так, при втором способе плотной упаковки получается кубоктаэдр Кеплера, показанный на рисунке 4.

До сих пор мы рассматривали лишь такие способы упаковки шаров, при которых они вписываются в перiodические «соты». А можно ли достичь плотной упаковки, отказывшись от этого условия? Один из способов показан на рисунке 5. Шары в каждой плоскости расположены по сторонам правильных пятугольников (пентагонов). В каждом pentагоне соседние шары касаются друг друга, но шары, относительно к разным pentагонам одной плоскости, разделены в пространстве. Стороны pentагонов чередующеся слоев попеременно содержат четыре и нечетное число шаров. Коэффициент заполнения пространства в такой структуре равен 72 % и лишь немного уступает случую плотной упаковки, показанному на рисунке 2. Можно упаковать шары, не образуется из центров решетку, более плотно, достигив коэффициента заполнения 74 %, однако существуют ли еще более плотные упаковки — этот вопрос остается открытым до сих пор.

Вернемся к следующим напеске. Мы теперь знаем, что существуют особые упаковки шаров, при которых остается очень мало пустого пространства между ними. Если нарушить такое расположение, выведя, например, шары одного слоя из лунок другого слоя, то промежутки между шарами увеличатся. Ясно, однако, что песчинки никогда не упаковывает специальным образом. Как же достичь плотной упаковки песчинок?

Вспомним житейский опыт. Вам надо заполнить сосуд крупо так, чтобы в него вместе с максимальным ее количество. Что вы при этом делаете? Потребиществе сосуд или поступиществе по нему, добавяясь желаемого эффективта. Далее после плотной утравовки крулы в сосуд можно с помощью такого приема уменьшить еще какое-то дополнительное ее количество.

Научное исследование этого вопроса предприял в 50-х годах английский ученый Г. Скотт. Он заполнял шариками от подшипников сферические бутылки разных размеров. Если заполнять бутылки без потряхивания так, чтобы шарики располагались случайным образом, экспериментально наблюдается следующая зависимость плотности упаковки от числа шариков:

$\varrho_1 = 0,6 - 0,37 / \sqrt[3]{N},$

где $N$ — полное число шариков. Если число шариков очень велико (а в опытах $N$ достигало несколько тысяч), то видно, что плотность упаковки стремится стать постоянной и соответствующей заполнению 60 % пространства. А вот если потряхивать бутылку по мере ее заполнения, плотность упаковки возрастает:

$\varrho_2 = 0,64 - 0,33 / \sqrt[3]{N}.$

Правда, и в этом случае она получается гораздо меньше 74 %, соответствующих регуляром расположению шариков.

Рис. 5. Пентагональная упаковка шаров.

Стоит задуматься над приведенными здесь зависимостями. Почему поправка обратно пропорциональна $\sqrt[3]{N}$ ? Шарики, расположенные у стенок сосуда, находятся в особом положении по сравнению с шариками в объеме и влияет на плотность упаковки. Величина их вклад пропорциональна отношению площади поверхности $\sim R^2$ к объему сосуда $\sim R^3$ и убивает обратно пропорционально размеру системы $R$ (под объемом системы мы попиваем полный объем пространства, занимаемого шариками вместе со свободными промежутками). Размер $R \sim \sqrt[3]{N}$ , так как объем системы пропорционален полному числу шариков. Такие зависимости часто возникают в физике, когда надо учитывать поверхности эфективы.

Таким образом, точные эксперименты подтверждают житейский опит и показывают, что, потряхивая зернистую среду, можно достичь большей плотности упаковки. Но почему же все-tаки это происходит? Дело в том, что устойчивому положению равновесия всегда соответствует минимум потенциальной энергии. Шарик может устойчиво лежать в ложбинке, но с вершины горки он обязательно скачится. Нечто подобное происходит и здесь. Шарики при потряхивании скатывают в свободные промежутки, плотность упаковки увеличивается, а общий объем системы уменьшается. В результате попужается уровень заполнения сосуда шариками, а следовательно, опускается центр тяжестями и уменьшается потенциальная энергия системы.

Теперь, наконец, можно с достаочной ясноностью представить себе, что происходит с песком. Волнение воды встречивает пеок, и в результате достигается плотная упаковка песинок. Сдавливая пеок ногой, мы нарушаем эту упаковку и увеличиваем размер пор. Вода из верхних слоев пескауходит вллубь, заполняя эти увеличившиеся промежутки. В результате пеок «выбыxaет». Когда ногу убирают, деформация исчезает, плотная упаковка восстанавливается, а вытеcenная из новых уменьшенных промежутков вода заполняет след, оставленный ногой. может служиться и так, что после сильного нажатия пеок не восстановится. Тогда след станет снова мокрым, лишь когда вода поднимется из нижних слоев и заполняется поры.

Любопытно, что это свойство сыпчих сред залище индийские факры. Один из их триоков состоит в том, что в сосуд с узким горлышком, доверху наполненный рисом, многоократно втыкали узкий длиной нож. В какой-то момент нож застрявал в рисе, а сосуд можно было поднять вместе с ножом. Ясно, что фокус состоял в том, что сосуд при заполнении рисом встречался, достигая плотной упаковки. Втыкание ножа нарушало эту упаковку и увеличивало объем пространства между рисинками. Так как объем сосуда не менялся, то возрастали силы, сдавливающие рисинки, а следовательно, и тrene между ними и ножом. В какой-то момент оно оказалось достаточно, чтобы помещать вытянуть нож из сосуда.

Дальний и близкий порядок

Атомы, из которых состоит все тела, конечно, нельзя считать твердыми шарами. И тем не менее простые геометрические соображения помогают разобраться в строении вещества.

Рис. 6. Элементы гранецентрированной кубической решетки и дексационной решетки с плотной упаковкой.

Рис. 9. С помощью правилных пятугольников невозможно заполнить всю плоскость без просветов.

Рис. 10. Строение квариа (a) и стекла (б).

в периодических решетках. Отдельный правилный пятугольник можно, например, поворачивать вокруг оси, проходящий через центр, и он при этом 5 раз совместится с собой. В таком случае говорят, что имеется ось симметрии 5-го порядка. Но в решетке Браве такой оси быть не может. Это означает, что имеется плоскость, усеянная узлами, образующими правилные пятугольники. А заполнить целиком плоскость правилными пятугольниками невозможно (рис. 9)!

Однако типы решеток Браве не исчерпывают разнообразия свойств симметрии решетков. Ведь, как вы уже убедились на примере гексагональной плотной упаковки, решетки Браве можно оставлять одна в другую! В результате элементы симметрии объединяются в различных комбинациях, образуется так называемое пространственные группы. Все имеется 230 различных групп. Все они были найдены в 1890 году русским ученым Е. С. Федоровым.

Итак, любой кристалл можно составить из повторяющихся частией. Это свойство кристаллов называют трансляционной симметрией (трансляция — перенос в пространстве). Иначе еще говорят, что в кристаллах имеется дальний порядок. Это, пожалуй, самое характерное свойство кристаллов, которое отличает их от всех других тел.

Есть, однако, не менее важный класс веществ — аморфные тела, в которых дальнейто порядка нет. В аморфном состоянии находится жидкие тела. Но и твердое тело может быть аморфным. Самый простой пример — обычное стекло. На рисунке 10 показано строение стекла и квариа, который имеет тот же химический состав, что и стекло. Квариц — кристалл, а стекло — аморфное тело. Хотя дальнейто порядка в стекле является не менее чем это, оно, однако, не означает, что в расположении atoms царит полный хаос. Определенная структура в расположении близких соседей, как видно из рисунка, сохраняет и в стекле. Говорят, что в аморфных телах имеется близкий порядок.

Аморфные материалы нашли в последнее время важные применения в технике. Уникальные свойства аморфные металлические сплавы (metallические стекла). Их получают, очень быстро охлаждая жидкий металл — со скоростью порядка несколько тысяч градусов в секунду. Доступ этого можно, например, разбрызгивая мелкие капли металла на поверхности быстроствующего холдного диска. Капля «размазывается» по диску очень тонким слоем (толщиной в несколько микрометров), и хорошо тепловодной металлу остыть столь быстро, что его atoms просто не успевают расположиться правилным образом. Оказалось, что аморфные сплавы обладают повышенной твердостью, высокой коррозийной стойкостью, оптимальным сочетанием электрических и магнитных свойств. Область применения таких материалов быстро распространяется.

(Окончание см. на с. 48)

Конецно, эта формула применяется для перестановок с повторениями любых предметов. Например, количество перестановок цифр 0, 0, 0, 0, 1, 1, 3 равно $\frac{7!}{4!2!1!} = \frac{4!5 \cdot 6 \cdot 7}{4!2} = 5 \cdot 3 \cdot 7 = 105$ .

Задание и
11. Сколько различных анграмм у слов: a) реестр; 6) анграмма?
12. Сколько способами мама может в течение недели выдать дочек 3 банана, 2 груши и 2 апельсина, если кждый день будет давать ей по одному фрукту?
13. Расшифруйте приведенную на рисунке на с. 19 фразу, в котором вместе каждого слова стоит его анграмма.
14. Сколько способами можно составить окерелье из одной черной, двух белых, трех красных и пяты голубых бусинок?

Степень суммы
Комбинации букв — анграммы — естественно возникают при переменении двух или нескольких многочленов, а комбинаторы коэффициенты — коэффициента анграмм — при переведении подобных членов.

Хорошо известна формула квадрата суммы двух чисел:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

Похожую формулу можно получить и для квадрата суммы трех и большего числа слагаемых. Возведем, например, сумму $a+b+c$ в квадрат:
$(a+b+c)(a+b+c) = aa + ab + ac + ba + bb + bc + ca + cb + cc = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac$ .

Аналогичная формула верна и для $(a+b+c)^2$ (на рисунке 3 каждый однолетен выражает площадь своего прямоугольника); вообще, квадрат суммы $n$ чисел вычисляется так: надо сложить все квадраты этих $n$ чисел и прибавить удвоенную сумму всевозможных попарных произведений этих чисел.

Если аккуратно переменность $a+b+c$ при раза на себя, получится также формула:
$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b) + 6abc$ .

Объясним, как можно получить возможность здесь коэффициенты 1, 3 и 6 без утомительного умножения и совпания подобных членов. Это — уже знакомые нам количество анграмм. Член $a^3$ может получить только одиним способом — когда из каждой скобки
$(a+b+c)(a+b+c)(a+b+c)$ береется буква $a$ . Чтобы получить коэффициент при $a^2b$ , нужно из одной скобки взять $b$ , а из двух других $a$ , то есть этому члену соответствует анграммы $aab, aba, baa$ из двух букв $a$ и одной буквы $b$ : их количество равно $(2+1)!(2!1!) = 3$ . Наконец, коэффициент при $abc$ равен числу $3!/(1!1!1!) = 6$ анграмм (перестановок) слова из трех различных букв $a, b, c$ .

Аналогичная формула получится и для куба суммы большего числа слагаемых, например
$(a+b+c+d+e)^3 = (a^3+...) + 3(a^2b+...) + 6(abc+...)$ .

Здесь многооточим в каждой скобке обозначены члены, получаемые из первого выписанного члена всевозможными заменами букв.

Укажем теперь общую формулу.