Московский физико-технический институт

72

Московский физический институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите неравенство
   $$\log_2(x+1) < 1 - 2\log_4x.$$
2. Решите уравнение
   $$\sqrt{\frac{1}{2} + \cos x} \sin(2x + \frac{\pi}{4}).$$
3. Диагонали BD и AC выпуклого четырехугольника ABCD перпендикулярны, пересекаются в точке O, AO=2, OC=3. Точка K лежит на стороне BC, причем BK:KC=1:2. Треугольник AKD равносторонний. Найдите его площадь.
4. Множество M состоит из точек (a; b) координатной плоскости, для которых $|a| \neq 1$ и уравнение
   $$(3a-4b+15)x^1+(7a-24b+35)x^2+ |a^2-1|+a^2-1=0$$
   имеетровно три решения. Докажите, что в многоугольник, внутренней область которого является многоугольной M, можно вписать окружность, и найдете координаты центра этой окружности.
5. На продолжении за точку $A_1$ ребра $AA_1$ правильной треугольной признамы $ABCA_1B_1C_1$ (ABC — основание) взята точка M. Церез точку M и точку K — середину ребра BC — проведена плоскость α, пересекающая ребро AC в точке $K_1$ так, что угол $KK_1M$ равен arctg $\sqrt{55}$. Известно, что сечение признамы плоскостью α — пятную угольник $KK_1K_2K_3K_4$, у которого $K_1K_2 = \frac{7}{2}, KK_1 = \frac{\sqrt{14}}{2}, K_2K_3 = \frac{3}{8}\sqrt{14}$. Найдите объем признамы.

Вариант 2

1. Решите уравнение
   $$2\mathrm{ctg}x - \frac{1}{\cos x} = \frac{2}{\sin 2x}.$$
2. На сторону BC ромба ABCD опущена высота DK. Диагональ AC пересекает высоту DK в точке M так, что DM:MK=13:7. Найдите DK, если известно, что AK=17.
3. Пристань A находится выше по точению реки, чем пристань B. Из A и B одновременно навести друг друг на지жение плот и motorная лодка. Доступный пристани A, motorная лодка немедленно повернула обратно и догнала плот в тот момент времени, когда он пропыллел $\frac{2}{3}$ расстояния между A и B. Найдите время, которое затрачаивает плот на путь из A в B, если известно, что motorная лодка пропылвает из B в A и обратно за 3 часа.
4. Найдите все такие значения p, чтобы к графику функции
   $$y=x^4-\sqrt{3}x^2+\frac{21p^2}{2^p+3}$$
   можно было проведении касательную, пересекающую ось ordinат в точке (0; a), где $a \geq \frac{3}{4}2^pp^2+\frac{1}{4}$.
5. Два квадрата ABCD и KLMN расположены в пространстве так, что центр квадрата KLMN совпадает с серединой стороны AB. Точка A лежит на стороне LM и AM<AL, точки N равнодалена от точки B и C. Расстояние от M до ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно $2\sqrt{3}$, а расстояние от K до ближайшей к ней точки квадрата ABCD равно 5. Найдите длины сторона квадратов ABCD и KLMN и расстояние от точки N до плоскости ABCD.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Космонавты, высадившиеся на поверхности Марса, изменили период врашения кони-