Московский физико-технический институт

52

Московский физико-технический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение
   $$10 \cdot 4 \frac{1}{\sin^2 x} - 16 = 42 \text{ ctg}^2 x + 2.$$
2. Решите неравенство
   $$\log \frac{1}{4} - 3x (1 + 25x^2) > 0.$$
3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} y^4 + 19 = 20(x + y), \\ \sqrt{x} + \sqrt{x + 2y} = \sqrt{2}. \end{cases}$$
4. Основание AD трапеции ABCD (AD || BC, AD || BC) является диаметром окружности, которая касается прямой CD в точке D и пересекает сторону AB в точке L так, что |AB| = 4/√3 · |AL|. Радиус окружности равен R, угол CAD = 45°. Найдите площадь трапеции.
5. Точка D лежит на ребре BC правильно треугольной прямой SABC (S — вершина), |BD|: |DC| = 2:3. Цилиндр качает боковой поверхности плоскостей SAB и SBC, одно из оснований цилиндра проходит через точку D, второе основание имеет общую точку с ребром SC. Боковая поверхность цилиндра имеет единственную общую точку с ребром AC. Найдите отношение объемов цилиндра и прямыми.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$\frac{1}{1 - \sqrt{1-x}} + \frac{1}{1 + \sqrt{1-x}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}.$$

2. Решите неравенство
   $$\left(\frac{1}{9}\right)^x - \frac{x^2}{2} \geq 3 |3x - 12| + 2x.$$

3. Решите уравнение
   $$9 \log_{\sin 2x} 4 \cos^2 x + 8 \log_2 \cos x \sin x = 16.$$

4. В окружности проведены хорды AB и AC, причем |AB| = 2 см, |AC| = 1 см, угол
   $$\widehat{CAB} = 120^\circ.$$. Найдите длину той хорды okружности, которая делит угол CAB пополам.

5. В правильную четырехугольную прямую SABCD (S — вершина) вписана сфера. Длина ребра основания прямой равна 8, а длина высоты прямой равна 3. Точка M — середина ребра SD, точка K является ortогональной проекцией точки M на плоскость ABCD. Через точку M проведена касательная к сфере, пересекающая плоскость ASC в точке N так, что NMK=arccos (-1/3). Найдите |NM|.
   Вариант 3

6. Решите уравнение
   $$\log_4(2x + 9) + 1)\log_{x+2} 2 = 1.$$

7. Решите уравнение
   $$1 - 12 \cos \left(\frac{\pi}{3} - 2x\right) - 12 \cos \left(\frac{\pi}{3} + 2x\right) = \sqrt{2} \cos^2 x + \tg \frac{7\pi}{4}.$$

8. Найдите все значения параметра a, при которых вершины двух парабол y=4x^2 + 8ax - a и y=4ax^2 - 8x + a - 2 лежат по одному сторону от прямой y=-5.

9. В трапеции MNPQ (MQ || NP) угол NPM в 2 раза больше угла NQM. |NP| = |MP| = 13/2, |MQ| = 12. Найдите площадь трапеции.

10. Дана правильная шестиугольная прямida SABCDEF (S — вершина). Точки K и L выбраны на ребрах ES и AF соответственно так, что |EK| = 1/5 |ES|, |FL| = 1/2 |FA|. Точки R и T расположены на прямых DK и SL так, что прямая RT перепедикулярна плоскости SAD. Длина высоты прямых равна 18, |RT| = 4.
    Найдите объем прямиды.

Физика
Писменный экзамен
На решение задач каждой варанта относилось пять часов. Для получения удовлетворительной оценки было достаточно сделать любые две задачи.

Вариант 1

1. На гладку неподвижную наклонную плоскость с углом наклона α налетает стальной шарик под углом β (рис. 1). При каких β шарик сможет вернуть в точку его первого удраа о плоскость? Все соударения считать упругими.
2. При изотермическом скатии m=9 г водяного пара при температуре T=373 К его объем уменьшился в 3 раза, а давление возросло вдвое. Найдите начальный объем пара.