Дроби — верблюды — паркеты

30

ДРОБИ — ВЕРБЛЮДЫ —
ПАРКЕТЫ

Кандидат физико-математических наук
В. Л. ГУТЕНМАХЕР

Нередко бывают, что одна и та же математическая задача естественно возникает в современно неположих ситуациях — от головоломок до прикладных расчетов. Об одной из таких задач сегодня и почти речь.

Арифметическая задача

Найти все четвёрки натуральных чисел (p, q, r, s), для которых справа竖ло равенство

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1.$$

Будем считать, что $p \leq q \leq r \leq s$. Тогда самое меньше число — $p$ — не больше 4 (иначе $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} < 1$) и, конечно, не меньше 2. Следовательно, надо рассмотреть три случая: $p=2$, $p=3$, $p=4$.

Пусть $p=2$. Тогда $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$. Снова оценим самое меньше число — $q$. Оно не может быть больше 6 (иначе $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} < \frac{1}{2}$) и должно быть не меньше 3.

Тепер в равенство $\frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = \frac{1}{2}$ подставим четые возможных

32

быть равны $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{7}$ соответственно*). Судья добавляет одного своего верблюда (получается 42) и отделяет братьям соответственно 21, 14, 6 верблюда (всего 41), а своего верблюда забирает назад.

Практическая задача

Самый простой из «правильных» паркетов — это разбиение плоскости на квадраты (рис. 1). Интересно выяснить, сколько есть такие паркетов: к каждой вершине паркета примыкают четыре правильных многоугольника и все вершины устройства одинаково (последнее означает, что паркет можно сdwинуть так, что лю-
*) Первая четверка среди всех других выделяется тем, что содержит наиболее число — 42, при чем 42=2·3·7. Среди troек чисел, сумма обратных которых равна 1, таким же свойством обладает начало нашей четверки: (2, 3, 7). Оказывается, что среди пaterок такой будет (2, 3, 7, 43, 1806), где 1806=2·3·7·43; среди шестерок — (2, 3, 7, 43, 1807, 3263443), и далее будет так же. Это — очень трудная теорема, которую наша старшие читатели встречали в 7-м номере «Кванта» за 1987 год в стате «Разбивание единиц».

бая его заданная вершина перейдет в любую другую заданную вершину и все линия совпадают). Это — вполне практическая задача.

Мы знаем, что сумма углов правильного $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$, а его один угол равен

$$\frac{180^\circ(n-2)}{n} = 180^\circ - \frac{360^\circ}{n}.$$

Пусть в вершине паркета скодятся углы четырех правильных многоугольников: $p$-угольника, $q$-угольника, $r$-угольника и $s$-угольника. Сумма этих четырех углов должна равнять $360^\circ$. Запишем это условие:

$$180^\circ - \frac{360^\circ}{p} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{q} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{r} + 180^\circ - \frac{360^\circ}{s} = 360^\circ.$$

Легко понять, что это равенство приводит к знакомому нам соответствию

$$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1.$$

33

Если считать, что $p \leq q \leq r \leq s$, то все такие четырёх мы знаем — их 14 штук. Так как речь идет о многоугольниках, надо отбросить те четырёх, где $p=2$. Останутся четырёх четырёх:

(4,4,4,4), (3,4,4,6), (3,3,6,6), (3,3,4,12).

Первая четырёха соответствует паркету из одинаковых квадратов (каждай вершине примыкают 4 правильных четырёхугольника — см. рисунок 1).

Вторая четырёха (3,4,4,6) представляет две возможности для устройства вершины (рис. 2, $a$, $\delta$), но дляправильного паркета удается достроить только паркет на рисунке 2, $a$ — получается рисунок 2, $\delta$.

Третьей четырёхе (3,3,6,6) также соответствует два расположения многоугольника:

Громоотвод, политика и…
шляпки

(Начало см. на с. 13)

Чешский связейник Прокоп Дивиш по правилам неофицальной типул «волшебник электричества» (magus electricus). В 1754 году он построил первый в Европе молниеотвод, изобретенный им независимо от Франклина. Но перенесемся на несколько лет назад.

В 1750 году венский профессор Иозеф Франц решил показать Дивишу свой электрический опыт. У Франца был типичный для того времени генератор статического электричества — врачаемый стеклянный шар с подвешенным на шелковых шнурах кондуктором (отводом) в виде металлической трубки или прута. Чтобы проверить любой электрической опыт, нужно было вращать стеклянный шар, который при этом электризовался тренем и сообщал паркетю.

Дивиш прибил к Францу в парике, как того требовала мода. Но парик был с секретом: весь утыkan обрезками проволоки. Уже давно было известно, что металлическое отсутствие «отнимает электричество» (это — одно из явлений, на которых основано действие молниеотвода). Наложняя голову к кондуктору, Дивиш отводил тем самым электрическим паряд. Вероятно, Дивиш испытывал непритыные ошибки, отводя паряд в землю через свое тело, но чего нестерпись ради хорошего шутки!

ки! Франц был обесекран: он никак не мог получить заряд на кондукторе. Ему так и не удалось удивить «мага электричества».

Если бы Дивиш провел заемление от обрезков проводок (скрытым образом, разумется), он был бы избавлен от непритыных ошибений. Идея такого рода возникла во второй половине XVIII века. Речь идет о шляпе-молниеотводе. На рисунке (см. 2-ю страницу обложки) изображены паряжские модели с персональной грозозащитой в виде середняной цепочки, спускоошейся до пят с металлической стержня, укрепленного на шляпе. В XVIII века это не было шуткой.

Л. Н. Крижановский