Вычисление биномиальных коэффициентов на калькуляторе БЗ-34

23

ния в степень и приведення подобных членов, то есть сумма вероятностей анаграмм слова кккзз.

Интересно, что случай «2 красных и 3 желтых», а также «2 красных, 2 желтых и 1 зеленьй» имеют одинаковую вероятность

$$\frac{5!}{2!3!} \left( \frac{1}{2} \right)^3 \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{5!}{2!2!1!} \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{1}{3} \right)^2 \left( \frac{1}{6} \right) = \frac{5}{36}.$$

(Это — наиболее вероятные комбинации 5 перцев при выбранных нами вероятностях.)

З а д а ч и

18. Все три ребра куба 6×6×6, исходящие из вершины A, поделили в отношении 3:2:1, считая от вершины A, и через точки деления провели плоскости, параллельные граями, разрезующие кубик на 21 кусок (рис. 5).

a) Сколько из них будут брусками 3×2×1?

b) Сколько еще и каких, будет кусков? Каковы их объемы?

b) Имеется ли связь между этой задачей и задачей про перцы?

19. Автомат составляет окерелья из 6 бусинок, выбирая их случайно из большой кучи черных, белых, красных и голубых бусинок, смещанных в соответствии 1:2:3:4. С какой вероятностью в таком окерелье

a) все бусинки голубые;

b) все — одного цвета;

b) не будет ни одной красной бусинки;

г) встретиется бусинки всех четырех цветов?

d) Какие окерелья будут попадаться чаше всего?

e) Каким нужно взять соотношение бусинок в большой куче, чтобы чаще всего встретились окерелья с 2 красными, 2 черными, одной белой и одной голубой бусинками?

20. Пусть вероятность падения бутерброда маслом виз разна 3/4. Произошло случайное событие: поднос с семью бутербродами опрокинуляс. Какова вероятность, чторовно k бутербродов упадут маслом виз (для каждой k=0, 1, 2, …, 7)?

Возведите в степень (p+q)^7 и подчитайте каждый однолетен при p=3/4, q=1/4. Для вычисления коэффициентов можно воспользоваться микрокалькулятором. (См. Приложение.)

Биоминальные коэффициенты

Выше мы почти не затрагивали сами простой и, пожалуйста, самый важный случай двух букв. Коэффициенты многочлена (a+b)^n имеют специальное обозначение C^k_n, а формула (a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1} b + … + C^n_n b^n

называется формулой биома Ньютона. Мы знаем, что C^k_n — количество слов из n букв, среди которых k букв и n-k буква a — можно найти по формуле

$$C^k_n = \frac{n!}{(n-k)! k!} = \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}.$$

Например,

$$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4,$$

поскольку

$$C^0_4 = C^4_4 = \frac{4!}{4!0!} = 1,$$

$$C^1_4 = C^4_3 = \frac{4!}{3!1!} = 4,$$

$$C^2_4 = \frac{4!}{2!2!} = 6.$$

Биоминальные коэффициенты — числа C^k_n — возникают в самых различных задачах биоманторики, алгебры, геометрии, математической анализа, теории вероятности. Они связаны многочленскими красными тождествами; например, из равенства C^k_n + C^k_{n-1} = C^k_{n+1} (см. задачу 5) следует, что при всех натуральных n и k, 0≤k<n,

$$C^k_n + C^k_{n+1} + ... + C^k_n = C^k_{n+1}.$$

(для k=1 это — формула, с которой мы начали статью). Более подробно об этих замечательных числах будет расссказано в одном из следующих номеров журнала.

Литература

1. В. А. Успенский. Треугольник Паскала. М.: Наука, 1979.

2. М. И. Башмаков, В. М. Беккер, В. М. Гольховой. Задание по математике: Алгебра и анализ. М.: Наука, 1982.— (Серия: Biблютечка «Квант», вып. 22)

3. А. Н. Колмогоров, И. Г. Журбенko, А. В. Прокоров. Введение в теорию вероятности. М.: Наука, 1982.— (Серия: Biблютечка «Квант», вып. 23)

4. Д. Кнут. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, 1976, т. 1.

5. Ф. Мостеллер. Пятдесят запимательных вероятностных задач с решениями. М.: Наука, 1985.

Приложение: Вычисление биоминальных коэффициентов на калькулятор В3-34.

При больших n вычисление биоминальных коэффициентов вручную — весма трудомка задача. Ниже приведется программа для калькулятор В3-34*), позволяющая вычислить коэффициенты C^k_n для любого n≤334 и всех k≤n (при этомные ответы получаются при n≤28; при больших n программах дает приближенные ответы**)).

*) Небольшие модификации позволяют приспособить программу к модели МК-54 и МК-61.

**) Верхняя граница 28 для n и точность приближенных значений коэффициентов многочлена, чем для программы из известных справочников В. П. Дьякона и А. Н. Цветкова и В. А. Епанчникова. (Прим. ped.)