Интервью с академиком И. М. Гельфандом

3

ИНТЕРВЬЮ С АКАДЕМИКОМ
И. М. ГЕЛЬФАНДОМ

Всеобщей известностью пользовется математический семинар Гельфанда, который уже 45 лет собирается в понедельник вечером в Московском университете. На семинаре учася и студенты-первокурсники, и известные учены. Неколько поколеный выдалошихся математиков воспитано этим семинаром.

Израиль Моисеевич — основатель Всегоозной заочной математической школа и predседатель ее Научного совета. Главная задача этой школа — помочь тем школьникам, которые, в отличие от жителей Московы, Ленинграда и других крупных городов, практические лишены математической литературы и kontaktов с учеными. Созданная 25 лет назад, Всегоозная заочная математическая школа была первою в нашей стране школе такого типа; впоследствии по ее образцу были открыты и другие заочные школе.

Всегда с академиком Гельфандом планировалась как общное интервью «Кванту». Мы заготвили вопросы, интересные, как нам казалось, и нашим читателем, и нашему собеседнику. Израиль Моисеевич, просмотрев список вопросов, отметил, что вопросы очень интересные, но он себя… не считает компетентным ответать на них.

— Вы понимаете, я не считаю себя вправе наязываать свое мнение вашим молодым читателем. Давайте лучше я рассказу, как занимаемся математикой в том возрасте, который совпадает с возрастом большей части читателей «Кваента» — от 13 до 17 лет. Не уверен, что помню сейчас все задачи, которые я занимался в этой время, но те задачи, о которых рассказу, я запомnil очень хорошо. Вот рассказ И. М. Гельфанд.

1*

4

Один из романов Грэхема Грина называется «The loser takes all»). Моя математическая биография складывалась удивительно счастливо, и много лет она была осуществленем этого высказывания. В чем мне повезло? Если коротко, то, во-первых, в том, что я неучился в университете (да и вообщейни в каком высем учебном заведении), а, во-вторых, в том, что в результате определенных жизниенных трудностей, постигших мою семью, я оказался в Москве без родителей, безработным, в шестнадцать с половиной лет.

И. М. Гельфанд беседует с выдающимся французским математиком Ж.-П. Серром после его выступления на семинаре Гельфанда в МГУ. Апрель 1984 года.

Попробую посянить смысл фразы «the loser takes all» с помощью рассказа другого английского писателя, Сомерсета Мозма. Главный герой рассказа, некий церковный служка, терпит неудачу: при аттестации церковного персонала выясняется, что он неграмотен, и его выгояют с работы. Он начинает работать продавцом сирает, затем выкупает табличный киоск, потом несколько других киосков … и делает блистательную коммерческую карьеру, становится самым богатым человеком своего города, его зэром. И вот у него берут интервью — как вы сейчас у меня — и он пожает журналисту, что неграмотен. Потребенный журналист восслuctает: «А каких бы Вы высот достигли, если бы были грамотным!» Немедленно следует ответ: «Я был бы церковным служкой.»

Так вот я в февраль 1930 года, в 16 с половиной лет, приехав в Москву к дальнейм родственникам, был часть безработным, брался за любую временную работу, а больше сидел в Ленинской библиотеке и «добирал» те знания, которые недополучил в школе и в независимом профессиональном-техническом училище. В библиотеке я познакомился со студентами университета и стал ходить на семинары. В 18 лет я уже преподавал, а в 19 попал в аспирантуру, и моя дальнейшая математическая биография шла обичным, регулярным образом, тут она вписывается в русло, прививчное для математиков.

Но не об этой части моей жизни я хотел рассказыть читателя «Кванта», а о предыдущей — о том, как я занимался математикой в возрасте от 13 до 17 лет. Я хочу об этом рассказыть по двум причинами. Во-первых, по моему глубокому убежданию, у большинства будущих профессиональных математков математическая одаренность проявляется именно в период от 13 до 16 лет**), хотя, конечно, бывают и флуктуации, от более раннего развития до значительного более позднего (от 20 до 30 и даже 40 лет), которое наблюдается у некоторых сильных математиков. Во-вторых, этот период сформирово-

*) Проигравший получает все (англ.)
**) Большое подробно об этом Израиль Монсеевич рассказал в интервью, опубликованном в «Известях» 3 декабря 1987 года.

5

вал мой способ занятия математикой. Предмет исследования, конечно,варь-
ровался, но художественный образ математики, сложившийся в это время,
явился основой в выборе задач, привлекающих меня вплоть до сего-
няшнего дня. Мне кажется, что без понимания этой мотивировки нельзя
разобраться в каждшей алгоритмности моих способов знаматыся и выбора тем
занятый. В свете же этой мотивировки они на самом деле сложились очень по-
следовательно и логично.

Семинар Гельфанда. За пер-
вым столом второй слева —
рост семинара известный
американский математик
Р. Макферсон. 1981 год.

Первое, что я помню, относится к 5—6 классу. Я тогда понял, что есть зада-
чи по геометрии, которые нельзя решить алгебраически. Я составил таб-
лицу отношений длины хорды к длине дуги через каждые 5°. Лишь много поз-
же я узнал, что бывают тригонометрические (не алгебраические!) функции
и что в существии я составил тогда тригонометрические таблицы.

Примерно в то же время я проработал задачик по элементарной алгебре.
Курса алгебры у меня не было, теории я не знал, а приходилось решать порой
непростые задачи, использую, например, (неизвестные мне) формулы сокращен-
ного умножения. Если я не мог расшифровать, как решить данную зада-
чу, я заглядывал в ответ, научился по постановкам задачи и ответам восстанав-
ливать методы их решения. В частности, я тогда понял и запомнил на всю
жизнь, что новый область можно овладеть, решая задачи, и никака не зазорно
посмотреть в ответ, поскольку когда мы решаем какую-либо проблему, всегда
имеется гипотеза об ответе. Занятия математикой вообще похожи на решения
задач, в которых кое-что известно об ответе. Эти математические ра-
бота отличается от необходимой, конечно, тренировки по выполнению конкур-
ной работы для поступления вуз.

В начале 6-го класса я обратил внимание на задачи по геометрии, в которых
часто появлялся прямогольный треугольник со сторонами 3, 4, 5, и даже со
сторонами 5, 12, 13. Мне захотелось найти все прямогольные треугольники с
целыми сторонами, и я выел обещую формулу для их сторон, т. е. нашел все Пи-
фагоровы тройки. (Разумеется, я тогда не знал этого термин.) К сожалению,
сейчас не помню, как я это сделал.

Занимался математикой я во время болезней и в каникулы. Я и теперь заме-
чало, как много успевают сделать сильные школьники, когда по болезни остаются
дома. Своих сыновей я поэтому после болезней на несколько лицних дней
оставлял дома.

Геометрию мы проходим по Киселеву, еще не испорченному последующими
переработками. Некоторые теоремы давались в виде задачи. Я достигло обещую
тетрадь (в те годы это было не так-то легко), выписал на каждой странице

6

условие теоремы и за лето заполнил доказательствами почти все страницы. Так я научился писать математические работы.

Я пропущу большой период. Отмечу только книгу по алгебре Давыдова с остроимыми способами решения задач на максимум и минимум элементарными методами (т. е. без применения дифференциального исчисления). Например, найти максимум $ab$, если $a+b$ задано; найти прямогольник максимальной площади при заданном периоде; найти максимум произведения неотрицательных чисел $a_1a_2...a_n$, если задана их сумма $a_1+a_2+...+a_n$; из квадрата с заданной стороны вырезают квадратики, а из оставшейся части делают коробку; какого размена квадратики надо вырезать, чтобы объем коробки был максимален?

Большое впечатление произвели на меня комбинаторика и биом Ньютона, который я долго продумывал.

Жил я в маленьком городшке с единственной школе. Момим преподавателем математики был очень добрый, хотя с виду и суровый человек по фамилии Титаренко. У него были большие запорожские усы. Лучшего учителья не встречал, хотя я знал больше него, и он это понял. Он очень любил и всячеки ободрял меня. Ободрять — самоое главное для учителья, не так ли?

Существен был нежатка книг по математике. Я видел в объявлениях, что есть книги по высшей математике, и представлял высшую математiku как нечто очень интересное. Родители мои не могли выписать эти книги — не было денег. Но тут мне опять повезло. В 15 лет меня повезли в Одессу операровать аппендицит. Я заявил родительям, что не лягу в большицу, пока мне не купят книг по высшей математике. Родители согласились и купили курс высшей математики Беляева для взов на украинском языке. Денег, впрочем, хватило лишь на первую часть, с изложением дифференциального исчисления и аналитической геометрии на плоскости.

Мне повезло, что я начал не с глубокого университетского курса. Это была очень элементарная книга. Об уровне книги Беляева можно судить по введению к ней. В нем, в частности, говорилось, что функции бывают трех видов: аналитические, заданные формулами; эмпирические, заданные таблицами; корреляционные. Что такое корреляционные функции — я узнал много лет спустя у студента, занимавшегося теорией вероятности.

На третий день после операции я взялся за эту книгу и читал ее, перемжая это с чтенем романов Э. Золя, дней девять (тогда после подобных операций лежали 12 дней). За это время я ее прочитал.

Из книги я условияд две замечательные идеи. Во-первых, любая геометрическая задача на плоскости и в пространстве может быть записана формулами. Впрочем, я подозревал это и раньше. Я также узнал о существовании таких замечательных функур, как, например, эллипс.

Вторая идея — она произвела переворот в моем мировозренении — заключалась в том, что есть формула для вычисления сinhуса: sin $x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$ —…

Do этого я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принадлежало «трансцендента» для алгебраической. Возьмите, например, формулу для кружености — там есть «геометрическое» число л. Или, скажем, сinhус — он определяется чисто геометрическим.

Когда я обнаружил, что сinhус можно записать алгебраическими в виде ряда, барер обрушился, математика стала единой. И по сейчас я воспринюю различные разделы математики вместе с математическим физикой как единое целое.

Конечно, я убедился в том, что задачи на экстремум решаются автоматически, и хотя они теряют свое обаяние, у вас в руках мощный аппарат для их решения.

7

Изучая дифференциальное исчисление, я узнал, что бывает еще и интерральное исчисление, связанное с площадями и объемами. Но в чем оно состоит, мне не было известно: ведь у меня не было второго тома курса Беляева!

Тут я хочу вспомнить еще одну задачу. Когда мы следующего осенью проходили в школе обьемы тел врашения, мой одноклассник, известный впоследствии математик Д. П. Мильман, обратил мое внимание на следующее задачу: найти обьем тела, образованного врашением круга вокруг касатель-

Вручение И. М. Гельфанду почетной степени доктора Лионского университета. Июнь 1984 года.

ной. Для решения этой задачи я разбил круг на полоски и сосчитал сумму разностей обьемов соответствующих цилиндров врашения. Тем самым я пришел к необходимости найти сумму

$$\cos \varphi + \cos 2\varphi + \cos 3\varphi + \dots + \cos n\varphi.$$

(*)

Дальнейшее, как всегда, было смесью изобретательности и глупости. Я прощел mismo элементарного решения с помощью общной тригонометрии, но воспользовался формулой $e^{i\varphi} = \cos \varphi + i \sin \varphi$ (эта формула называется формулой Эйлера, но я этого не знал). Я получил эту формулу из глубоко поразивших меня рядов для синуса, косинуса и $e^x$. Далее, осталось найти сумму геометрической прогрессии $e^{i\varphi} + e^{2i\varphi} + \dots$ и получить из нее сумму (*), что я и сделал.

На этой задаче я получил привычку обдумывать задачу и после ее решения. А именно: отодвинул окружность от прямой и попаял, что при врашении получается тело, напоминающее резиновый круг, на котором си-

*) $i$ — минимая единица ($i^2 = -1$); о комплексных числах можно прочитать, например, в «Кванте» (1983, № 2, c. 16).

9

Складывая эти равенства, я получил

$$F(n+1) - F(1) = S_0 + \frac{S_1}{2!} + \frac{S_2}{3!} + \dots,$$

где $S_0$ — интересующая меня сумма, а

$$S_1 = f'(1) + f'(2) + \dots + f'(n),$$

$$S_2 = f''(1) + f''(2) + \dots + f''(n),$$

Тогда я записал систему

$$F(n+1) - F(1) = S_0 + \frac{S_1}{2!} + \frac{S_2}{3!} + \frac{S_3}{4!} + \dots,$$

$$f(n+1) - f(1) = S_1 + \frac{S_2}{2!} + \frac{S_3}{3!} + \dots,$$

$$f'(n+1) - f'(1) = S_2 + \frac{S_3}{2!} + \dots,$$

т. е. бесконечную систему с бесконечным числом неизвестных $S_0, S_1, S_2$, … Я уже упомянул, что в книге Кагана были бесконечные определители, поэтому я смог воспользоваться «правилом Крамера» для нахождения $S_0$:

$$S_0 = \frac{1}{1}$$

Определенть в числитель этой «дроби» я разложил по первому столбцу, получив

$$S_0 = B_0(F(n+1) - F(1)) + B_1(f(n+1) - f(1)) + B_2(f'(n+1) - f'(1)) + \dots,$$

(1)

где $B_0 = 1, B_1, B_2, \dots$ — числовые определители бесконечного порядка. Полученное выражение называется формулой Эйлера — Маклорена, но я, конечно, об этом не знал. Чтобы его вычислить, нужно было найти коэффициенты $B_0, B_1, B_2, \dots$.

Для этого я применил соображения, которые сегодня называны «функциональными». Именно, пользовсь тем, что коэффициенты $B_0, B_1, \dots$ не зависит от $f$, я подбрал такую функцию $f$, чтобы левая часть системы образовала геометрическую прогрессию (которую я умел суммировать). Для этого подходит функция $f(x) = e^{\alpha x}$, подставляя которой в формулу (1), я получил (проделяйте выкладки!)

$$B_0 + \alpha B_1 + \alpha^2 B_2 + \dots = \frac{\alpha}{e^{\alpha}-1},$$

т. е. получил произведение функции для нужных чисел $B_0, B_1, B_2, \dots$ (они называются числами Бернулли, а многочлен $S_0$ для $f(x) = x^p$ называется многочленом Бернулли).

Из этого перiodа я помню еще две задачи. Первая возникла из задачи в нашем задании по алгебре: выразить $x_1^2 + x_2^2$ и $x_1^3 + x_2^3$ через коэффициенты квадратного уравнения, корнями которого являются $x_1$ и $x_2$.ECTЕСТВЕННЫМ ОБОБЩЕНИЕМ ЯВЛЕТСЯ ЗАДАЧА: выразить суммы $x_1^2 + \dots + x_n^2$ и $x_1^3 + \dots + x_n^3$, где $x_1, \dots, x_n$ — корни уравнения $x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0$, через

10

эго коэффициенты. Здесь мне помогла теорема Безу, которое я узнал из учебника Давыдова. Я пошел дальше и поставил себе более общую задачу: выразить сумму $k$-х степеней корней алгебраического уравнения $n$-й степени через коэффициенты этого уравнения. Я решил эту задачу (ответ назвается формулой Ньютона).

Вторая задача, которая я тогда решал, возникла, когда я обнаружил, что число cos $ix$ — вещественное, либо

$$\cos ix = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \dots$$

Я задумался над этим неожиданным фактом и доказал следующее обещание теорему: всякая четная вещественная функция принимает вещественные значения на минимой оси.

Чтобы это доказать, нужно было уточнить, что такое «функция». Я размышлял над тем, что называть функцией, и принял такое определение: функция — это сумма сходящого бесконечного степени ряда. После этого доказательство теоремы почти очевидно.

Эта задача, по-видимому, была последней, над которой я размышлял до своего приезда в Москве. Я ее решил летом 1929 года, а в следующие полгода, очень трудные для моей семьи и для меня, мне было не до математики.

Дальнейший период моих занятий, в Москве, в отличие от описанного, не был «чистым экспериментом». В Москве я уже был подвержен многим самых разнообразным влияниям, и мое развитие уже не шло своим собственным путем. В этот период, как я уже говорил, яучился самостояльно в библиотеке им. В. И. Ленина, перебиваясь служными заработками. Однако время даже был контрольом в «Ленинке». Познакомился с университетским студентами-математики. Кто-то из них мне сказал, что мой интерес к выражениям вида $f(n+1)-f(n)$ связан с целой наукой, называемой теорейкой конечных разностей, и подсказал мне, что нужно прочитать книгу Nörlund’a «Differenzenkalkül» на эту тему. Книга была на немецком языке, но с помощью словаря я ее осилл.

Стал ходить на университетские семинары, и тут оказался под тяжелим психологическим прессом. Я обнаружил, что мой стиль занятий математикой никак не годится. В математике появились новые вещи — новые требования в отношении строости доказательств, большой интерес к теории функций действительного переменного (ТФДП). (Замечу, что сегодня и этот уровень строости, и ТФДП считают старомодными и устарелыми, но тогда…)

Тогда я осознал, что очень важно, что функция не обязана быть неправивной, что непрерывная функция не обязана быть дифференцируемой, что дифференцируемая функция не обязана быть дважды дифференцируемой и т. д.; что даже если у функции существует произвольные всех порядков, то ее ряд Тейлора не обязана сходиться и что, даже если он сходится, его сумма не обязана совпадать со значением функции! Если это совпадение имеет место, то такая функция называется аналитической, и этот класс функций, утверждали приверженцы ТФДП, настолько узок, что находится за пределами главных интервов математики. А я только такие функции и рассматривал!

Под давлением этой точки зрения я прочитал «современный, строгий» учебник по анализу Валле Пуссена, пожожий на те учебники, по которым сегодня участвует на механите МГУ, но лучший, чем они. Я поэтому с пониманием сочувствующего первогоурсника механита, которые допускают к красотам математического анализа только после годового испытательного срока, испытания «строгим обоснованием» анализа.

Но и тут мне повезло. Я стал читать замечательный учебник И. И. При-

12

часы делают коробку (см. рисунок). Какого размера квадратки надо вырезать, чтобы объем коробки был максимален?

Ясно, что нельзя вырезать очень маленькие квадратки, так как коробка получится слишком мелкой. Нельзя вырезать и очень большие квадратки, так как тогда коробка будет слишком узкой. Сколько же надо вырезать?

Указание: объем коробки $V = x(a - 2x)^2$. Ву-
дем искать максимум $4V = (4x)(a - 2x)(a - 2x)$,
т. е. максимум произведения трех чисел, сумма которых равна 2a.

5. Задчача. Вычислите суммы $\cos x + \cos 2x + \dots + \cos nx$ и $\sin x + \sin 2x + \dots + \sin nx$.

6. Вычисляя объемы и площади поверхности тела врашения, И. М. Гельфанд открыл для себя замечательные теоремы Гульдина:

объем тела врашения плоской фигуры вокруг не пересекающей ее оси равен произведению площади этой фигуры на длину окружности, описанной центром тяжестеги;

площадь поверхности тела врашения равна произведению длины границей фигуры на длину окружности, описанной центром тяжестеги этой границцы.

Задчача. На каком расстоянии от центра находится центры тяжестеги полукруга и полукружности?

7. Чтоы познакомитться с определителемми, решим систему линейных уравнений:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2. \end{cases}$$

Если $a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0$, ее решение дает формулы:

$$x = \frac{c_1b_2 - c_2b_1}{a_1b_2 - a_2b_1}, y = \frac{a_1c_2 - a_2c_1}{a_1b_2 - a_2b_1}.$$

Величина $a_1b_2 - a_2b_1$, стоящая в знаменателе, обозначает через $\begin{matrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{matrix}$ и называется определителем. В числительных тоже стоит определители $\begin{matrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{matrix}$ и $\begin{matrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{matrix}$.

Аналогично при решении системы

$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1, \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2, \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}$$

в знаменателе повязются определители третього порядка. Определитель

$$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{matrix}$$

раведен $a_1(b_2c_3 - b_3c_2) + a_2(b_3c_1 - b_1c_3) + a_3(b_1c_2 - b_2c_1)$. Обратите внимание на то, что в скобках стоит определителя второго порядка. Такая запись определителя называется его разложением по первому столбцу.

Можно договораться, из каких однолетов от переменных $a_1, a_2, \dots, d_4$ состоит определитель четырого порядка:

$$\begin{matrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{matrix}.$$

Гораздо труднее угадать, каковы знаки этих однолетов.

Квадратные таблицы из чисел называются (квадратными) матрицами, а соответствующие определители — определители матриц. Интересно, что сейчас И. М. Гельфанд увлечен вопросом: чем должен быть равен определителькубищеской матрицы? Когда ответ будет получен, он найдется расскадать об этом на страницах «Кванта».

8. Задчача. Докажите, что

$$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6$$

и

$$1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = n^2(n+1)^2/4.$$

Замечательно, что $1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + \dots + n)^2$. Интересно, можно ли это доказать непосредственно?

Числа Бернулила дают возможность вычислить и обшую сумму $1^p + 2^p + \dots + n^p$ как многочлен от $n$ степени $p+1$.

9. Задчачи. а) Выразите сумму квадратов корней уравнения $x^2 + px + q = 0$ через его коэффициенты.

6. To же — для суммы кубов корней этого уравнения.

b) To же — для суммы квадратов и кубов корней уравнения

$$x^n + a_1x^{n-1} + \dots + a_n = 0.$$

Указание: воспользуйтесь формулами Виета:

$$a_1 = -(x_1 + x_2 + \dots + x_n), \quad a_2 = x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_n-1x_n, \quad a_3 = -(x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + \dots + x_n-2x_nx_1x_n),$$ где $x_1, x_2, \dots, x_n$ — корни уравнения.

Решая общую задачу о том, как выражается сумма степеней корней уравнения через его коэффициенты, И. М. Гельфанд доказал формулы Ньютона:

$$p_k + a_1p_k-1 + a_2p_k-2 + \dots + a_k-1p_k = 0, \quad k \leq n, \quad p_k + a_1p_k-1 + a_2p_k-2 + \dots + a_np_k-n, \quad k > n.$$

Здесь $p_k$ обозначает сумму $i$-х степеней корней $x_i^1 + x_i^2 + \dots + x_i^n$.

Формулы Ньютона можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно $p_i$ с коэффициентами $a_1, a_2, \dots, a_n$. Если решить эту систему, то получится формула Варианта, прямо выражющая сумму степеней уравнений через его коэффициенты. В современной математике этот сложет получил далекое развитие.