Задачи М1151—М1155; Ф1158—Ф1162

Задания

M1151 — M1155, Ф1158 — Ф1162

M1151. а) Докажите равенство (где $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$):

$$\frac{1 \cdot 2!}{2} + \frac{2 \cdot 3!}{2^2} + \dots + \frac{n(n+1)!}{2^n} = \frac{(n+2)!}{2^n} - 2.$$

6. Найдите сумму

$$\frac{1 \cdot 3!}{3} + \frac{2 \cdot 4!}{3^2} + \dots + \frac{n(n+2)!}{3^n}.$$

В. Н. Жоха

M1152. Пусть $h$ и $l$ — высота и высесktrиса, проведенные из одной вершины треугольника, $R$ и $r$ — радиус его описанной и вписанной окружности. Докажите herавенство $h/l \geq \sqrt{2r/R}$.

Корнел Берчану, Иштван Варда (Румыния)

M1153. Какое наиболее число поворотов может содержать замкнутый маршрут ладьи, обходящий по одному разу все клетки шахматной доски $8 \times 8$ клеток?

M. В. Хованов

M1154*. Докажите, что если четырехугольник вписан в окружность и описан околой другой окружности, то прямая, проведенная через центры этих окружностей, проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника.

В. Ю. Протасов

M1155. Точка движется в треугольнике, отражая от его сторон по закону «угол padения равен углу отражения». Перiodический называется также траектория этой точки, которая является замкнутой ломаной и не проходит через вершины треугольника. (Примеры перiodических траекторий с 3-мя и 6-ю звеньями в треугольнике приведены на рисунке 8 на с. 12. а) Докажите, что ни в каком треугольнике с различными сторонами нет четырехзвеневной periodической траектории.

Существует ли остроугольный треугольник, имеющий periodический траекторию 6) из 5 звенев? в) из 7 звенев?

Г. А. Гальперин, А. М. Стгенин

Ф1158. Автомобиль повышенной проходимости может использовать в качестве ведущих либо передние, либо задние колеса. Водитель хочет буксировать трехмяный груз. Какую максимальную силу тягги $T$ (безрывка) может разить автономиль, если коэффициент треяния колес о дорогу $\mu=0,4$, масса автономиль $M=2$ т, расстояние между центрами колес $l=4$ м, радиус колес $R=0,3$ м? Передняя и задняя оси расположены в одной горизонтальной плоскости; центр масс автономиль лежит в этой плоскости на равном расстоянии от осей; в этой же плоскости лежит трос. Какие колеса должны ведущими? Зависит ли от этого $T$?

А. И. Буздин

28

Ф1159. Представьте, что вы находите в движущейся сускорением электричке и идете с постоянной относительной вагона скоростью вперед по ходу поезда. Весьма оценимая сила толкает вас назад, и вы, несомненно, совершаете работу против этой силы. На что же расходуется ваша работа? Видимо, она не может идти на дополнительный разгон электрички — ведь вы толкаете ее назад. В чем же здесь дело? не нарушается ли закон сохранения энергии?

А. Н. Коротков

Ф1160. В цилиндре радиусом $R$ и высотой $H$ находится $N$ электровов. Параллельно оси цилиндра приложено постоянное магнитное поле индукцией $B$. Предполагается, что все электровы имеют одинаковые по величины скорости $v$, лежащие в плоскости, перpendicularной магнитному полю, а удары электровов о стенки цилиндра абсолютою упругие, оцените, чем равно и как зависит от магнитного поля давление на стенки цилиндра, которое создает такой «электронный газ» (давление можно найти с точностью до постоянного коэффициента, не зависит от магнитного поля). Заряд электрона $e$, масса $m$. Считать, что $(mv/eB) \ll R$ («сильное» поле $B$). Взаимодействием электровов друг с другом пренебречь.

Д. А. Купцов

Ф1161. В архитектурной акустике хорошо известно является «шпучшие» галереи. В крупных соборах (например, в соборе Святого Петра в Риме) по окружности основания купола устроена огороденная площадка (galерея), куда разрезен доступ туристам. Давно было заменено, что негромкая резь в точке $A$ (рис. 1) хорошо слышна в точке $B$, если говорящий смотрит вдоль стены галереи. Но если говорящий смотрит в направлении на точку $B$, то при такой же говорости речи в точке $B$ ничего не слышно. Почему это происходит?

В точке $A$ ненаправленный источник звука испускает достаточно громкий импульс длительностью $\tau_1$. Какова будет длительность импульса, принято в точке $B$? Диаметр галереи $d$.

В. И. Клячин

Ф1162. Под водой на глубине $h$ находится точный источник света. Где расположено изображение этого источника для наблюдателя, смотрящего вдоль поверхности воды (рис. 2)? Показатель преломления воды $n$.

С. С. Кротов