Заочная физико-техническая школа при МИСиСе

69

14. Сосуд объемом 20 л разделен тонкой подвижной перегородкой на две части. В левой части находится 1 моль воды, в правой — 0,5 моль азота. Температура подерживается равной 100 °C. Определите объем правой части.

Математка

1. Два туриста одновременно вышили из пункта A в пункт B. Первый турист поливну временил шел со скоростью 5 km/ч, а другую половину — со скоростью 4 km/ч. Второй турист 4/9 пути шел со скоростью 6 km/ч, а остальной часть — со скоростью 4 km/ч. Какой турист равше приближел в пункт B?

2. Длина средней линии трапеции равна 5 см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3 см. Найдите основания трапеции, если углы при большем основании равны 30° и 60°.

3. Найдите наиболее возможное значение частного от деления трехначного числа на сумму его цифр.

4. Какие две цифры надо приписать справа к числу 1989, чтобы полученное число делилось на 8 и на 9?

5. Известно, что $a + \frac{1}{a}$ — целое число.
   Докажите, что $a^3 + \frac{1}{a^3}$ — тоже целое число.

6. На координатной плоскости расматривают треугольники с вершинами в точках A (0, 0), B (1, 1) и C (x, y). Найдите и изобразите на рисунке множество таких точек C, что треугольник ABC — остроугольный.

7. Точка K — середина стороны AD ромба ABCD, а точка L лежит на диагонали AC, AL=3LC. В каком отношении точка пересечения отрезков BD и KL делит отрезок BD?

8. При каких значениях параметра a уравнение $x + \sqrt{x} = a$ имеет единственное решение?

9. Какие значения может применить параметр c, если известно, что $|x^2 - x + c| \leq 1$ при $0 \leq x \leq 1$?

10. В выпukлом четырехугольнике площадью S проведены отрезки, соединяющие противоположных сторон. Найдите наименьшее возможное значение произведения длины отрезков.

11. Средняя натуральных чисел от 1 до 99 выбранты те, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Найдите сумму этих чисел.

12. Из точки на окружности основания цилиндра вылетает частица, которая отражается от основании и боковой поверхности цилиндра по закону: угол падения равен углу отражения, а в точках окружностей оснований отражения не происходит. Известно, что первое отражение произойдет в точке на основании цилиндра, а после ряда отражения частица вернулась в исходную точку. Найдите наименьшее возможное число отражений.

Заочная физико-техническая школа при МИСиCe

Филиал Весосоюзной заочной математической школа — Заочная физико-техническая школа при Московском институте стали и сплавов — обьявляет набор учащихся восьмы, девятые и десять класси на 1989/90 учебный год.
Цель работы шклы — оказание помощи учащимся в углубленном изучении программы материала средней шклы по физике и математике, а также в профорентиции по профилю МИСиCa.
Программа обучения по математике полностью ответствует курсу ВЗМШ. Курс физики разработан преподавателями кафедры общей физики и кафедры теоретической физики МИСиCa.
Работа шклы организована следующим образом. Четыре-пять раз в год учащимся расскажются контрольные задания по физике и математике вместе с кратками сведениями по теории и примерами решения задачи, а также профорентиционные материалы. Присланные учащимся работы проверяются и вместе с оценкой A (0, 0), B (1, 1) и C (x, y). Найдите и изобразите на рисунке множество таких точек C, что треугольник ABC — остроугольный.

7. Точка K — середина стороны AD ромба ABCD, а точка L лежит на диагонали AC, AL=3LC. В каком отношении точка пересечения отрезков BD и KL делит отрезок BD?
8. При каких значениях параметра a уравнение $x + \sqrt{x} = a$ имеет единственное решение?
9. Какие значения может применить параметр c, если известно, что $|x^2 - x + c| \leq 1$ при $0 \leq x \leq 1$?
10. В выпukлом четырехугольнике площадью S проведены отрезки, соединяющие противоположных сторон. Найдите наименьшее возможное значение произведения длины отрезков.
11. Средняя自然科学 чисел от 1 до 99 выбранты те, которые не делятся ни на 2, ни на 3. Найдите сумму этих чисел.
12. Из точки на окружности основания цилиндра вылетает частица, которая отражается от основании и боковой поверхности цилиндра по закону: угол падения равен углу отражения, а в точках окружностей отражения не происходит. Известно, что первое отражение произойдет в точке на основании цилиндра, а после ряда отражения частица вернулась в исходную точку. Найдите наименьшее возможное число отражений.

Занятия в ЗФТШ начинаются с 1 октября. Для зачисления в школе надо выполнить первое (вступительное) задание по математике, которое предлагается всем поступающим в ВЗМШ (само Задание 1 и правила оформления решения приведены в информации «Новый прием во Весосоюзную заочную математическую школе» в этом номере журнала). К решению приложите заявление (в заявлении ука-