Избранные школьные задачи

Квант 1986, №1 с. 28 Тег A3SF

да в положину длины волны (находящиеся в противофазе), при сложении газят друг друга. Каждый точке одной зоны найдется соответствующая точка в соседней зоне, от которой волны придут в точку $D$ в противофазе, а площади всех зон почти одинаковы. Поэтому действие соседних зон в точке $D$ (например, первой и второй, второй и третьей и т. д.) практически уничтожают друг друга.

Тепер легко понять, при каких условиях можно наблюдать «парадокс Пуассона». Если в ответсти имеется точное число зон, то в центре экрана мы увидим темное пятно. За ним расположется светло колюцо, затем темное и т. д. (рис. 2, а). На экране мы будем наблюдать систему черезушки темных и светлых колцес (но центральное пятно будет темным!). Если же в ответсти указывается нечетное число зон, то результат будет обратным — в центре будет наблюдаться светло пятно, окруженное черезушки темными и светлыми колццами. Дифракционную картину от небольшего шарика (рис. 2, б) попробуйте объяснить самостояльно.

Восьмой класс

Четырезначное число, записанное последовательно стойцами слева направо цифрами
$x, y, u, v$ , будем обозначать символом $xyuv$ . Докажите; что если $A$ и $B$ — произвольные цифры, отличные от 0, то
$ABBA - BABA = ABAB - BAAB$ .
При каких значениях $a$ система уравнения
$\begin{align*} 2x + ay &= a + 2, (a + 1)x + 2ay &= 2a + 4 \end{align*}$
не имеет решений?
Найдите все точки чисел $x, y, z$ , удовлетворяющие системе неравенств
$x^2 \leqslant y, y^2 \leqslant z, z^2 \leqslant x$ .
Докажите, что произвольный треугольник разбивается своим медиамми на 6 равновелых треугольников.
Докажите, что в выпуклий четырехугольник тогда и только тогда можно писать окружность, когда суммы длины противоположных сторон одинаковы.
Найдите все целые $n$ , при которых модель трехчлена $n^2 - 7n + 10$ является простым числом.
Докажите, что уравнение $\sin x = x^2 + x + 1$ не имеет решений.
Положительное или отрицательное число $\sin 10\,000$ ?

(Окончание см. на с. 55)