Московский институт стали и сплавов

71

Московский институт
стали и сплавов

Математика
Письменный экзамен
Вариант 1

1. Вычисление
   $$\frac{(13,75 + 9\frac{1}{2}) \cdot 1,2}{(10,3 - 8\frac{1}{2}) \cdot \frac{5}{9}}.$$
2. Упростите и вычисление при $x = 1,33$
   $$\frac{x - 1}{x + \sqrt{x} + 1} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}^3 - 1} + \frac{2}{x^{-1/2}}.$$
3. Вычисление $\cos \alpha$, если $tg \alpha = -3\frac{3}{7}$ и $\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi$.
4. Вычисление $\left( \frac{2}{\log_7 b} + 1 \right) \cdot b$ при $b = \sqrt[3]{2}$.
5. Решите уравнение
   $$\sqrt{3x^2 - x} + x = 1.$$
   В ответе запишите корень уравнения, а в случае нескольких корней — их сумму.
6. Печь нагревается равномерно. Через 0,5 часа после начала нагрева температура печи была 500 °C, а еще через 1 час — 900 °C. Какова была первоначальная температура печи?
7. Решите неравенство
   $$\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 4} < 0.$$
   В ответе запишите сумму чисел, удовлетворяющих неравенству.
8. Площадь осевого сечения конуса равна 12, а длина его образующей равна 5. Найдите отношение объема конуса к площади его боковой поверхности.
9. Определите значение параметра $k$, при котором корни уравнения $x^2 + (k - 1)x + 2k - 8 = 0$ удовлетворяют условиям 2x₁ - x₂ = -6, где $x_1 < x_2$.
10. Решите уравнение
    $$\log_2 (4^x + 4) = x + \log_2 (2^{x+1} - 3).$$
    В ответе запишите корень уравнения, а в случае нескольких корней — их сумму.
11. Решите уравнение
    $$4\cos x \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} - x \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{3} + x \right) = 1.$$
    В ответе запишите корень уравнения (в градуах), приладлежащий отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

72

12. В полушар радиус $R = \sqrt{\frac{3}{2}}$ висан куб так, что четые его вершины лежат на основании полушара, а другие четые вершины расположены на сферической поверхности. Найди объем куба.

Вариант 2

1. Вычислите без таблиц
   $$\left(3\sqrt{76} - \sqrt{57}\right) \cdot \frac{2}{19} \sqrt{19} + \sqrt{12}.$$
2. Упростите и вычислите при $a=3, b=2$:
   $$\left(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} - \sqrt{ab}\right) \cdot \left(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b}\right)^2 \cdot (a+b).$$
3. Найдите $\cos(\alpha-\beta)$, если $\sin \alpha=\cos \beta=0,6; \alpha \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$; $\beta \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$.
4. Найдите $b^{\log_5}7$, если $7^{\log_5}b=4$.
5. Решите уравнение
   $$6 + \sqrt{x^2-3x+6} = 2x.$$
   В ответе запишите корень уравнения, а в случае нескольких корней — их сумму.
6. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди. Кукуго массу меди следует добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий 60 % меди?
7. Решите неравенство
   $$\frac{2x^2-9x+7}{x^2-1} \leq 1.$$
   В ответе запишите наибольшее целое число, удовлетворяющее уравнению, а в случае нескольких корней — их сумму.
8. Радиус основания цилиндра в три раза больше его высоты. Во сколько раз площадь полной поверхности цилиндра больше площади его боковой поверхности?
9. Найдите сумму всех целых значений параметра $a$, при которых квадратный трехчлен $x^2+ax+a^2+6a$ при всех $x$, удовлетворяющих условиям $1<x<2$, отрицатель.
10. Решите уравнение
    $$4\cdot 9^2x-3\cdot 4^2x-4\cdot 36^x=0.$$
    В ответе запишите корень уравнения, а в случае нескольких корней — их сумму.
11. Решите уравнение
    $$\sqrt{3}(\cos x-\sin 3x)=\cos 3x-\sin x.$$
    В ответе запишите корень уравнения (в градуах), придлежащий отрезку $\left[0; \frac{\pi}{9}\right]$.
12. Найдите квадрат отношения высоты конуса к диаметру основания, если конус при заданном объеме имеет наименьшую боковую поверхности.

Физика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Тело бросают вертикальное вверх со скоростью $v_0=4,9$ м/с. Оdnовременно с предельной высоты, которое оно может достичь, бросают вертикальное вниз с другой начальню. Определите время, по истечении которого тела встрестятся $g=9,8$ м/c$^2$. Ответ дайте в СИ.
2. Под каким углом к направлению перемещения тела направлена сила, равная $F=20$ Н, если при перемещении тела на $s=10$ м совершена работа $A=100$ Дж? Ответ дайте в СИ.
3. Человек массой $M=64$ кг, стоя на коньках на льду, бросает горизонтальное камень массой $m=4$ кг со скоростью $v=8$ м/с. Определите расстояние, на которое откатился после броска человека. Козффициент треня конков о лед $\mu=0,01$. Ускорение силы тяжесте принять равным $g=10$ м/c$^2$. Ответ дайте в СИ.
4. Определите период колебаний математического магнитка, подвешенного наниты длиной $l=10$ м. Ускорение силы тяжесте принять равным $g=10$ м/c$^2$. Ответ дайте в СИ.
5. Два баллона соединены трубкой с краном. В первом нахождение газ при давлении $p_1=0,6 \cdot 10^5$ Па, во втором $p_2=10^5$ Па, емкость первого баллона $V_1=3 \cdot 10^{-3}$ м$^3$, второго $V_2=10^{-3}$ м$^3$. Какое давление установится в баллонах, если открыть кран? Температура постоянна, объемом трубки можно пребежать. Ответ дайте в СИ, разделив его на $10^4$.
6. Сколько равных частей нужд при давлении ($p_1=0,6 \cdot 10^5$ Па, $p_2=10^5$ Па, емкость первого баллона $V_1=3 \cdot 10^{-3}$ м$^3$, второго $V_2=10^{-3}$ м$^3$. Какое давление установится в баллонах, если открыть кран? Температура постоянна, объемом трубки можно пребежать. Ответ дайте в СИ.
7. На сколько равных частей нужд при давлении ($p_1=0,6 \cdot 10^5$ Па, $p_2=10^5$ Па, емкость первого баллона $V_1=3 \cdot 10^{-3}$ м$^3$, второго $V_2=10^{-3}$ м$^3$. Какое давление установится в баллонах, если открыть кран? Температура постоянна, объемом трубки можно пребежать. Ответ дайте в СИ.
8. Два последовательных конденсаторов емкости $C_1=1$ мкФ и $C_2=2$ мкФ присоединены к источнику постоянного напряжения $U=240$ В. Определите напряжение на конденсаторе емкости $C_1$. Ответ дайте в СИ.
9. Определите силу, действующего на проводник длиной $l=10$ см при токе $I=10$ А в однородном магнитном поле индукций $B=0,18$ Тл, если угол между проводником и магнитной индукций $a=30^\circ$. Ответ дайте в СИ.
10. Сколько длин волн монхроматического излучения с частотой $v=5 \cdot 10^{14}$ Гц укладывает на отрезке длиной $l=1$ мм? Скорость света $c=3 \cdot 10^8$ м/с.

Вариант 2

1. С высоты $h=20$ м начало свободно падать тело. Оdnовременно с поверхностным земли бросили вертикальное вверх другое тело со скоростью $v_0=20$ м/с. На какой высоте эти тела встрестятся? Ускорение силы тяжесте $g=9,8$ м/с$^2$. Отчет высоты ведите от поверхности земли. Ответ дайте в СИ.
2. Две грини массами $m_1=0,5$ кг и $m_2=1,5$ кг соединены неvesсомой и нерастижной нитью, перекинуто через блок. Найдите величины ускорения гриbs. Массой блока и тренем в блоке пребежечь. Ускорение свободного падения считать равным $g=10$ м/с$^2$. Ответ дайте в СИ.

73

3. Определите силу, действующую на тело, если при его перемещении на расстояние $s=20$ м совершена работа $A=500$ Дж, а сила направлена под углом $\alpha=60^\circ$ к направлению перемещения. Ответ дайте в СИ.

4. Из阻力, стоящего на покойшейся платформе, произведены выстрел в горизонтальном направлении. Масса снаряда $m=100$ кг, скорость снаряда $v=400$ м/c. Масса платформы с阻力 $M=20$ т. Определите расстояние, на которое откатилась платформа после выстрела, если коэффициент ее треня о рельсы $\mu=0,1$. Ускорение силы тяжестеки принять равным $g=10$ м/c². Ответ дайте в СИ.

5. Какой объем занимают $v=3$ кмля газа при давлении $p=1$ МПа (1 МПа=10⁶ Па) и температуре $t=100^\circ\text{C}$? Ответ дайте в СИ.

6. Для расплавления $m=1$ т латуни используется электропечь мощностью $P=10^5$ Вт. Сколько времени проискодит плавака, если слиток нагрели до начала плавления на $\Delta t=900^\circ\text{C}$? Удельная теплоемкость латуни $c=386$ Дж/(кг·К). Энергетическая потеря отсутствует. Удельная теплота плавления латуни $\lambda=2 \cdot 10^5$ Дж/кг. Ответ дайте в СИ.

7. Ватарая гальванических элементов с ЭДС $c=15$ В и внутренним сопротивлением $r=5$ Ом

Геометрические преобразования
Часть II:
Преобразования подобия

1. 45°. Указание. Примените центрально-подобный поворот $\Pi_A^k, \varphi$, где $\varphi=\angle BAC$ и $k=\sqrt{2}$.

2. Гомотетия с центром $C$ и коэффициентом $k$.

3. 90°, 45°, 45°. Указание. Данная композиция есть тождественное преобразование.

4. 45°, 60°, 75°. Указание. Пусть треугольник ABC ориентирован положительно, $\angle AMB=\varphi_1$, $\angle APC=\varphi_2$, $\angle BNC=\varphi_3$, $k_1=AM/BM$, $k_2=CP/AP$, $k_3=BN/CN$.

Доказите, что композиция

$$\Pi_N^{k_1}, \varphi_3 \circ \Pi_P^{k_2}, \varphi_2 \circ \Pi_M^{k_1}, \varphi_1$$

естуждественное преобразование.

5. Указание. Пусть $O$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. Установите, что треугольники $OMP$ и $OCQ$ подобны. Примените центрально-подобный поворот $O_O^{k_1}, \varphi_1$, где $k=\frac{1}{\sqrt{3}}, \varphi=90^\circ$, переводит отрезок $MN$ в отрезок $PQ$.

6. Указание. Докажите, что $\Pi_B^{\cos \gamma}, \varphi \times \Pi_A^{1/\cos \gamma}, \varphi=R_K^2\varphi$, где $\varphi=90^\circ-\gamma$.

7. $\angle BAK=\angle ABK=\gamma$.

8. Указание. Установите, что $\angle PQN=\angle PCN$ и $\angle QPM=\angle QCM$.

9. $2\alpha, 2\beta, 2\gamma$.

10. $45^\circ$.

Новосибирский государственный университет им. Ленинского комсомола

Matematika
Вариант 1

1. $(-2; 2)$.

2. $-2+\sqrt{1/10}$.

3. $2\arctg(\sqrt{15}-2\sqrt{3})$. Указание. Заметим, что $\angle ABC$ — тупой. Пусть $\alpha=\frac{1}{2}\angle ABC$, а $X$ и $Y$ — точки касания окружностей с прямой $AB$. Тогда $XY=XB+BY=3r$ стtg $(\pi-2\alpha)+r$ стtg $\alpha=2r\sqrt{3}$.

4. $\frac{\pi}{4}+(2k+1)\pi$, $k\in Z$. Указание. Пересечите второе слагаемое в правую часть и вычислите синусы левой и правой части.

5. $x=\sqrt{20}, y=\sqrt{13}, V=8$. Указание. Объем примеды максимален, когда максимальная высота, опущенная из вершины $S$, т. е. когда эта высота совпадает с высотой треугольника $SAB$, опущенной на сторону $AB$.

Вариант 2

1. $y=-\frac{1}{4}(x-1)^2$.

2. $-\frac{\pi}{4}+\pi n, (-1)^n\arcsin \frac{-1\pm\sqrt{33}}{8}+n\in Z$.

3. $117/2$. Указание. Центр $O$ окружности лежит на середине гипотенузы $AB$, а радиус $R$

76

Вариант 3

1. Шарики, обладающие вначале зарядами разных знаков: $q_1$ и $-q_2$, после разлега несут один и тот же заряд $q=(q_1-q_2)/2$. Соотношение между силами отталкивания и притяжения —

$$k \frac{q^2}{l^2} = \frac{1}{8} \frac{q_1 q_2}{l^2},$$

отсюда приходим к уравнению

$$x^2 - (5/2) x + 1 = 0,$$

где $x=q_1/q_2$.
Решая это уравнение, получаем два ответа:

$$q_1/q_2 = 2 \text{ и } q_1/q_2 = 1/2,$$

т. е. заряд одного шарика в два раза больше другого.

2. Критическое условие прохождения пули сквозь доску (как закрепленную, так и неакрепленную) — выделение в доске тепловой энергии $Q=mv_0^2/2$. В случае неакрепленной доски конечные скорости доски и пули совпадают. Пусть эта скорость равна $u$. Тогда из закона сохранения импульса

$$mv=(m+M)u$$

и закона сохранения энергии

$$\frac{mv^2}{2} = \frac{(m+M)u^2}{2} + \frac{mv_0^2}{2}$$

получаем

$$v=v_0 \sqrt{(m+M)/M}.$$

3. См. решения задачи Ф1155, которое будет опубликовано позже.
4. См. решения задачи Ф1153, которое будет опубликовано позже.
5. См. решения задачи Ф1156, которое будет опубликовано позже.

Московский инженерно-физический институт Математика
Вариант 1

1. {1}.
2. $\pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{a} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ при $a \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$; $\{\emptyset\}$ при $a \in (-1; 1)$. Указание. Приведите уравнение к равносильному ему уравнению $\cos 2x = \frac{1}{a}, a \neq 0$.
3. 1791. Указание. Пусть $A=\sqrt{xyz1}$ — исключое число $(x, y, z$ — цифры). По условию числа $xy=10x+y, z$, 1 образуют арифметическую прогрессию с некоторой разностью $d$. Поэтому $z=1+d, 10x+y=1+2d$. Из этих равенств следует, что $5 \leq d \leq 8$. Осталось перебрать возможные значения $d$.
4. $S_1=\frac{1}{2} l \cos^2 \beta \sin 2\alpha$,
   $$S_2=\frac{3}{4} l^2 \cos \beta \sin \alpha \sqrt{1-\cos^2 \beta \sin^2 \alpha},$$
   $$S_3=\frac{3}{4} l^2 \cos \beta \cos \alpha \sqrt{1-\cos^2 \beta \cos^2 \alpha}$$
   при $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right), \beta \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$. Указание.

Рис. 1.
Пусть $SABCD$ — данная парамида, точки $A_1, B_1, C_1, D_1, P, R, Q, T$ — середины ее ребер (рис. 1). Все имеется 5 сечений парамиды, плоскости которых равно длины от ее вершин. При из них показаны на рисунке. Это прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$, трапеция $PD_1C_1Q$ и, наконец, трапеция $RA_1D_1T$. Остальные сечения на рисунке не показаны (они симметрины расстоянием трапецям). После этих замечаний вычисление требуемых площадей не представляется труда.

Вариант 2

1. $(-\infty; -6] \cup (-2; +\infty)$.
2. $(-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ при $c=85$.
   Решений нет при $c \neq 85$. Указание. Выполните подстановку $u=6^{-\sin y}, v=7^{\cos y}$. Ясно, что $\frac{1}{6} \leq u \leq 6, \frac{1}{7} < v \leq 7$. Первому из уравнений системы удовлетворяют лишь $u=6, v=7$.
3. При $35 \leq c < 215/6$ в четырёх сосуде концентрации кислоты больше, чем в третьем, при $215/6 < c \leq 37$ — концентрация в третьем сосуде больше, чем в третьем. При остальных $c$ решений нет. Указание. Пусть $x$ и $y$ количество литров растворяя, отличного соответствующего из первого и второго сосудов в третьий сосуд.
   Тогда

$$\begin{cases} x+y=10, \\ 3x+4y=c, \end{cases}$$

причем $0 < x \leq 5, 0 < y \leq 7$, и поэтому $35 \leq c \leq 37$.
Вычисляя концентрацию $d$ кислоты в четырёх сосуде, получим $d=215-5c$.

77

4. $V = \frac{3\sqrt{3}}{2} l^3 \cos \frac{\alpha}{2} \sin^2 \frac{\alpha}{2} \frac{1 - \sqrt{3} \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}}{(2 - \sqrt{3} \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2})^3}$
   при $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{3}\right)$. При $\alpha \in \left[\frac{\pi}{3}; \pi\right)$ задача не имеет решения.
   Указаниее. Рассмотрите освое сечение OPQ конуса (рис. 2). Пусть $x = AA_1$. Выражая через данный угол $\alpha$ и $x$ площадь полной поверхности призмы $S(x)$, получим
   $$S(x) = 3\sqrt{3} \left(l \sin \frac{\alpha}{2} - x \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}\right)^2 + 6x \left(l \sin \frac{\alpha}{2} - x \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}\right),$$ так что $S(x)$ — квадратный трехчлен относительно $x$ с коэффициентом $a$ при $x^2$, равным $a = 3\sqrt{3} \mathrm{tg}^2 \frac{\alpha}{2} - 6 \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}$.
   Осталось найти максимальное значение функции $S(x)$ на интервале $\left(0; l \cos \frac{\alpha}{2}\right)$, где $\alpha \in (0; \pi)$. При этом оказывается, что при $a \geq 0$ максимум $S(x)$ внутри указаного интервала не достигается, а при $a < 0$ (т. е. при $0 \leq \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} < \frac{1}{\sqrt{3}}$) требуемый максимум достигается при $x = l \cos \frac{\alpha}{2} \frac{1 - \sqrt{3} \mathrm{tg} \alpha/2}{2 - \sqrt{3} \mathrm{tg} \alpha/2}$.

Физика

1. $v_0 = \sqrt{lg \left(\frac{\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - 2 \cos \alpha + 2\right)} = 5$ м/с.
2. $Q = m_2 v_0 \sqrt{2gh} - m_2 (m_2/m_1 + 1) gh \approx 91,3$ Дж.
3. $v_0 = \sqrt{2 \mu g (l - h + (M/m)(l/2 - h))} = 3,5$ м/с.
4. $v = \sqrt{\frac{2ah}{\sin \alpha}} \left(\frac{1}{\cos \alpha} - 1\right) \approx 1,07$ м/с.
5. $a = \frac{4I}{M} \sqrt{\frac{m_0 U}{e}} \approx 3$ м/с$^2$.
6. $p_2 = (2n - 1)p_1 = 300$ кПа.
7. $S_2 = \left\{ \begin{array}{l} \frac{B_1 S_1 + |q| R}{B_2} = 3,4 \cdot 10^{-2} \text{ m}^2, \\ \text{ если } q > 0, \\ \frac{B_1 S_1 - |q| R}{B_2} = 1,1 \cdot 10^{-2} \text{ m}^2, \\ \text{ если } q < 0. \end{array} \right.$
8. $Q = PL/R = 4$ мДж.
9. $x_m = IBl\tau/\sqrt{2km} = 0,25$ м.
10. $F_2 = F_1 \frac{mg + IBl}{mg - IBl} = 2$ Н.

Московский авнационный институт им. Серго Орджоникидзе

Matematika
Вариант 1

1. На 16.
2. $\frac{\pi}{3} (2k + 1), k \in \mathbb{Z}$.
3. $[1; 10^9] \cup [10^{16}; 10^{25}]$. Указание. Выполни-
   те замену $y = \sqrt{1g} x$ и решите полученное неравенство относительно $y$.
4. $(\pi P - Q)^2/4Q$. Указание. Пусть $x, y$ — квадраты треугольника, $R, r$ — радиусы описанной и вписанной окружности, соответствующей. Гипотенуза длиной $2R$ делится точкой касания к вписанной окружности на два отрезка, длины которых $x - r$ и $y - r$. Поэтому $x + y - 2r = 2R$, или $x + y = 2(R + r)$. Возведя обе части уравнения в квадрат и заменя произведение $xy$ удовлетворяют треугольника, получим
   $$x^2 + y^2 + 4P = 4(R + r)^2,$$откуда
   $$R = \frac{P - r^2}{2r}.$$
5. $\{(-1 + \sqrt{3})/2; 2); ((\sqrt{3} - 1)/2; 2)\}$. Указание. Запишем уравнения системы следующим образом:
   $$\left\{ \begin{array}{l} 2x^2 + yx - 1 = 0, \\ 2 \left(-\frac{3x}{2(1 - x)^2}\right)^2 + y \left(-\frac{3x}{2(1 - x)^2}\right) - 1 = 0. \end{array} \right.$$
   Каждеое уравнение системы представляет собой квадратное уравнение вида $2z^2 + yz - 1 = 0$, первое — относительно $z = x$, второе — относительно $z = -\frac{3x}{2(1 - x)^2}$. Поэтому либо $x = -\frac{3x}{2(1 - x)^2}$, либо $x = -\frac{3x}{2(1 - x)^2}$, либо $x = -\frac{3x}{2(1 - x)^2}$. Поэтому ее объем, также как и объем исходной прямой призмы равен $Sh$.
   Вариант 2
6. $\frac{\pi}{6} (6k + 5), k \in \mathbb{Z}$.
7. 2,5.
8. $(-1/3; 0) \cup (4; \infty)$. Указание. При решении неравенства $\log_3 x + 1 \frac{x - 2}{x - 4} \geq 0$ необходимо рассмотреть 2 случая: $0 < 3x + 1 < 1$ и $3x + 1 > 1$.
9. $4\sqrt{3}/27$. Указание. Если $x$ — угол наклона бокового ребра прямиды к плоскости основания, то $V(x) = \frac{2}{3} \sin x \cos^2 x$. Исследование на максимум функции $V(x)$ удибно свести к исследованию многочлена $f(y) = y(1 - y^2)$ ($y = \sin x$, т. е. $0 \leq y \leq 1$).
10. $\{(4; -5); (0; -1); (4; -3); (0; 1)\}$. Указание. Из второго уравнения следует, что $x$ и $y$ — целые числа, а из первого, что $(x + y)^2 = 2 - \frac{1}{4} (x - 2)^2$, открывающую $(x + y)^2 \leq 2$, т. е. сумма $x + y$ может принадлежать одно из трех значений — 0, 1, -1.
11. $(-4/3; 8/3); (4/5; 8/5)$. Указание. Треугольники $AMO$ и $BMC$ подблены. Поэтому $\frac{MC}{OM} = \frac{MB}{MA} = \frac{BC}{AO}$. Выражая длины отрезков через координаты $(x; y)$ точки $M$, получим систему уравнений, из которых на нейем $(x; y)$.

78

Физика

Вариант 1

1. $a_{\max} = \arctg 2\mu$.
2. $\omega = \sqrt{(k_1 + k_2)/m}$; при перемене мест пружин частота колебаний не изменится.
3. $t = \frac{\varrho_1 V_1 c_1 t_1 + m_2 (c_2 t_2 + \lambda)}{\varrho_1 V_1 c_1 + m_2 c_2} \approx 24^\circ\text{C}$
   (здесь $\varrho_1 = 10^3$ кг/м$^3$ — плотность воды); исходная масса воды не изменилась.
4. $l < d\sqrt{2CW/(qQ)}$.
5. $\tau \leq \Delta l(d-F)/(vF) \approx 10^{-3}$ с.
6. $E_{\min} = hc/\lambda_{\max} = 7,2 \cdot 10^{-19}$ Дж = 4,5 эВ
   (здесь $h = 6,62 \cdot 10^{-34}$ Дж·с — постоянная Планка, $c = 3 \cdot 10^8$ м/с — скорость света).

Вариант 2

1. $a_{\max} = \arcsin 0,8 = 53^\circ$.
2. $y(x) = a(1 - 2x^2/a^2)$ — уравнение параболы; $v = \omega a \sqrt{\cos^2 \omega t + 4 \sin^2 \omega t}$.
3. $x_1 = \frac{M_1(M - M_2)}{M(M_1 - M_2)} \times 100\% = 27,6\%$;
   $x_2 = \frac{M_2(M_1 - M)}{M(M_1 - M_2)} \times 100\% = 72,4\%$.
4. $\Delta L = 10$ мм.
5. Резисторы нужно соединить в две параллельные группы из двух резисторов каждой.
6. $\frac{H_1}{H_2} = \left( \frac{L + \sqrt{L^2 - 4LF}}{L - \sqrt{L^2 - 4LF}} \right)^2$.

Московский институт радиотехники, электроники и автоматики

Математика
Вариант 1

1. $(-4/5; \bigcup -3/4) \bigcup (-2/3; -\frac{1}{2}) \bigcup (0; \infty)$.
   Указание. Приведите неравенство к виду
   $$-\frac{x}{(2x+1)(3x+2)} \leq \frac{x}{(5x+4)(4x+3)}$$
   При $x \geq 0$ последнее неравенство справедливо. При $x < 0$ неравенство справедливо лишь при условии отрицательности одного из значенателей.
2. 6 мин, 9 мин.
3. $\pi k, \frac{\pi}{10} (2k+1), k \in Z$.
4. { 1; 1/9; 9 }.
5. Боковые стороны и меньше основание равны $2R \sqrt{2}$, больше основание $2R(2+\sqrt{2})$.
6. { 1; 5 }. Указание. После возведения обихаче уравнения в квадрат выполните замену $t = \sqrt{-x^2 + 6x - 5}$, затем убедитесь в том, что $t = 0$ — единственный корень полученного уравнения. Для доказательства этого воспользуйтесь неравенством $t \leq 2$.

Вариант 2

1. {0}.

2. 10 листов.

3. $\frac{\pi}{2} (2k+1), k \in Z$.

4. { 0,001; 0,01; 100; 1000 }. Указание. Прологарифмируйте по основанию 10 и выполните замену $y = \lg x$.

5. 39. Указание. Пусть $M$ — точка пересечения медиан. Треугольник $AMC$ — прямоугольный. Его медиана $MH$ равна 1/3 искомой медианы.

6. $a \in [-6; 1]$. Указание. Пусть $t = \sin 2x$. Тогда $0 \leq t \leq 1$ и неравенство приводится к виду $t^2 + (a^2 - 9)t + (a - 1) \leq 0$.

Физика

1. $v = ((l/t)^2 + v_B^2 + 2(l/t)v_B \cos \alpha)^1/2 = 174$ км/ч; $\beta = \arcsin (\sin \alpha \cdot v_B/v) = 4,3^\circ$.
2. $a = g \left( 1 - \frac{\varrho_B(\varrho_M + \varrho_C)}{2\varrho_M \varrho_C} \right) = 8,6$ м/с$^2$; $T = 2H$.
3. $v = \sqrt{3}/2v_1 = 9,8$ км/с.
4. $h = (S_1h_1 + S_2h_2)/(S_1 + S_2) = 25$ см;
   $Q = (\varrho g/2)(S_1h_1^2 + S_2h_2^2 - (S_1h_1 + S_2h_2)h) \approx 1$ Дж; $\Delta T = Q/(cQ(S_1h_1 + S_2h_2)) \approx 1,8 \cdot 10^{-3}$ К.
5. $\Delta T = T_0m_1/m_2 = 546$ К.
6. $r = \sqrt{R_1R_2} = 5,5$ Ом.
7. $q = BlS/(16Q) = 0,05$ Кл.
8. $x_m = mv/v/\sqrt{k(M+m)} = 0,1$ м.
9. $H = h(tg \alpha + tg \beta)/(tg \beta - tg \alpha) = 400$ м.
10. $h = 5,2$ см.

Московский институт стали и сплавов

Математика
Вариант 1

1. 27,5. 2. 2,33. 3. -0,28. 4. 14. 5. -0,5.
2. 300. 7. 6. 8. 0,8. 9. 4. 10. 2. 11. 0. 12. 1.
                 Указание. Расмотрите освоение получения полушара, прохождение через диагонали основный куба.

Вариант 2

1. 12. 2. 5. 3. 0,96. 4. 2. 5. 5. 6. 13,5. 7. 8.
2. 4. 9. -21. 10. 0,5. 11. 15. 12. 0,5.
         Указание. Исследуйте на экстремум функцию $y = S_\delta^2(r)$, где $S_\delta$ — боковая поверхность конуса.

Физика
Вариант 1

1. $t = v_0/(4g) = 0,125$ с.
2. $\alpha = \arccos \frac{A}{F_5} = \arccos \frac{1}{2} = 60^\circ$.
3. $l = m^2v^2/(2\mu gM^2) = 1,25$ м.
4. $T = 2\pi \sqrt{l/g} = 6,28$ с.
5. $p = (p_1V_1 + p_2V_2)/(V_1 + V_2) = 0,7 \cdot 10^5$ Па; ответ:7.
6. $\tau = \frac{2cm(t_k - t)}{P\eta/100\%} = 1676$ с, где $t_k = 100^\circ C$ — температура кипения воды.
7. $n = \sqrt{R/R_1} = 6$.
8. $U_1 = C_2U/(C_1 + C_2) = 160$ В.
9. $F = BIl \sin \alpha = 0,09$ Н.
10. $n = lv/c = 1,67 \cdot 10^3$.