30
Восстанови
стертую фигуру!
Кандидат педагогических наук
Н. Н. ИВАНОВА
«Очередное занятие нашего кружка посвязывано решению геометрических задач», — сказал учитель. — «Эти задачи не совсем обычны — мы будем восстанавливать фигуры по некоторым известным элементам. С подобными задачими люди встречались еще в глубокой древности, когда им приходилось восстанавливать границы участков, смытыв в результате разливания Нила».
Учитель показал ребятам осколок разбитой патефонной пластики и предложил определить радиус этой пластики (центр пластики не сохранялся, но сохранилась неоторая часть ее края).
Ребята вспомнили, что центр окружности, описанной около треугольника, находится в точке пересечения середины перпендикуров, проведенных к сторонам треугольника. Значит окружности, легко найти ее радиус. Поэтому для решения задачи с пластинкой можно использовать треугольник ABC, вершины которого лежат на дуге окружности пластики (рис. 1).
«Вторая задача более сложная», — сказал учитель и нарисовал на доске треугольник ABC. Он провел в нем медианы и отметил их основания D, E, F, потом стер треугольник, оставив только основания медиан. Ребятам же учитель предложил восстанавить треугольник.
Первым поднял руку Петя. Он подошел к доске и соединил данные точки отрезками. Отрезки DE, DF и EF — средние линии в треугольнике ABC. А средняя линия параллельна стороне треугольника. Это и дает ключи к решению задачи: через каждую из данных точек нужно проверить прямую, параллельную непрохождение через нее средней линии, и в результате пересечения этих прямых мы получим искомый треугольник (рис. 2).
«Хорошо!», — сказал учитель. «Теперь — третья задача». Учитель нарисовал на доске остроугольный треугольник ABC, провел в нем две высоты AE и BF. Затем снова стер треугольник, оставив точки E, F и часть основания — отрезок MN. «Восстановите стертуй треугольник», — сказал учитель. Ребята задамались. Сережа соединил точки E и F. Как бы дальше? Если бы определить положение точки A и B — концов основания треугольника — задача была бы решена. «Что вы можете сказать об углах AFB и BEA?», —
31
обратился учитель к кругковцам. «Эти углы прямы»,— ответили ребята. Сережа договора, что точки E и F принадлежат геометрическому месту точек, из которых отрезок AB виден под прямым углом. Таким геометрическим местом точек является окружность*), диаметр которого и есть AB. Необходимо найти центр этой окружности. Он лежит на прямой MN и на серединном перпендикуляре, проведенном к отрезку EF, то есть является точкой пересечения MN и этого перпендикуляра (рис. 3). Определив точки A и B, ребята легко нашли точку C. Задча решения!
«Четвертая задача — самая трудная: нужно восстановить треугольник по основаниям трех его высот».
К доске снова вышел Петя. Он нарисовал треугольник ABC, провел в нем высоты, отметил их основания: H₁, H₂, H₃. Стер треугольник, соединил точки H₁, H₂, H₃ и задумался. Учитель посоветовал ему сделать от руки набросок, считая, что задача уже решена, и подсказал, что bicсектрисы треугольника H₁H₂H₃ принадлежат высотам треугольника ABC. Петя подумал и доказал это утверждение. Он построил две окружности: с дина-
*) Кроме точки A и B.
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
метрами AC и AB — и воспользовался свойством писанных в окружность углов (рис. 4; как рассуждал Петя?). После этого Петя сновастер, быстро построил в треугольнике H₁H₂H₃ bicсектрисы и через вершины H₁, H₂, H₃ провел прямые, перпендикулярные построенным bicсектрисом. В пересечении он получил искомый треугольник ABC.
В конце занятия учитель предложил еще четые задачи для домашнего решения.
-
В треугольнике ABC из вершины A были проведены медиана AD и высота AH, а из вершины B — медиана BF. Треугольник стерли, оставив только три точки D, F и H. Восстановите треугольник.
-
Нарисовали параллелограмм. Затем его стерли, оставив середины трех сторон. Восстановите параллелограмм.
-
Даны точки M, N, K — середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Восстановите четырехугольник.
-
Восстановите треугольник, если известны середины двух его сторон и прямая, на которой лежит bicсектриса, проведенная к одной из этих сторон.