Геометрические преобразования

Квант 1989, №3 с. 52-54 Тег 0SES

и склонившаяся над тетрадками с заданным управлением».

В 1913 году сотрудники Резерфорда проверили формулу Резерфорда, описывающего рассеяние α-частиц, подсчитав сцинитилляции, наблюдавшие под разными углами за одинаковые промежутки времени, и подтвердили ее. Это, безусловно, указывало на справедливость ядерной модели.atoma. Поскольку система неподвижных зарядов не может находиться в устойчивом равновесии, Резерфорд отказывался от статической модели.atoma и предполагал, что электоны в атоме движутся вокруг ядра, описывая искривленные траектории. Но в таком случае электон должен двигаться сускорением и, согласно классической электродинамике, излучать электромагнитные волны, что, в свою очередь, должен сопровождаться потерей им энергии. В конечном итоге электон должен упасть на ядро.

Выход из этого противоречия был найден Нильсом Бором. Но это, как говорится, уже совсем другая история. Ну а опыты Резерфорда? Теперь они важны только для истории физики? Оказывается, нет. Интересно, что спустя почти 60 лет, уже в семидесятых годах метод Резерфорда по зондированию альфа-частицами вещества стал широко использовать в laboratorиях для изучения строения кристаллов, определяния в них местоположений различных примесей и установления их состава. Его сейчас так и называют — метод обратного резерфордовского рассеяния. Только в качестве источников α-частиц используется не крошки радия, а мощные ускорители, позволяющие получить их большие потоки с большими энергиями. А пробразом их была маленькая свинцовая коробочка с солью радия, с которой, как вы помните, категорически отказылся расстаться доктор Резерфорд в американской таможне.

М. Ю. Дицилов

Matematika8,9,10

Geometрические преобразования

Часть II: Преобразования подобия

В Части I этой статьи, опубликованной в прошлом номере «Кванта», мы расссказали о том, как в решении геометрических задач применяются двенадцейня. Здесь мы рассакжем о применении более широкого класса геометрических преобразований: преобразования подобия.

Определение. Гомотетия с центром О и коэффициентом k≠0 есть преобразование, при котором образом произвольной точки А является такая точка A’, что OA’=k·OA.

Единостенная неподвижная точка гомотетии (при $k \neq 1$ ) — ее центр. Если $k > 0$ , то точки $A$ и $A'$ лежат на прямой $OA$ по одному сторону от центра гомотетии, если $k < 0$ — то по разные стороны. При $k = -1$ гомотетия есть центральная симметрия (поворот вокруг точки $O$ на $180^\circ$ ).

Гомотетия с положительным коэффициентом $k$ переводит каждый луч в соправлении с ним луч и, значит, не меняет ориентацию треугольников. Гомотетия с отрицательным коэффициентом $k$ может быть представлена в виде композиции гомотетии с положительным коэффициентом $|k|$ и поворота вокруг центра на $180^\circ$ . При этом каждый луч переходит в противоположно направленный с ним луч, но ориентация треугольников не меняется.

Рассмотрим композицию гомотетии и поворота с общим центром. Пусть при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ точка $A$ переходит в точку $A'$ , а при повороте вокруг точки $O$ на угол $\varphi$ (напомним, что под поворот мы всегда понимаем поворот против часовой стрелки) точка $A'$ переходит в точку $A''$ (рис. 1). Их композиция переводит точку $A$ в точку $A''$ . Нетрудно проверить, что результат не изменится, если сначала выполнить поворот, а потом гомотетию.

Композиция гомотетии и поворота с общим центром есть подобие. Если коэффициент гомотетии положитель, то композицию называют центрально-подобным поворотом. Введем следующие обозначения: $R_O^\varphi$ — поворот вокруг точки $O$ на угол $\varphi$ ; $H_O^k$ — гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ ; $\Pi_{k,\varphi}^O$ — центрально-подобный поворот с центром $O$ , коэффициентом $k$ и углом поворота $\varphi$ . Таким образом, $\Pi_{k,\varphi}^O = R_O^\varphi \cdot H_O^k = H_O^k \cdot R_O^\varphi$ , $k > 0, 0 \leqslant \varphi < 360^\circ$ .

При центрально-подобном повороте угол между любым лучом и его образом равен углу поворота. Это следует из того, что при гомотетии с положительным коэффициентом луч переходит в соправлении с ним луч, а при повороте угол между любым и его образом равен углу поворота (см. Теорему 1 Части I в предыдущем номере «Кванта»).

Поворот и гомотетия сохраняют ориентацию треугольников, значит, центрально-подобный поворот также сохраняет ее. Гомотетии и центрально-подобные повороты, а также параллельные переносы называют преобразованиями подобия первого рода.

Гомотетию, поворот вокруг точки и тождестенное преобразование можно рассматривать как частные случаи центрально-подобного поворота $\Pi_{k,\varphi}^O$ : при $\varphi = 0$ — это гомотетия $H_O^k$ , при $k = 1$ — поворот $R_O^\varphi$ , при $k = 1$ и $\varphi = 0$ — тождестенное преобразование.

Преобразования подобия первого рода можно было бы определить, наподобие движений первого рода, как преобразования плоскости, при которых все расстояния умножаются на одно и то же положительное число и сохраняются ориентации всех треугольников. Аналогично теореме 2 Части I доказывается.

Теорема 1. Всякое преобразование подобия первого рода есть центрально-подобный поворот или параллельный перенос (т. е. наше исходное определение преобразования подобия первого рода эквивалентно последнему определению).

Следствие. Композиция двух центрально-подобных поворотов есть центрально-подобный поворот или параллельный перенос.

Мы не доказываем этих утверждений, ограничиваясь следующим фактом.

Теорема 2. Композиция двух центрально-подобных поворотов $\Pi_{k,\varphi}^A$ и $\Pi_{k,\varphi}^B$ при $k_1 k_2 = 1$ есть движение первого рода: поворот, если $\alpha + \beta \neq 360^\circ$ , и параллельный перенос, если $\alpha + \beta = 360^\circ$ .

Доказательство. Композиция двух подобий первого рода с коэффициентами $k_1$ и $k_2$ есть подобие первого рода с коэффициентом $k_1 k_2$ . Так как $k_1 k_2 = 1$ , композиция $F = \Pi_B^{k_2, \beta} \circ \Pi_A^{k_1, \alpha}$ есть движение первого рода, при котором каждый луч поворачивается сначала на угол $\alpha$ , а потом на угол $\beta$ , и в результате — на угол $\alpha + \beta$ . Следовательно, если $\alpha + \beta \neq 360^\circ$ , то $F$ есть поворот вокруг некоторой точки на угол $\alpha + \beta$ ; если же $\alpha + \beta = 360^\circ$ , то $F$ — параллельный перенос.

Следствие. Композиция трех подобий $F = \Pi_C^{k_3, \gamma} \circ \Pi_B^{k_2, \beta} \circ \Pi_A^{k_1, \alpha}$ есть тождественное преобразование тогда и только тогда, когда $k_1 k_2 k_3 = 1$ , сумма углов повората равна $360^\circ$ или $720^\circ$ и преобразование $F$ имеет неподвижную точку.

В доказательстве этого следствия необходимо пользоваться следствием теоремы 1.

Упражнения

Данны два одинаково ориентированных квадрата $ABCD$ и $AB'C'D'$ . Найдите угол между лучами $BB'$ и $CC'$ .
Найдите композицию
$\Pi_C^{k, 120^\circ} R_B^{120^\circ} R_A^{120^\circ},$
если $ABC$ — равносторонний треугольник, ориентированный отрицательно.
Найдите углы треугольника $MNP$ , если композиция
$\Pi_N^{1/k, 90^\circ} \Pi_P^{k, 90^\circ} R_M^{180^\circ}$
имеет неподвижную точку.

На XVII Международной олимпийде школьников в 1975 году предлагалась следующее задание, которое можно легко решить, используя композицию преобразования *).

*)Решение предложено 3. А. Скопецом (журнал «Matematika в школе», 1977, № 6).

Задача. На сторонах произвольного треугольника $ABC$ вне его построены треугольники $ABM$ , $BCN$ и $CAP$ так, что $\angle CAP = \angle CBN = 45^\circ$ , $\angle ACP = \angle BCN = 30^\circ$ , $\angle ABM = \angle BAM = 15^\circ$ . Докажите, что $\angle PMN = 90^\circ$ и $PM = MN$ .

Решение. Пусть данный треугольник $ABC$ ориентирован положительно (рис. 2, a). Рассмотрим композицию

$F = \Pi_N^{1/k, 105^\circ} \circ \Pi_P^{k, 105^\circ} R_M^{150^\circ},$

где $k = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \sqrt{2}$ .

Имеем:

$R_M^{150^\circ}(B) = A, \Pi_P^{k, 105^\circ}(A) = C,$

$\Pi_N^{1/k, 105^\circ}(C) = B.$

Следовательно, $F(B) = B$ , т. е. $B$ — неподвижная точка преобразования $F$ . Так как произведение коэффициентов подобий равно 1 и сумма углов повората равна $360^\circ$ , получаем, что $F$ есть тождественное преобразование.

Углы треугольника $MNP$ можно найти, построив образ точки $M$ при композиции $F$ (рис. 2, б). Учитывая, что $F(M) = M$ , получим

$R_M^{150^\circ}(M) = M, \Pi_P^{k, 105^\circ}(M) = M',$

$\Pi_N^{1/k, 105^\circ}(M') = M.$

Треугольники $PMM'$ и $PAC$ (также, как треугольники $NMM'$ и $NBC$ ) подобны и одинаково ориентированны. Треугольники $PMM'$ и $NMM'$ подобны и ориентированны противоположно, $MM'$ — их общая сторона, значит, они равны; отсюда $\angle PMN = 90^\circ$ и $PM = MN$ .