Заочная физико-техническая школа при МИСиСе

58

Заочная физико-техническая школа при МИСиСЕ

Филиал Всесоюзной заочной математической школа — Заочная физико-техническая школа при Московском ордена Октябрьской Республики и ордена Трудового Красного Замени институте стали и сплавов — обявляет набор учащихся в воьмы, девятьые и десятье классы на 1986/1987 учебный год.

Цель работы школа — оказание помощи учащимся в углубленном изучении программного материала средней школе по физике и математике.

Программа обучения по математике полностью соответствует курсу ВЗМШ. Курс физики разработан преподавателем кафедры общей физики и кафедры теоретической физики Московского института стали и сплавов и соответствует требованиям на вступительных экзаменах в вузы, прежде всего — в МИСиС.

Работа школа организована следующим образом. Четыре-пять раз в год учащимся рассылаются контрольные задания по физике и математике вместе с кратками сведениями по теории и примерами решения задач. Прислаhnные учащимся контрольные работы проверяются и вместе с оценками и комментариями отправляются учащимся. В качестве годового задания учащимся десятих классов посылаются материалы вступительных экзаменов в МИСиС за прошлие годы. Учащие, успешно окончившие ЗФТШ, пользовются приемуществом при поступлении в МИСиС.

Занятия в ЗФТШ (МИСиСа) начнутся с 1 октября 1986 года. Для зачисления в школе необходимо прислать заявление с указанием фамилии, имени, отчество, полного домашнего адреса, профессии и занимаемой должностью родительей, а также приложить справку из шкOLS с указанием класса и годовых оценок по физике и математике. Заявление и справку вместе с решением первого задания по математике, о котором написано в стате «Новый пример во Всесоюзную заочного математическую школе» в этом номере журнала, нужно выслать не позднее 5 мая по адресу: 117049 Москва, Ленинский пр., 4, МИСиС, ЗФТШ.

Заочная олимпида по программированию

В «Кванте» № 6 за прошлий год был опубликованы задачи Заочной олимпиды по программированию для немосковских школьников. (Москович могли решать те же задачи, участвуя в Московской городской олимпиде по программированию.) В заочной олимпиде приняли участие 150 школьников, приславших 900 решений предложенных задач. В некоторых городах университеты, учебные институты и учебные центры профессионального обучения проводели эту оптимизацию руководств им учащихся и прислали в «Кванте» лучшее работы. Комсомольцы ИНЭУМа*) взял ли на себя труд по проверке поступивших работ и написали всем учащикам письма с разбором их решений.

Жюри Олимпиды присулило следующие премии:

I премию получили:
В. Казначев (Ленинград), Е. Финк (Ленинград);

II премию — Ю. Васильев (Ленинград), Г. Глушенко (Запороже), О. Матошкина (Ленинград), К. Стыркас (п. Черноголовка Московской обл.);

III премию — А. Асташков (Томск), В. Гладков (Пермь), В. Кайоров (Одинцово), М. Ногоновский (Ленинград), Рахлин (Мончерорск), Федоренко (Таганpor), А. Черных (Краснодар).

Кроме того, еще 14 участников получили пожавленные ответы.

Подведем общеие итоги. Почти все участники стартельно выполнили большую работу. Средний участник ре_

шал все 7 или 6 задач, зная, что в зачетной только три. Как правило, программы написаны аккуратно, без синтаксических ошибок программрования. Некоторые участники прочитали свои программы на машинах и приложили листинги. Многие участники описали алгоритмы решения кратко и ясно.

Выяснили и два недостатка, присушие большому числу работ. Некоторые участники не были изобретены в поисках эффективных алгоритмов: они заводали массивы чисел, без которых можно обойтись, и тратили больше действия, чем нужно, и это несмотря на то, что нужно число действия было указано в условиях задач. Некоторые участники плохо графицические оформили свои программы, не позволились о том, чтобы программа легко читалась.

В целом итоги олимпиды нас породовали. Решено ее проводить ежедневно.

А. Л. Брудно, председатель Жюри олимпиды

59

Избранные школьные задачи

1. Указание. Использовите представление
   $$xyuv = 1000x + 100y + 10u + v.$$

2. a=0. Решение. Вычитем из второго уравнения удовенное первое; получим $(a-3)x=0$. Таким образом, если $a \neq 3$, то $x=0$ и для $y$ получается уравнение $ay=a+2$, которое имеет решение в том и только в том случае, если $a \neq 0$. Если же $a=3$, то наша система превращается в пару равносильных уравнений $2x+3y=5$, $4x+6y=10$, которая, оченьindo, имеет бесконечное множество решений.

3. {0, 0, 0} и {1, 1, 1}. Указание. Из неравенств видно, что числа $x, y, z$ неотрицательны. Используя это, выводим из наших неравенств неравенства $x^8 \leq x, y^8 \leq y, z^8 \leq z$. Из них вытекает, что каждое из чисел $x, y, z$ равно 0 или 1. Но тогда $x^2=x, y^2=y, z^2=z$, и, следовательно, $x \leq y, y \leq z, z \leq x$, то есть $x=y=z$.

4. Указание. Обозначим площади наших 6 треугольников через $s_1, \ldots, s_6$ в соответствии с рисунком 1. Поскольку медиана всегда разбивает треугольник на две равновеликие части, имеют место равенства $s_1=s_2, s_3=s_4, s_5=s_6, s_1+s_2+s_3=s_4+s_5+s_6, s_2+s_3+s_4=s_5+s_6+s_1, s_3+s_4+s_5=s_6+s_1+s_2$. Из этих равенств следует, что $s_1=s_2=s_3=s_4=s_5=s_6$.

5. Указание. Воспользовитесь тем, что отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, заключенные между этой точкой и точками касания, имеют одинаковую длину.

6. $n=3, n=4$. Указание. Произведение $|n-2| \cdot |n-5|$ является простым числом тогда и только тогда, когда один из компонентей равен единице, а другой является простым числом.

7. Указание. Если $x$ не принадлежит отрезку $[-1, 0]$, то $x^2+x+1>1$, а если $x$ принадлежит отрезку, то $\sin x \leq 0$, а $x^2+x+1>0$. Таким образом, права часть всегда больше левой.

8. Отрицательное. Решение. Так как $3,1415 < \pi < 3,1416$, то $10 000/3,1416 < 10 000/\pi < 10 000/3,1415$. Но $10 000/3,1416 = 3183,0$ … и $10 000/3,1415 = 3183,1$ …; значит, $3183 < 10 000/\pi < 3184$, то есть $3183\pi < 10 000<3184\pi$. (Неправильно решение: $\pi \approx 3,14$, следовательно, $10 000/\pi \approx 10 000/3,14=3184,7$ …; следовательно, $3184\pi < 10 000<3185\pi$ и $\sin 10 000$ положительно.)

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

9. a) $y=x-2$ и $y=7x-11$. Указание. Пусть прямая $y=kx+b$ касается первой параболы в точке $(x_1; y_1)$ и второй параболы в точке $(x_2; y_2)$; всего имеет, таким образом, 6 неизвестных.

Запишите: условия принадлежности точек $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ соответствующим параболам (два соответствия); условия проходения прямой через эти точки (два соответствия); условия равенства углового коэффициента прямой значению произвольной первой параболы при $x=x_1$ и значению произвольной второй параболы при $x=x_2$ (два соответствия).

6. Две. Указание. Если $a_1$ и $a_2$ — числа одного знака, то параболы $y=a_1x^2+b_1x+c_1$ и $y=a_2x^2+b_2x+c_2$ имеют две общие касательные тогда и только тогда, когда они пересекаются; если же $a_1$ и $a_2$ — числа разных знаков, то эти параболы имеют общую касательную тогда и только тогда, когда они не пересекаются (доказите!). У нас $a_1=1$ и $a_2=-1$ имеют разные знаки и уравнение $x^2+x-2=-x^2+7x-11$ решений не имеет.

10. Верно. Указание. Разделно рассмотрите случаи, когда среди наших точек найдет три, не лежащие на одной прямой, и когда таких трех точек нет.

11. См. рисунок 2. Указание $[x] \neq 0$, то $e^{\ln|x|}=|[x]|$, а если $[x]=0$, то функция $e^{\ln|x|}$ не определена.

12. Уравнение решений не имеет. Указание. Расмотрите функцию $3\sin x-4\cos x$ и убедитесь в том, что ее наибольшее значение равно +5, а наименьшее значение равно -5. (Показите, что точками экстремума являются значения $x$, в которых $tg x=-\frac{3}{4}$; выведите от сюда, что в точках экстремума либо $\sin x=\frac{3}{5}$, $\cos x=-\frac{4}{5}$, либо $\sin x=-\frac{3}{5}$, $\cos x=\frac{4}{5}$.

Другой способ — введение вспомогательного

62

4. 185/8. Указание. Проведем окружность с центром в точке $P$ и радиусом, равным $|NP|$ (см. рис. 11). Поскольку $\overrightarrow{NPM} = 2\overrightarrow{NQM}$, точка $Q$ лежит на этой окружности. Значит, $|PQ| = \frac{13}{2}$. Отсюда следует, что $|PH| = 5/2$.

5. 75$\sqrt{3}$. Указание. Пусть $O$ — центр шестиугольника $ABCDEF$, а $B_1$ — середина отрезка $[AO]$. Положим $\overrightarrow{BC} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BW} = \vec{b}$, $OS = c$. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ некомпланны. Поэтому вектор $\vec{x}$ однозначно раскладывается по векторам $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$: $\vec{x} = x_1\vec{a} + x_2\vec{b} + x_3\vec{c}$, где $x_1, x_2, x_3$ — числа. Поставим в соответствии вектору $\vec{x}$ — тройку чисел $(x_1; x_2; x_3)$ и будем писать $\vec{x} = (x_1, x_2, x_3)$. Тогда проводя необходимые вычисления, получим:

$$\overrightarrow{DE} = \left(-\frac{1}{2}; 1; 0\right), \overrightarrow{EO} = \left(-\frac{1}{2}; -1; 0\right),$$
$$\overrightarrow{E\vec{S}} = \left(-\frac{1}{2}; -1; 1\right), \overrightarrow{E\vec{K}} = \left(-\frac{1}{10}; -\frac{1}{5}; \frac{1}{5}\right),$$
$$\overrightarrow{D\vec{K}} = \left(-\frac{3}{5}; \frac{4}{5}; \frac{1}{5}\right), \overrightarrow{D\vec{R}} = \left(-\frac{7}{5}; \frac{28}{15}; \frac{7}{15}\right),$$
$$\overrightarrow{D\vec{S}} = \left(-1; 0; 1\right), \overrightarrow{O\vec{F}} = \left(-\frac{1}{2}; 1; 0\right),$$
$$\overrightarrow{S\vec{F}} = \left(-\frac{1}{2}; 1; -1\right), \overrightarrow{FA} = \left(-\frac{1}{2}; -1; 0\right),$$
$$\overrightarrow{FL} = \left(-\frac{1}{4}; -\frac{1}{2}; 0\right), \overrightarrow{SL} = \left(-\frac{3}{4}; \frac{1}{2}; -1\right),$$
$$\overrightarrow{ST} = \left(-\frac{2}{5}; \frac{4}{15}; -\frac{8}{15}\right), \overrightarrow{DT} = \left(-\frac{7}{5}; \frac{4}{15}; \frac{7}{15}\right),$$
$$\overrightarrow{RT} = \left(0; -\frac{8}{5}; 0\right), |B_1B| = \frac{5}{2}, |BC| = \frac{5}{\sqrt{3}}.$$

Физика

Вариант 1

1. Удобнее всего системы отчета связывать с наклонной плоскостью и направить оси координат так, как показано на рисунке 12. Расмотрим движение шарика между двумя последовательными ударами о плоскости.
   Поскольку проекция укоренения шарика на ось $OY$ величины постоянная: $a_y = g\cos \alpha = const$, проекции скорости на эту же ось сразу после первого удара и непосредственного перед вторым ударом по модулу равны. Из-за того что удары упругие, проекции скоростей до ударов также же, как и после. Таким образом, для всех ударов $|v_y| = v_0\sin \beta$, где $v_0$ — скорость шарика в момент первого соударения с плоскостью.
   Время т между двумя последовательными ударами на узвеничния движения шарика по оси $OY - y = |v_y|t - g\cos \alpha \cdot t^2 / 2$, полагая $y = 0$ при $t = \tau$:

$$\tau = \frac{2|v_y|}{g\cos \alpha} = \frac{2v_0\sin \beta}{g\cos \alpha}.$$

Рис. 12.

Движение по оси $OX$ описывается уравнением $x = |v_x|t - a_xt^2 / 2$ (где $|v_x| = v_0\cos \beta$, $a_x = g\sin \alpha$), а условие возврата есть $x = 0$ при $t = n\tau$ ($n = 1, 2, 3, \dots$). Отсюда для угла $\beta$ получаем

$$\beta = \arctg(n\tg\alpha), n = 1, 2, 3, \dots$$

2. То, что давление пара возросло не втрое, а вводое, означает, что в результате скатания пар стал насыщенным и его давление $p = 10^5$ Па. Тогда для параметров пара в начальном состоянии имеем уравнение

$$\frac{p}{2}V = \frac{m}{M}RT,$$

откуда для начального объема получаем

$$V = 2\frac{m}{M}RT/p \approx 31 \cdot 10^{-3}M^3 = 31 \text{ л.}$$

3. Обозначим через, $\beta$ электродвижущую силу батареи и через $R = R_1R_2 / (R_1 + R_2)$ сопротивление внешней цепи при замкнутом ключе. Из условия задачи $\beta^2R_1 / (R_1 + r)^2 = \beta^2R / (R + r)^2$ получаем

$$r = \sqrt{R_1R} = \sqrt{\frac{R_1^2R_2}{R_1 + R_2}} = 6 \text{ Ом.}$$

4. Действие оптической системы линза — зеркало в данной случае заключится в следующем. Линза создает минимое изображение предмета $A$ на расстоянии $f_1 = d_1F / (F - d_1)$ ($d_1$ — расстояние предмета от линии) с уvelичением

$$\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1} = \frac{F}{(F - d_1)}.$$

Это изображение отражается в зерке (без изменения размеров), а полученное отражение является новым предметом для линии, находящимся от нее на расстоянии $d_2 = 2F + f_1$. Линза создает изображение этого предмета на расстоянии $f_2 = Fd_2 / (d_2 - F)$ с уvelичением

$$\Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2} = \frac{F}{d_2 - F} = \frac{F - d_1}{F}.$$

Obщее уvelичение системы

$$\Gamma = \Gamma_1\Gamma_2 = 1$$

— оно не зависит от начального расстояния между предметом и линии.
В этом можно убедиться также построением хода лучей в данной оптической системе.

Вариант 2

1. $a_{\max} = \arctg(\mu / 2) \approx 14^\circ$.
2. $A = 3/11 (4RT_1 - 3Q) \approx 3,9 \text{ кДж}$.
3. $U = \beta + qvr/d$.
4. $d_\pi = \sqrt{4S / (15\pi)} = 2 \text{ см}$.
   Вариант 3
5. $\beta = \arccos(7/20) \approx 69^\circ$.
6. $p_1/p_2 = \sqrt{T_1/T_2} = 1,5$.
7. $I_m = \sqrt{\frac{2\pi\epsilon_0RC}{2\pi\epsilon_0R + C}}U_0$.
8. $\Gamma = 3$, если расстояние от предмета до линии меньше расстояния от линии до изображения; $\Gamma = 1/3$ в противном случае.

Московский институт электронного машино-строения

Математика
Вариант 1

1. $x_1 = 2\pi k; x_2 = \frac{\pi}{4} + 2\pi l; x_3 = -\frac{\pi}{4} + \pi m (k, l, m \in Z)$.