Московский институт электронного машиностроения

74

5. Найдите все значения $x$, принадлежие промежутку $[-\pi; \pi]$ и удовлетворяющие соотношения

$$|\sin 2x| = \cos^4 \frac{x}{2} - \sin^4 \frac{x}{2}.$$

Физика

Задачи устного экзамена

1. Пуля, летящая с некоторой скоростью, углубляется в дошатый барер на глубину $l=10$ см. На сколько углубится в тот же барер пуля, имеющая вдвое большую скорость?

2. Автобус массой $m=4$ т трогается с места и на пути $l=100$ м прибретает скорость $v=20$ м/с. Найдите коэффициент треня, если сила тягги $F=10$ кN.

3. Мяч, летящий со скоростью $v_1=20$ м/с, отбрасывает ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью $v_2=15$ м/с. Найдите, чему равно изменение импульса мяча, если изменение его кинетической энергии при этом равно $\Delta E=8,75$ Дж.

4. Автомобиль массой $m=2000$ кг тормозит и остановливается через $t=4$ с, пройдет путь $l=40$ м. Какую работу совершает при этом сила тягги?

5. В баллоне объемом $V=0,2$ м³ находится гелий под давлением $p_1=10^5$ Pa при температуре $t_1=17^\circ\text{C}$. После подкачивания гелия давление повышалось до $p_2=3\cdot10^5$ Pa, а температура стала равной $t_2=47^\circ\text{C}$. На сколько увеличилась масса гелия? Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К), молярная масса гелия $=4\cdot10^{-3}$ кг/моль.

6. Для нагревания некоторого количества воды от $0^\circ\text{C}$ до температуры кипения на электрическом нагревателе потребовалось $\tau_1=15$ мин. После этого $\tau_2=1$ ч 20 мин потребовалось для обращения всей воды в пар при тех же условиях. Определите по этим данным удельную теплоту парообразования воды. Удельная тепломкость воды $c=4200$ Дж/(кг·К).

7. Два одинаковых металлических шарика с зарядами $q_1=9,5\cdot10^{-9}$ Кл и $q_2=54,5\times10^{-9}$ Кл находились в воздухе на некотором расстоянии друг от друга. Затем их на некоторое время соединили и поместили в керосин на прежнее место. Сила взаимодействия шариков при этом не изменилась. Найдите диэлектрическую пропищаемость керосина.

8. К источнику тока с внутренним сопротивлением $r=0,4$ Ом подключен резистор сопротивлением $R=6$ Ом. Во сколько раз изменяется мощность, выделяемая во внешней цепи, если последовательно первому подключить еще один такой же резistor?

9. Электрибритагатель подъемного крана работает под напряжением $U=380$ В и потребляет силу тока $I=20$ А. Каков КПД двигателя, если груз массой $m=1$ т кран поднимает равномерно на высоту $h=19$ м за время $t=50$ с?

10. Из некоторой жидкости на границу ее раздела с вакуумом падает луч света. Угол падения $a=30^\circ$. Отраженный и преломленный лучи перепределил друг друга. Найдите показатель преломления этой жидкости.

Московский институт электронного машиностроения

Математика

Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решите уравнение

$$\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x-a}} = \frac{1}{\sqrt{x^2-ax}}.$$

2. Решите уравнение

$$\sin x + \cos x = \sqrt{1 + \tg x}.$$

3. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна $a$. Через диагональ нижнего основания и вершину верхнего основания проведена плоскость, пересекающая две смесные боковые грани признаны по прямым, угол между которых равен $a$. Определите объем признамы.

4. Вычислите сумму корней уравнения

$$x^2 + 2(a^2 - 3a)x - (6a^3 - 14a^2 + 4) = 0$$

и найдите значения $a$, при которых она принимает наиболее значение.

5. Решите уравнение

$$\left(x - \lg \frac{x}{2}\right)^{\lg^2 2x - \lg \frac{x}{5}} - 1 = 1.$$

Вариант 2

1. Решите уравнение

$$\frac{x + 2}{3x - a} + \frac{3 - x}{3x^2 + 2ax - a^2} = \frac{3x + 2}{x + a}.$$

2. Решите уравнение

$$\sqrt{2\cos^2 x + 4\sin(x + 1)} = \sqrt{4\sin x \cos 1 - \sin 2x}.$$

3. Приведите определение функций $y = \sin x$, изложите с обоснованием ее свойства и построение ее графика.

4. При каких значениях $a$ наименьшее значение функции $y = x^2 + (a - 2)x - a$ на отрезке [1; 3] равно -4?

5. a) Сторона трехгольника равна 9, радиус вписанной окружности равен 3, один из углов прямой. Определите площадь трехгольника.

6. Сторона трехгольника равна 9, радиус вписанной окружности равен 3. Какое наименьшее значение может принять площадь трехгольника?

Публикация подготовил В. А. Тонин

75

Московский физико-технический институт
Matematika
Вариант 1

1. $0 < x < 1$.
2. $\frac{\pi}{4} + \pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi k (k \in \mathbb{Z})$.
3. $\frac{7}{\sqrt{3}}$. Указание. Пусть $AK = a, \angle KAO = \varphi$, точка $K'$ — ortогonalная проекция точки $K$ на прямую $AC$ (рис. 1). Из условия задачи следует, что $OK' = 1$. Тогда
   $$\begin{cases} a \cos \varphi = 3, \\ a \cos \left(\frac{\pi}{3} - \varphi\right) = 2, \end{cases}$$
   откуда $tg \varphi = \frac{1}{3\sqrt{3}}$ и $a = 2\sqrt{\frac{7}{3}}$.
4. $(0; \frac{5}{2})$. Указание. Множество $M$ задается системой неравенств
   $$|a| < 1, \quad (3a - 4b + 15)(7a - 24b + 35) < 0.$$
   Это множество — грапция с вершинами в точках $A\left(1; \frac{9}{2}\right), B\left(1; \frac{7}{4}\right), C\left(-1; \frac{7}{6}\right), D(-1; 3)$, причем $AB + CD = AD + BC$. Пусть ordината центра окружности равна $b$. Так как радиус окружности равен 1 и прямая $AD$ пересекает ось ordинат в точке $\left(0; \frac{15}{4}\right)$, то $b$ находится уравнения $\left(\frac{15}{4} - b\right)\cos \left(\arctg \frac{3}{4}\right) = 1$.
5. $\frac{63}{4}\sqrt{\frac{3}{2}}$. Решение. В пятиугольнике $KK_1K_2K_3K_4$ (рис. 2) $K_1K_2 \cos \angle KK_1M = \frac{7}{2} \cos (\arctg \sqrt{55}) = \frac{7}{4\sqrt{14}}$. Заметим, что $KK_1 - K_2K_3 = \frac{7}{4\sqrt{14}}$, следовательно, $(KK_3) \perp (KK_1)$. Пусть $AB = a, \angle CKK_1 = \varphi$, точки $K'_2$ и $K'_3$ — ortогonalные проекции на плоскость $ABC$ точек $K_2$ и $K_3$ (рис. 3). Применив теорему синусов к треугольником $KCK_1, AK'_2K'_2, KBK'_3$ (учитывая, что $\angle K_1KK'_3$ прямой), получим:
   $$\frac{\sqrt{14}}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3} + \varphi\right) = \frac{a}{2} \sin \frac{\pi}{3},$$
   $$\frac{3}{8} \sqrt{14} \sin \left(\frac{\pi}{3} + \varphi\right) = AK'_2 \sin \frac{\pi}{3},$$
   $$\frac{a}{2} \cos \varphi = (a - AK'_2) \sin \left(\frac{\pi}{6} + \varphi\right).$$
   Из (1) и (2) получаем, что $AK'_2 = \frac{3}{8} a$, с учетом этого из (3) следует, что $\varphi = \arctg \frac{\sqrt{3}}{5}$. Далее находим $a = 3\sqrt{2}, K_1K'_2 = \frac{7}{2\sqrt{2}}$. Высота прямых равна $\frac{7}{2\sqrt{2}}$.
   Вариант 2
6. $(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
7. $2\sqrt{30}$. Указание. Пусть $AB = a$. Используя свойство бисектрицы, получаем $KC = \frac{7}{13} a$. Тогда $KD = \frac{2\sqrt{30}}{13} a, AK = \frac{17}{13} a$.
8. 4 часа.
9. $p \leq 2$. Указание. Касательная, проведенная к графику функции в точке $(x_0; y_0), x_0 \geq 0$, пересекает оси ordинат в точке $(0; a)$, где $a = -3x_0^2 + \sqrt{3}x_0^2 + \frac{21p^2}{2^p + 3}$. Функция $a(x_0)$ принимает наибольшее значение в точке $\sqrt{\frac{\sqrt{3}}{6}}$, оно равно $\frac{1}{4} + \frac{21p^2}{2^p + 3}$.
10. $AB = 10\sqrt{13}, MN = 30$, расстояние от точки $N$ до плоскости $ABCD$ равно $10\sqrt{\frac{14}{13}}$. Решение. Пусть $AB = a, AM = BK = b, \angle ABN = \varphi$, плоскости $ABCD$ и KLMN пересекаются под углом $\varphi$ (рис. 4). Находим $BN = \frac{a}{2} (\sin \varphi + \cos \varphi)$. Тогда из условия равнодленности точки $N$ от точки $B$ и $C$ получим

76

Дем

$$g_M = \frac{F}{m} \cos \alpha = \left( \frac{2\pi}{T} \right)^2 l \cos \alpha \approx 3,8 \text{ m/c}^2.$$

2. Состояние 1 моля идеального газа в правой части сосуда в начальной момент описывается уравнением Менделеева—Клапейрона:

$$p_1 V_1 = RT_1.$$

Здесь и в дальнейшем индекс «1» будет относиться к параметрам газа в правой части сосуда, а «2» — в левой. Когда мы подведем к правой части сосуда небольшое количество теплоты $\Delta Q$, параметры газа изменяются, но по-прежнему будут удовлетворять уравнению состояния:

$$(p_1 + \Delta p_1)(V_1 + \Delta V_1) = R(T_1 + \Delta T_1).$$

Вычитая почленно одно равенство из другого, получим:

$$p_1 \Delta V_1 + V_1 \Delta p_1 + \Delta p_1 \Delta V_1 = R \Delta T_1.$$

Как обычно, предполагая, что в проводимом нами процесссе все параметры газа изменяются на малую величины ($\Delta T_1 \ll T_1$, $\Delta p_1 \ll p_1$, $\Delta V_1 \ll V_1$), мы можем пренебречь малым членом $\Delta p_1 \Delta V_1$ по сравнению с другими и записать:

$$p_1 \Delta V_1 + V_1 \Delta p_1 = R \Delta T_1.$$

Аналогичное выражение мы можем получить и для 1 моля газа в левой части сосуда:

$$p_2 \Delta V_2 + V_2 \Delta p_2 = 0.$$

По определению тепломкости

$$C = \frac{\Delta Q}{\Delta T}.$$

Используя первое начало термодинамики, для газа в правой части сосуда можно записать:

$$\Delta Q = C \Delta T_1 = \Delta U_1 + p_1 \Delta V_1,$$

или

$$C \Delta T_1 = \frac{3}{2} R \Delta T_1 + p_1 \Delta V_1.$$

Поскольку давления в обеих частях сосуда все время остаются равными: $p_1 = p_2 = p$ и $\Delta p_1 = \Delta p_2 = \Delta p$, а изменения объемов связанных оценидным соотношением $\Delta V_1 = -\Delta V_2$, из равенств (1) и (2) легко получить, что

$$p_1 \Delta V_1 = \frac{R \Delta T_1}{1 + V_1/V_2},$$

и, следовательно,

$$C = \frac{3}{2} R + \frac{R}{1 + V_1/V_2}.$$

В момент, когда поршень делит сосуд пополам, $V_1 = V_2$, откуда

78

Интеррируя с учетом начальных условий, получаем
$$I = I_0 - \frac{\mathcal{E}_2}{L} t = \pm 0,6 \mathcal{E}_1 \sqrt{\frac{C}{L}} - 0,8 \frac{\mathcal{E}_1}{L} t,$$
откуда находим два решения:

1. $-1,8 \mathcal{E}_1 \sqrt{\frac{C}{L}} = 0,6 \mathcal{E}_1 \sqrt{\frac{C}{L}} - 0,8 \frac{\mathcal{E}_1}{L} t_1 \Rightarrow t_1 = 3 \sqrt{LC};$
2. $-1,8 \mathcal{E}_1 \sqrt{\frac{C}{L}} = -0,6 \mathcal{E}_1 \sqrt{\frac{C}{L}} - 0,8 \frac{\mathcal{E}_1}{L} t_2 \Rightarrow t_2 = 3/2 \sqrt{LC}.$

4. Условию задачи отвечает системе из двух собственных линз, каждая из которых дает действительное изображение (рис. 10). Используя формулу тонкой линзы для линзы $J_1$, находим $f_1 = \frac{F_1 d_1}{d_1 - F_1}$ и уведомление
   $$\Gamma_{11} = \frac{f_1}{d_1} = \frac{F_1}{d_1 - F_1}.$$
   Для линзы $J_2$ получаем
   $$d_2 = L - f_1, f_2 = \frac{F_2 d_2}{d_2 - F_2}$$
   и уведомление
   $$\Gamma_{12} = \frac{F_2}{d_2 - F_2} = \frac{F_2}{L - \frac{d_1 F_1}{d_1 - F_1} - F_2}.$$
   Полное уведомление системы из двух линз равно
   $$\Gamma_1 = \Gamma_{11} \cdot \Gamma_{12} = \frac{F_1}{d_1 - F_1} \times \frac{F_2}{L - \frac{d_1 F_1}{d_1 - F_1} - F_2}.$$
   В нашем случае удобно переписать это выражение в виде:
   $$\frac{1}{\Gamma_1} = \frac{1}{\Gamma_{11}} \cdot \frac{1}{\Gamma_{12}} = \frac{d_1(L - (F_1 + F_2)) + F_1 F_2}{F_1 F_2} - \frac{L}{F_2}.$$
   После перестановки линз уведомление системы задается аналогичным выражением:
   $$\frac{1}{\Gamma_2} = \frac{1}{\Gamma_{21}} \cdot \frac{1}{\Gamma_{22}} = \frac{d_1(L - (F_2 + F_1)) + F_2 F_1}{F_2 F_1} - \frac{L}{F_1}.$$
   Отсюда
   $$\frac{1}{\Gamma_1} - \frac{1}{\Gamma_2} = L \left( \frac{1}{F_1} - \frac{1}{F_2} \right).$$
   Так как оптическая сила линзы $D = 1/F$, то
   $$D_2 - D_1 = \frac{1}{L} \left( \frac{1}{\Gamma_1} - \frac{1}{\Gamma_2} \right) = 3 \text{ дитр.}$$
   Московский государственный педагогический институт им. В. И. Ленина
   Matematika
   Вариант 1
5. 25 км/ч.
6. $x_1 = \frac{\pi}{4} (4k + 1), x_2 = \pi (2l + 1), x_3 = \frac{\pi}{4} (8m + 3), k, l, m \in \mathbb{Z}.$
7. $] - \infty; 0) \cup [^1/2; + \infty].$
8. $y_{\text{max}} = 79/25.$
9. $a^2(\sqrt{6} + \sqrt{15})/3.$
   Вариант 2
10. $y_{\text{max}} = 16; y_{\text{min}} = -4.$
11. 5/2, 6, 13/2.
12. $[-2; 1].$
13. $(-1; 0) \cup (4; + \infty).$
14. $\pm \pi/6; \pm \pi/2.$
    Физика
15. $l' = 4l = 40 \text{ см}.$
16. $\mu = \frac{F}{mg} - \frac{v^2}{2lg} = 0,05.$
17. $\Delta P = 2\Delta E/(v_1 - v_2) = 3,5 \text{ кг} \cdot \text{м}/\text{с}.$
18. $A = 2ml^2/t^2 = 4 \cdot 10^5 \text{ Дж}.$
19. $\Delta m = \frac{MV}{R} \left( \frac{p_2}{T_2} - \frac{p_1}{T_1} \right) = 0,06 \text{ кг}.$
20. $r = c(t_k - t_0)t_2/t_1 \approx 2,2 \cdot 10^6 \text{ Дж}/\text{кг}$ (десь $t_k = 100^\circ \text{C}$ – температура кипения, $t_0 = 0^\circ \text{C}$ – начальная температура воды).
21. $\varepsilon = (q_1 + q_2)^2/(4q_1q_2) \approx 2.$
22. Мощность уменшится в $n = (r + 2R)^2/(2(r + R)^2) \approx 1,9 \text{ раз}.$
23. $\eta = mgh/(UIt) \approx 50 \%.$
24. $n = \text{ctg} \alpha = 1,73.$

Московский институт электронного машиностроения
Matematika
Вариант 1

1. $x = (a + 1)^2/4 \text{ при } |a| < 1$. При других a корней нет.
2. $2\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{\pi}{4} + \pi k (k \in \mathbb{Z}).$
3. $V = a^3 \sqrt{2\cos a}/(2 \sin \frac{\alpha}{2}).$
4. $a = 2$. Указание. Сумма корней равна $2(3a - a^2)$ при условии $D \geq 0.$
5. $[0, 5]; 5$. Указание. $x - \lg \frac{x}{2} > 1$ при всех $x > 0$, так как функция $f(x) = x - \lg \frac{x}{2}$ имеет минимум в точке $x_0 = \lg e$, причем $f(x_0) = \lg \frac{2e}{lg e} > 1.$
   Вариант 2
6. $[-1; +(4a + 3)/8]$ при $a \neq -3, -9/4, -1/4, 1; [-9/8]$ при $a = -3; [-1]$ при $a = -9/4$ и $a = -1/4; [7/8]$ при $a = 1.$
7. $\frac{\pi}{2} + 2\pi k (k \in \mathbb{Z})$. Указание. Возвода в квадрат, получим после упрощений два уравнения: $\cos x = 0$ и $\cos x + \sin x = -2 \sin 1$; второе из них не имеет корней, поскольку

80

ВНИМАНИЮ ПОДПИСЧИКОВ!

В настоящем году количество страниц в нашем журнале увеличивается на 25%, что позволяет нам открыть ряд новых рубрик. Для комменсации дополнительных расходов цена каждой номера увеличивается на 5 копеек. Новая цена журнала — 45 копеек.
К сожалению, решение об увеличении объема и стоимости журнала было утверждено после выпуска каталога «Союзпечати» и начала подписки на 1989 год. Если вы уже оформили подписку, просим вас в соответствиицем отделении «Союзпечати» производствуйте дополнительную подписку по 5 копеек за каждой номер. Для тех, кто не успел подпиаться на «Квант» с начала года, напоминаем, что подписка на него принимается без ограничений в агентствах «Союзпечати», на почтамах и в отделениях связи. Индекс журнала «Квант» в каталоге «Союзпечати» 70465.

Главный редактор — академик Ю. А. Осипьян

Заместители главного редактора:
В. Н. Боровищки, А. А. Варламов,
В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция:
А. А. Абрикосов, М. И. Башмаков,
В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский,
А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов,
Н. В. Васильев, С. М. Воронин, В. В. Гнеденко,
В. Л. Гутенхахер, Н. П. Долбилин,
В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков,
А. Р. Зильберман, С. М. Козел,
С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Леонович,
С. П. Новиков, Т. С. Петрова, М. К. Потапов,
В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов,
А. П. Савин, Я. А. Смородинский,
А. В. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет:
А. М. Балдин, С. Т. Беляев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченко, В. В. Воздиженский,
Г. В. Дорофеев, Н. А. Erpmолаева,
А. П. Erшов, Ю. В. Иванов, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикеева, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенko, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовки:
А. Н. Виленкин, А. А. Егоров, Л. В. Кардасевич, И. Н. Клумова, Т. С. Петрова, С. Л. Табачников, В. А. Тихомирова

Номер оформления:
Ю. А. Ващенко, М. В. Дубах, С. В. Иванов, Д. А. Крымов, С. Ф. Лухин, Т. М. Макарова, Е. К. Тенчурина, Л. А. Тишков, И. Е. Смирнова, П. И. Чернуский, В. В. Юдин

Фото представил
В. В. Минахин

Редактор отдела худоместственного оформления
С. В. Иванов

Худоместный редактор Л. В. Чернова
Корректор М. Н. Дронова

Сдано в набор 16.10.88. Подписано к печати 25.11.88
Т-22606. Вумага 70×100/16. Печать офсетная
Усл. кр.-отт. 27,3. Усл. печ. л. 6,5. Уч.-изд. л. 8,09
Тираж 186 281 экз. Цена 45 коп. Заказ 2671

Ордена Трудового Красного Заменини
Чеховский полигraphический комбинат
ВО «Союзпегати»
Государственное комитета СССР
по делам издательств, полигraphии
и книжной торговли
142300 г. Чехов Московской области

103006 Москва К-6, ул. Горького, 32/1,
«Квант», тел. 250-33-54