XXIX Международная математическая олимпиада

Квант 1989, №1 с. 56-58 Тег 8XI7

XXIX
Международная математическая олимпида

Кандидат физико-mатематических наук
В. В. ВАВИЛОВ,
кандидат физико-mатематических наук
А. А. ФОМИН

XXIX Международная математическая олимпида проходила с 9 по 21 июля 1988 года в Австралии в Сиднее и Канберре и являлась частью государственной программы, посвященной празднованию 200-летия образования Австралиского Союза.

Безусловно, все мы очень ждали этой олимпиды и штастельно к ней готовились в течение всего года. Наш страну представляли Сергей Берлов, Сергей Иванов, Николай Филонов, Юрий Хохлов (все четвero — из Ленинграда), Дмитрий Иванов (г. Долгопрудный Московской области), Дмитрий Туляков (г. Жданов). Сергей и Дмитрий Ивановы сейчас участвовали в десятом классе и имеют реальные шансы быть включеными в состав команды СССР на XXX олимпиде, которая состоит в ФРГ в 1989 году; кроме того, для Сергей Иванова олимпида в Австралии была уже второй Международной олимпидой, и в обеих он добавляя заменательных результатов. Руководители учебнотренировочных сборов команды и команды на самом олимпиде были авторы настоящего статьи. Большую помощь в подготовке команды оказали члены редколлегии журнала «Квант».

На торжественной открытии олимпиды член Парламента Австралиского Союза министр занятости, образования и обучения Джон Доунис сказал: «Участие в этом важном международном событии показывает, можно добиться, когда страны со всего мира объединяются с целью представления благоприятных условий для образования молодых людей… Своим участием в этой олимпиде вы утверждаете главные принципы, входящие в основу образования системы во всем мире: принцип стремления к совершенству во всех наших делах; принцип сотрудничества как в классной комнате, так и во всех сферах рабочей жизни; и простой, но такой важный, принцип трудолюбия…»

В XXIX ММО приняло участиеrekордное число стран — 58, из них50 странах представлены командами школьников, а 8 страан — только наблюдаемми. Олимпида прошла на очень высоком научном и организационном уровне. Ее успешно способствовала большая подготовительная работа, которую возглавляли премьер-ministerр Австралии Роберт Хоук, министр занятости, образования и обучения Джон Доунис, председент Академии наук Девид Кэртис, директор Канберского колледжа высшего образования Роджер Скотт, председатель юрисвобийского общественного учитель математики Патрик Костелло, директор фирмы IBM-Австралия Брейн Финн и многоге другие.

Международные олимпиды проходят по сложившейся традиции в дватура, в каждом из которых предлагается по три задачи. На тур ответится 4,5 часа работы времени, и каждая задача (независимо от ее сложности) оценивается в 7 баллов.

Задание XXIX ММО
1 (Люксембург). На плоскости даны две окружности с общим центром, радиусы которых соответствовали равны r и R, r<R. Пусть P — фиксированная точка на маленькой окружности и B — переменная точка на большей окружности. Примяя BP пересекает второй раз большую окружность в точке C. Перпендикуляр l к прямой BC, проходящий

Через точку $P$ , пересекает второй раз маленькую окружность в точке $A$ (в случае, когда $l$ — касательная к окружности, считаем, что $A=P$ ).

Найдите множество значений выражения $BC^2+CA^2+AB^2$ .
Найдите множество точки, являющихся серединами отрезков $AB$ .

2 (Чехословакия). Пусть $n$ — натуральное число и $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ — подмножества некоторого множества $B$ . Предположим, что $a)$ каждое множество $A_i(i=1, 2, \dots, 2n+1)$ содержитровно $2n$ элементов;

$b)$ каждое множество $A_i \cap A_j(1 \leq i < j \leq 2n+1)$ содержитровно один элемент;

$c)$ любой элемент множества $B$ принимает не менее чем двум из множества $A_i(i=1, 2, \dots, 2n+1)$ .

Для каких значений $n$ можно поставить в соответствии каждому элементу множества $B$ одно из чисел 0 или 1 так, чтобы каждое из множества $A_1, A_2, \dots, A_{2n+1}$ содержало бы равно $n$ элементов соответствующих числу нуля?

3 (Англия). Функция $f$ определяна на множество целых положительных чисел и удовлетворяет следующим условиям:

$f(1)=1, f(3)=3, f(2n)=f(n),$
$f(4n+1)=2f(2n+1)-f(n),$
$f(4n+3)=3f(2n+1)-2f(n).$

Найдите число всех таких значений $n$ , $1 \leq n \leq 1988$ , для которых $f(n)=n$ .

4 (Ирландия). Докажите, что множество решений неравенства

$\sum_{k=1}^{70} \frac{k}{x-k} \geq \frac{5}{4}$

является объединением непересекающихся промежутков, сумма длины которых равна 1988.

5 (Греция). Пусть $AD$ — высота в прямомугольном треугольнике $ABC, <A=90^\circ$ . Примая, проходящая через центры окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $ACD$ , пересекает стороны $AB$ и $AC$ соответственно в точках $K$ и $L$ . Докажите, что

$S_{ABC} \geq 2S_{AKL}.$

6 (ФРГ). Пусть $a$ и $b$ — такие целые положительные числа, что $a^2+b^2$ делится на $ab+1$ без остатка. Докажите, что $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ является квадратом целого числа.

Коротко расскажем о том, как производится подбор задач для оптимизации, формируется и работает жюри ММО. Каждый стране-участница предоставляется возможность предложить не более 6 задач с полными решениями, которые, по возможности, должны охватывать различные разделы школьного курса математики и иметь разную степень трудности. Из всех поступивших на конкурс задач специальная комиссия страны, проводящей оптимизацию, отбирает, как правило, 20—30 задач для дальней

нейшего обсуждения на засеединях жюри. В жюри MMO входят научные руководители всех стран-участниц, а также представлены жюри и его меститель, назначенные организациями. Все вопросы на засеединях жюри решаются простым большинством голосов. Набольшие дискусии в жюри возникют при оценке сложности задач. Наболее типичен здесь пример с задачи по стереометрии — большиство стран не желает включать такие задачи в окончательный список задач олимпиды.

Из 275 школьников, участвовших в MMO, примерно пользовна была нагradлена золотыми, серебрными или бронзовыми медалями (приблизительно в отношении 1:2:3). В команде СССР золотыми медалями нагradены Н. Филонов (42), С. Иванов (41), Д. Туляков (37) и Д. Иванов (36), а серебрными медалями нагradены Ю. Хохлов (31) и С. Берлов (30); вскобках указано набранное участиками число баллов (из 42 возможных).

В неофициальном (как и на спортивных олимпидах) командном зачете команда СССР заняла первое место (217 баллов из 252 возможных). Далее следуют: Китай (201), Румыния (201), ФРГ (174), Вьетнам (166), США (153), ГДР (145), Болгария (144), Франция (128), Канада (124). Отметим особо, что команды Болгарии и ГДР выступали неполными составами — по 5 школьников. Команда Австралии набрала 110 баллов, один из участников Теренс Тао завоевал золотую медаль (34 балла) и один — Джефри Байлей (20 баллов) — серебрную. Теренс Тао третий раз выстает в составе сборной страны — в прошлом году на Кубе он завоевал серебрную медаль, а в 1986 г. в Варшаве — бронзовый. А самое главное, что в период проведения олимпиды этого года ему исполнили только 13 лет и во время обеда все участики MMO устроили ему громкую овощью, выразив тем самым ему свое восхитение и уважение.

Matематические совершения проходили в два дня, а все остальные дни пребывания были посвящены знакомству со страной, ее достопримечательности, культурой и искусством, природой, простой простой и хорошо организованному отдельному, спортивным мероприятиям и взаимному общею членов различных команд. О внестельных от экскурсии, о возникших в период олимпиды знакомствах, перевернутом месте и созведении Южный Крест, олевостороннем движении, о кенгуру, коала — маленьком медвежонке размером с подушку, какаду, летучих белках и т. д. и т. д. можно расссказать до бесконечности…

Мы закончим свой рассказыми из речи премьер-minистра Австралии Робerta Хоука на очень торжественной и трогательной церемонии закрытия XXIX МMO: «В таких областях, как спор и искусство, имеется много возможностей для поощрения и раннего открытия талантов, но на интеллектуальном поррице это наблюдается реже. Настоящая Олимпида представляет как раз такую возможность, причем на том поррице, где стремление к совершенству является предельно важным не только для конкретных лиц, но и для стран в целом. Поощрение совершенства в математике может только способствовать промышленному и экономическому развитию, что, в свою очередь, может привести к лучшей жизни для людей всех наших стран…

Несмотря на всю важность самого математического совершения, я считаю, что культурный обмен, просуществший здесь, является не менее важным. Я надеюсь, что вы будете поддерживать этиружетенные связи и после того, как покинете Канберру, что вы употребите свои таланты на благо вашего Родины и всего мира, равно как и для личного удовлетворения и осуществления жизни человека…

Присоединись к этим словам, пожелаем членам советской команды больших творческих успехов, крепкого здоровья, большого трудолюбия и целеустремленности в их дальнейшей жизни.