Конус трения

24

Физика 8, 9, 10

Публикуемая книга заметка «Конус трения» предназначена восемиклассик, «Первый источник электрического тока» — девятиклассик, «Дифракция волн» — девятиклассик.

Публикацию подготовил И. К. Белкин.

Конус трения

Если рассмотреть условия равновесия тела на наклонной плоскости, угол наклона которого можно изменять, то легко получить (сделайте это самостоятельно), что тело начинает сокальзывать с плоскости при угле ф таком, что

$$tg\varphi = \mu,$$

где $\mu$ — коэффициент трения тела о плоскость. Не кажется ли вам удивительным, что этот угол не зависит от массы тела?

To же самое выражение для угла ф можно получить и другим, пожалуйста, более простым способом. Но для этого надо предварительно позначиться с понятием «конус трения».

Пусть тело, которое можно считать матерIALной точкой, находится на шереохватной горизонтальной плоскости. Сила тяжесте $m\vec{g}$ прижимает тело к поверхности, и поверхности «откликается», действия на тело силой нормального давления $\vec{N}$. Если же к телу приложена также и некоторая горизонтальная сила, то со стороны поверхности появляется еще одна сила трения. Пока величина горизонтальной силы не превышает максимального значения силы трения покоя $F_{\text{тр.п.max}} = \mu N$, тело покoitся. При достижении этого значения тела начинает движаться, причем поверхности действует на него преястτυвошей движению силы трения скольжения

$$F_{\text{тр.ск.}} = F_{\text{тр.п.max}} = \mu N.$$

Как сила нормальной реакции, так и сила трения порождаются поверхности, поэтому можно говорить о полной силе реакции поверхности. В случае, когда тело под действием внешней силы (конечно, включаяшей в себя силу тяжести) движется вдоль поверхности (рис. 1), полная сила реакции есть

$$\vec{R} = \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр.ск.}}.$$

Эта сила направлена под углом ф к нормали, который легко определять:

$$tg\varphi = \frac{F_{\text{тр.ск.}}}{N} = \mu, \quad \varphi = \arctg\mu.$$

Угол ф называют углом трения.

Будем теперь мысленно врашать вектор $\vec{R}$ вокруг нормали к поверхности, не меняя угла ф между ними. При этом вектор опищет конус (с углом 2φ при вершине), называемый конус трения. Он обладает следующим замечательным свойством. Какая бы большая по величине внешняя сила не прикладывалась к телу, если она лежит внутри конуса трения, тела остаются в покое. Если же эта сила выходит за пределы конуса трения, то, какой бы малой она не была, тела начинает движаться.

В справедливости этого утверждения нетрудно. Действительно, пусть внешняя сила $\vec{F}$ (см. рис. 1) приложена к телу так, что ее линяя действия составляет угол $\alpha$ с нормалью к поверхности. Тогда «сдвигающая» тело вдоль поверхности силы равна $F_{\sin\alpha}$, а сила нормальной реакции равна $F_{\cos\alpha}$. Таким образом, предельно возможная сила трения покоя, удерживающая тело на месте, есть

$$F_{\text{тр.п.max}} = \mu N = \mu F_{\cos\alpha} = Ftg\varphi\cos\alpha.$$

Пока сила $\vec{F}$ лежит внутри конуса трения, $\alpha < \varphi$ и, следовательно, $F_{\sin\alpha} <$