Периодические движения бильярдного шара

Квант 1989, №3 с. 8, 10, 12, 13, 14, 15 Тег F4WJ

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ДВИЖЕНИЯ
БИЛЬЯРДНОГО ШАРА

Кандидат физико-математических наук
Г. А. ГАЛЫПЕРИН,
доктор физико-математических наук
А. М. СТЕПИН

Читатель, по-видимому, хорошо знаком с бильярдной игрой. Игра эта, родиной которого считается Китай, имеет многоvekову историю. Первые известия о появлении бильярда в Европе относятся к XVI веку. Сохранились свидетельство о том, что французский король Карл IX в Варфоломеевскую ночь 24 августа 1572 года играл на бильярде, когда со стороны парикзского собора Сен-Жермен д‘Акселерya раздался условный звон колоколов, признавающий католков к истреблению гугенотов. Придцать пять лет спустя У. Шексир в трагедии «Антоний и Клеопатра» заставли-
В заставке к статье использован рисунок А. Оберландера.

ет египетскую царицу Клеопатру играть на бильярде со своим придворным. В 1760 году английский король Георг II издал указ, запрещаюший бильярдную игру в общественных местах под страхом штрафа в 10 футов. В России бильярд известен со времен Петра I.

Подобно тому, как игра в косты вызвала к жизни «исчисление вероятностей», бильярдная игра послужила источником серbezных научных исследований по механике и математике.

В математических исследованияхrealный бильярд заменяют его моделью, носящей название «математический бильярд» — рисунок 1. Если граница бильярдного стола имеет угловые точки, то рассматривают только-

Рис. 4. Трехзвенная бильярдная траектория в остроугольном треугольнике — это вписанный треугольник наименьшего перimetра.

Рис. 5. Метод выпрямления. «Выпрямления» траектория пересекает стороны угла не более чем $\pi/\alpha$ раз, где через $\Gamma$ изображено наименьшее целое число, больше или равное $x$ .

тория. Это рассужждение «проходит» для любого числа звеньев; $n$ -угольник, имеющий наименьший перimetр среди вписанных в $Q$ $n$ -угольников, является перiodической бильярдной траекторией.

Задание 1. Докажите, что среди вписанных в окружность $n$ -угольников наименьший перimetр имеет равный.

Минимизация перimetра

Если граница бильярдного стола имеет точки излома, то метод Биркгофа пересекает «работать» — вершины вписанного многоугольника наименьшего перimetра могут попасть в угловые точки границ. Например, среди треугольников, вписанных в данной треугольник $ABC$ , наименьший перimetр имеет сам $\triangle ABC$ . Как же искать периодические бильярдные траектории в треугольнике?

Для остроугольного треугольника выход состоит в том, чтобы заменить максимальный перimetр на минимальный. Впишем в данной треугольник $ABC$ треугольник $XYZ$ наименьшего перimetра с вершинами на сторонах $AB, BC$ и $CA$ (рисунок 4). Мы утверждаем, что $XYZX$ — бильярдная траектория. Однако из доказательств этого факта вы сможете прочитать ниже в разделе «Механическая интерпретация», а другое — предмет первой из следующих задач.

Задание 2. Используя рассудение, сопровождающее рисунок 3, докажите, что $\angle AYZ = \angle CYX$ .

Докажите, что треугольник, вершины которого — основания высот данного треугольника $ABC$ , является бильярдной траекторией в $\triangle ABC$ .

Задание 3 показывает, как построить трехзвенную бильярдную траекторию в остроугольном треугольнике. Единственное такое траекторию будет доказана ниже.

Идея рассматривается вписанной треугольник наименьшего перimetра применима и к фигурам, ограниченным несколькоми гладкими кривыми. К сожалению, этот способ не сравняется для тупоугольных треугольников — для них вписанный треугольник наименьшего перimetра вырождается в высоту, опущенную из вершины тупого угла. Более того, бильярд в тупоугольном треугольнике не имеет трехзвенных периодических траекторий (попробуйте это доказать). Однако это не означает, что идея минимизации перimetра бесполезна для построения периодических бильярдных траекторий в тупоугольных треугольниках; ее надо лишь соединить с методом выпрямления, который излагается в следующем разделе.

И еще одно общее замечание. До сих пор мы искали бильярдные траектории среди вписанных ломаны, имеющих максимальное число минимального длину. Это отражает след-

Рис. 8. Пучок паралельных траекторий. Декуратно проделенный траекторник XYZ — перiodическая бильярдная траектория. Для близкой точки $X_1$ получается паралельная XYZ траектория $X_1Y_1Z_1X_2Y_2Z_2X_1$ .

му координат, прикрепленную к многоугольнику $Q$ , соответствует наложение «зармошкой» коридора (который полезно представлять произчный), на исходную фигуру $Q$ ; при этом ось $Oy$ переходит в расматриваемую бильярдную траекторию в $Q$ .

На рисунке 6 приведено доказательство того, что трехвеняная перiodическая траектория в остроугольном траекторнике ABC единственная.

Задание 4. а) Построите перiodическую траекторию в квадратном бильярде, у которого число звенев больше любого направления единственного числа.

Решите ту же задачу для бильярда в правильном траекторнике. (Подсказка — рисунок 7.)

По теореме Биркгофа в выпukлой фигуре с главной существуют перiodические траектории с любым числом звенев. А вот для траекольников дело обстоит современное значение: двухзвеняных перiodических траекторий в траекольниках вообще не бывают, а четырехзвеняные бывают только в равноведенных траекольниках. Более того, для любого натурального числа $n$ можно построить такой траекольник, в котором каждая перiodическая траектория имеет больше $n$ звенев. Для этого в траекольнике $ABC$ углы $\alpha$ и $\beta$ при основании $AC$ достаточно взять очень малыми и несоизмерными с $\pi$ (т. е. $k\alpha+l\beta \neq m\pi$ для любых целых $k, l, m$ ). У перiodической траектории в таком траекольнике обязательно найти значение от одной боковой стороны к другой (доказательство этого факта с использованием неравенства $k\alpha+l\beta \neq m\pi$ мы оставляем настоящимому читателю). В силу малости углов это звено почти паралельно основанию $AC$ и поэтому число отражений нашей periodической траектории от сторона $\triangle ABC$ больше наименьшего из чисел $\left[\frac{\pi}{\alpha}\right], \left[\frac{\pi}{\beta}\right]$ . А эти числа при достаточно малых $\alpha$ и $\beta$ больше любого направления заданого $n$ .

Если вершины траекольника сладить, то в получившейся фигуре (по теореме Биркгофа) найдется «малозвеняная» periodическая траектория. Однако при уменьшении сглаживания эта траектория будет стремиться к ломаной, прохождение через вершину траекольника, т. е. в пределе перестановбы periodической траектория.

Механическая интерпретация

Наденем на каждую из сторон остроугольного траекольника $ABC$ по малому колечку и пропустим через них натягнутую резиночку $XYZX$ (см. рис. 4). Резиночка стремится скаться, поэтому колечки займут положения в вершинах вписанного в $ABC$ траекольника $XYZ$ наименьшего периметра. Расмотрим колечко на стороне $AB$ . Поскольку оно не движется вдоль стороны траекольника, равноведущая сил натяжения $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ перpendикулярна этой стороне. Кроме того, векторы $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ имеют одинаковую длину, так как натяжение вдоль резинки постоянно. Следовательно, векторы $\vec{T}_1$ и $\vec{T}_2$ образуют взаимно дополнительные углы с отрезком $AB$ . Значит, $XYZX$ —bilярдная траектория. Итак, мы доказали, что вписанный траекольник наименьшего periodического траектория в $\triangle ABC$ .

С траекторией $XYZX$ можно связать семейство «паралельных» periodических траектория, изображенное на рисунке 8. Если траекольник $ABC$ считать плоской пластинкой, то каждую траекторию построенного пучка можно представлять себе как упругую замкнутую нить, обвиваю-

шую эту пластинку и попеременно переходящую с одной ее стороны на другую 6 раз.

Но если $\triangle ABC$ — тупоугольный, то эта конструкция периодических траекторий не сравывает — упругая нить сокочит с пластинки через вершину тупого угла. Так что найти периодические бильярдные траектории в тупоугольных треугольниках совсем не просто.

Две конструкции для тупоугольных треугольников

Если намотать нить на пластинку способом, изобразенным на рисунке 9, то сокока не произойдет. Внимательное рассмотрение этого рисунка подсказывает идею, как строить более сложные периодические траектории для специальных классов тупоугольных треугольников. Эти построения изображены на рисунках 10 и 11.

Устойчивые траектории

Только что построенные периодические траектории имеют один существенный недостаток — при сколь годуно малом изменении углов треугольника они разрушаются (в том смысле, что влизися исходной траектории нет периодических траекторий в деформарованном треугольнике). Сейчас мы построим периодическую траекторию в тупоугольном треугольнике, свободную от этого дефекта.

Пусть острыые углы $\alpha$ и $\beta$ тупоугольного треугольника $ABC$ связаны неравенствами

$\frac{\pi-\beta}{2} < k\alpha < \frac{\pi}{2} \leqslant (k+1)\alpha,$

$\frac{\pi-\alpha}{2} < l\beta < \frac{\pi}{2} \leqslant (l+1)\beta,$

где $k$ и $l$ — неокоторые натуральные числа. Как и на рисунке 10, $a$ , сделаем $k-1$ зеркальных отражений треугольника $ABC$ вокруг вершины $A$ против часовой стрелки и $l-1$ отражений вокруг вершины $C$ по часовой стрелке — рисуок 12, $a$ . Крайние лучи $AN$ и $CN$ образуют с основанием $AC$ острыые углы $k\alpha$ и $l\beta$ . Как мы

Рис. 11. Перiodическая траектория в тупо-
угольном треугольнике с острыми углами α и β,
удовлетворяющими условиям α+kβ=π/2 и 2α+β>π/2 (k — натуральное число).

знаем, в остругольном треугольнике
ANC существует трехвеняная периодическая траектория $H_1H_2H_3H_1$ , соединяющая основания его высот. Можно проверить (мы предоставляем это читателью), что отрезок $H_2H_3$ пройдет ниже вершины $B$ . Тогда при наложении «гармошкой» на треугольник $ABC$ коридора, составленного из $\triangle ABC$ и $k+l-2$ отраженных треугольников (как в предыдущем разделе), наша траектория перейдет в $2(k+l)-1$ -звенную периодическую траекторию в $\triangle ABC$ , изображенную на рисунке 12,6. Эта траектория — устойчива: в треугольнике, достаточно близком к $\triangle ABC$ , существует близкая к ней периодическая траектория. Это — следствие устойчивости трехвеняной периодической траектории в остругольном треугольнике.

Задча 5. Докажите, что отрезок $H_2H_3$ проходит ниже вершины $B$ (рис. 12, а) тогда и только тогда, когда $(1-\text{ctg} k\alpha \cdot \text{tg} \alpha)(1-\text{ctg} l\beta \cdot \text{tg} \beta)>1-\text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta$ .

В простейшем случае, когда $k=l=2$ , траектория имеет 7 звенев.

Задча 6. Докажите, что в тупоугольном треугольнике не существует устойчивой периодической траектории, у которой меньше 7 звенев.

Итоги

Подведем некоторые итоги проведенного исследования периодических траекторий в треугольных бильярдах.

С точноью до подобия треуголь-

числа, существуют периодические траектории. Как доказал недавно американский математик Г. Мазур, звенья периодических траекторий в таких треугольниках даже могут образовать сколь уголно малый угол с любой направной прямой.

Кроме того, в произвольном прямогольном треугольнике существуют периодические траектории со сколь уголно большим числом звенев. Для остроугольных треугольников это неизвестно, хотя и доказано, что для любого направного числа $N$ найдется остроугольный треугольник, в котором имеется периодические траектории с более чем $N$ звенями.

В заключение повторим, что периодические траектории в треугольных бильярдах всегда существует к форме треугольника. Причина разрушения или розделения периодической траектории при деформации треугольника — прохождение через угловую точку границы. Этот obstructionом объясняется замысловатый характер желтой фигуры на рисунке 13,6.

Тех читатель, кто занимаетсовался теории математических бильярдов, мы приглашаем подумать над задачей М1155 (см. с. 27), а также найти какие-нибудь еще типугольные треугольники с устойчивыми периодическими траекторями. В этой связи предлагаем вам такую задачу:

Задача 7. Построите периодическую траекторию из 15 звенев в типугольном треугольнике с углами $\alpha$ и $\beta$ , удовлетворяющими условиями:

$\frac{\pi}{8} - \frac{1}{1000} < \alpha < \frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3} < \beta < 3\alpha.$

Кроме того, советум прочитать § 9.4 книги М. Берже «Геометрия» и издавемуо в серии «Библиотечка «Квант» книгу Г. А. Гальперина и А. Н. Землякова «Matематические бильярды», а также следующие статьи, опубликованные в разное время в «Кванте»: 1. А. Земляков. Математика бильярда (1976, № 5); 2. А. Земляков. Арифметика и геометрия столковеней (1978, № 4); 3. А. Земляков. Бильярды и поверхности (1979, № 9); 4. Г. Гальперин. Бильярд (1981, № 4).

Рис. 13. Множество треугольников, для которых построены периодические траектории. Ostроугольные треугольники представлены синею области $\alpha + \beta > \pi/2$ , прямоугольные — красной диагона $\alpha + \beta = \pi/2$ . Треугольники из раздела «две конструки»: а) — зеленьй beep; б) — красные отрезки. Треугольники из раздела «устойчивые траектории» — желтая область на рисунке b).