Задачи М1141—М1145; Ф1148—Ф1152

21

Задания
M1141—M1145, Ф1148—Ф1152

M1141. Трапецция описана около окружности. Докажите, что хотя бы одна из ее диагоналей образует с основанием угол не более 45°.

H. M. Седракин

M1142. Таблица $m \times n$ заполнен $mn$ числами так, что в каждой строке и в каждой столбце эти числа составляютарифметическое прогрессию. Сумма четырех чисел, стоящих в углах таблицы, равна $s$. Чему равна сумма всех чисел в таблице?

M1143. Масса каждой из 101 гирек, расположенных по окружности, — натуральное число, а их общая масса равна 300 г. Докажите, что из этого набора можно выбрать одну или несколько гирек, расположенных подряд, с общей массой 200 г.

B. B. Произвольов

M1144. Пусть $a_1, a_2, \dots, a_n$ — неотрицательные числа. Какое число больше:

$$\sqrt{a_1^{1988} + a_2^{1988} + \dots + a_n^{1988}}$$ или $$\sqrt{a_1^{1989} + a_2^{1989} + \dots + a_n^{1989}}$$

A. И. Шехорский

M1145*. Из точки $P$ проведены две касательные PB и PC к окружности, причем $\angle BPC > 90^\circ$. На меньшей дуге BC взята точка A. Докажите, что площадь треугольника, отсекаемого от угла BPC касательной к окружности в точке A, не превыходит площадь треугольника ABC.

B. Ю. Прогасов

Ф1148. Цилиндр с намотанной на него нитью, второй конец которого закреплен,кладут на гладкую наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горизонтом, так, как показано на рисунке 1. В тот момент, когда нить была вертикальная, угловая скорость вращения цилиндра была равна $\omega$. Определить, чему равна в этот момент: а) скорость оси цилиндра; б) скорость точки цилиндра, касающейся наклонной плоскости. Радиус цилиндра равен $R$.

C. C. Кротов

Ф1149. На проведение рельсы игрушечной железной дороги беспорядочно бросают, замыкая рельсы, тонкие длиные оголенные проводники из меди. Оценить сопротивление между рельсами, если расстояние между ними равно $l = 5$ см, диаметр проводника $d = 0,2$ мм, его длина $h = 30$ см, бросили $N = 100$ проводников.

A. P. Зильберман

Ф1150. К идеальному одноатомному газу, заключенной внутри масляного пузира, подводится телло. Найти теплоемкость газа (в расчете на 1 моль) в этом процессе, если давлением пузира можно пребежать.

A. A. Шеронов

Ф1151*. Электростатическая волтметр представляет собой плоский конденсатор, одна из пластин которого